化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透路徑

文 /戴金珍

引 言

化歸思想即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，指的是把一個(gè)問(wèn)題由繁化簡(jiǎn)、由難化易的過(guò)程，不僅是一種數(shù)學(xué)思想策略，還是一種常用的解題方法，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。將化歸思想應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性、靈活性，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，使學(xué)生的解題能力、思考能力得到提升。所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視化歸思想的應(yīng)用，通過(guò)化歸思想的應(yīng)用提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

一、化歸思想對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的作用分析

（一）促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸思想的應(yīng)用已經(jīng)成為一種常態(tài)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，化歸思想就是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。運(yùn)用化歸思想來(lái)解題，需要學(xué)生準(zhǔn)確了解題目的考查意圖，找到新舊問(wèn)題的結(jié)合點(diǎn)，從已知、熟悉、簡(jiǎn)單的解題方法中找到最佳解題路徑，明確解題程序和步驟。這對(duì)學(xué)生的思維能力來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是一個(gè)挑戰(zhàn)。運(yùn)用化歸思想來(lái)教學(xué)，相當(dāng)于為學(xué)生提供了進(jìn)行思維鍛煉的機(jī)會(huì)，能有效促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

（二）提高學(xué)生的解題效率

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容由復(fù)雜的知識(shí)體系構(gòu)成。初中階段也是一個(gè)承上啟下的階段。在初中階段，學(xué)好數(shù)學(xué)，是學(xué)生學(xué)好理工科的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)，需要學(xué)生多做題，提高解題能力，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，牢固掌握知識(shí)點(diǎn)。化歸思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛，尤其是在數(shù)學(xué)問(wèn)題化簡(jiǎn)以及數(shù)數(shù)、數(shù)形、形體轉(zhuǎn)化中，用化歸思想可以解決許多問(wèn)題。將化歸思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生多做題、巧做題，可以鍛煉和提升學(xué)生的解題能力，使學(xué)生更牢固地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三）優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程

初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有較強(qiáng)的數(shù)理性、思辨性。為了講清楚數(shù)學(xué)知識(shí)和原理，許多教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)方式相對(duì)單一，教學(xué)過(guò)程也機(jī)械無(wú)趣，這不僅影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也不利于學(xué)生終身發(fā)展和終身學(xué)習(xí)?；瘹w思想的有效滲透，不僅可以降低數(shù)學(xué)教學(xué)難度，還可以為初中數(shù)學(xué)課堂注入更多生機(jī)與活力，將教學(xué)方法與內(nèi)容變得更新穎，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生愉悅的體驗(yàn)，增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)能力與合作探究意識(shí)。這充分表明化歸思想的運(yùn)用可以在一定程度上滿足學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需求，使其在活學(xué)活用中形成良好的學(xué)習(xí)思想，切實(shí)感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，繼而轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，最終輕松、高效地收獲知識(shí)，習(xí)得技能。

（四）鞏固學(xué)生的知識(shí)聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)由淺入深、由易到難的過(guò)程。初中數(shù)學(xué)是以小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的，但是它又拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)范圍，提高了數(shù)學(xué)知識(shí)的層次，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律。初中階段，學(xué)生的理性思維能力相對(duì)不足。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想讓學(xué)生有效學(xué)習(xí)，教師需要幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)知識(shí)體系層層遞進(jìn)的關(guān)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力由淺入深逐步提升。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想，可以讓學(xué)生建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，更透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵[1]。

二、化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透

（一）化陌生為熟悉，列出化歸思想滲透方案

從初中生的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣來(lái)看，他們大多能夠很順利地解決自己熟悉的試題類型，處理相對(duì)陌生的題型時(shí)通常會(huì)陷入思維障礙，很難求得結(jié)果。對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師可以列出化歸思想滲透方案，增強(qiáng)化歸方法的指導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)原有問(wèn)題展開(kāi)適當(dāng)轉(zhuǎn)化，使其深入研究試題的本質(zhì)屬性與考查要點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)將陌生題型轉(zhuǎn)化成熟悉題型，達(dá)到化陌生為熟悉的目的[2]。

比如，在進(jìn)行“勾股定理”教學(xué)時(shí)，當(dāng)考查學(xué)生是否能夠靈活運(yùn)用勾股定理相關(guān)知識(shí)時(shí)，大部分新題型都不會(huì)直接提供直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度，而是把問(wèn)題融入比較復(fù)雜的場(chǎng)景，要求他們自主發(fā)掘和運(yùn)用勾股定理知識(shí)，如用空地、菜園、田地、苗圃等生活場(chǎng)景中的矩形，要求學(xué)生求出這些矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)度；用正方體、長(zhǎng)方體等立體圖形，讓他們求出從某一頂點(diǎn)到另外一個(gè)頂點(diǎn)的最短距離等。教師在指導(dǎo)學(xué)生解析這類數(shù)學(xué)試題時(shí)，需緊緊抓住題目中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，啟發(fā)他們從問(wèn)題場(chǎng)景中抽象出三角形圖形的相關(guān)要素，找出關(guān)鍵條件與信息，列出相應(yīng)的算式，將陌生而新穎的題型轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的公式應(yīng)用類基礎(chǔ)題型。這樣教師指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸思想，把陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的題型，能消除他們的畏懼心理，使其準(zhǔn)確理解題意，高效處理問(wèn)題。

（二）化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，提升化歸思維滲透品質(zhì)

數(shù)學(xué)屬于初中教育階段一門難度相對(duì)較大的學(xué)科，數(shù)學(xué)概念、公式、規(guī)律、定理等關(guān)鍵知識(shí)的理解與應(yīng)用，均會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的難度，他們很難全部理解這些復(fù)雜而瑣碎的數(shù)理知識(shí)。初中數(shù)學(xué)教師需正確認(rèn)識(shí)初中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，及時(shí)總結(jié)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)規(guī)律，指引學(xué)生采用化歸思想，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)與問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的內(nèi)容，有效降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，幫助他們突破疑難障礙，擺脫學(xué)習(xí)困境，不斷增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心[3]。

例如，在“反比例函數(shù)”教學(xué)中，教師可出示題目：如圖1所示，已知反比例函數(shù)的圖像C與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖像l相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），求B點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；把函數(shù)的圖像與直線AB同時(shí)向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像分別記為C'與l'，已知圖像c'經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，4），求n的值，分別寫出平移后兩個(gè)圖像c'與l'的函數(shù)關(guān)系式，寫出不等式≤ax-1的解集。解析：從數(shù)的視角出發(fā)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立起來(lái)成為方程組，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，-2）；c'與l'的函數(shù)關(guān)系式能夠很容易求出來(lái)；本題的難點(diǎn)在于最后一問(wèn)，教師可以提示學(xué)生從數(shù)與形之間的關(guān)系展開(kāi)思考，并運(yùn)用化歸思想把這一不等式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)類的問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。

圖1

（三）化新知為舊知，創(chuàng)設(shè)化歸思想滲透渠道

數(shù)學(xué)知識(shí)有極強(qiáng)的體系性，即使是不同領(lǐng)域下的數(shù)學(xué)知識(shí)，也存在不少聯(lián)系點(diǎn)，其中舊知識(shí)往往是新知識(shí)的基礎(chǔ)和鋪墊，新知識(shí)則通常是舊知識(shí)的持續(xù)與延伸，新舊知識(shí)相互滲透，組成了完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、邏輯關(guān)系，將舊知識(shí)看作學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)新知識(shí)的起點(diǎn)，運(yùn)用新舊知識(shí)的表象聯(lián)系與內(nèi)在聯(lián)系為他們提供諸多啟發(fā)，通過(guò)化新知為舊知?jiǎng)?chuàng)設(shè)化歸思想滲透渠道，使其完成新舊知識(shí)的對(duì)接與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)及方法的遷移應(yīng)用[4]。

例如，“一元一次不等式”這一節(jié)主要介紹了一元一次不等式的變形，為解不等式做理論上的準(zhǔn)備。在教學(xué)時(shí)，教師需積極尋求同舊知識(shí)之間的聯(lián)系，利用一元一次方程的相關(guān)知識(shí)，先給出一些簡(jiǎn)單的一元一次方程，如x+1=2，2x-1=3等，激活他們已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使其回顧方程變形的依據(jù)。接著，教師可聯(lián)系學(xué)生以前學(xué)習(xí)過(guò)的不等式相關(guān)知識(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)地回顧不等式定義，然后演示課本44頁(yè)的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察且聯(lián)系方程的基本變形得到不等式的基本性質(zhì)1，再加以概括和板書，運(yùn)用同樣的方式指導(dǎo)他們學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)2與性質(zhì)3。之后，教師出示一元一次不等式x+3＞5，x-6＜7，引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)思考如何計(jì)算，通過(guò)多樣化的新舊銜接化新知為舊知，使學(xué)生體會(huì)不等式與方程的聯(lián)系和區(qū)別。

（四）化抽象為具體，創(chuàng)新化歸思想滲透途徑

初中生正處于從具象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變的特殊時(shí)期，他們的抽象思維能力還不是特別強(qiáng)，而數(shù)學(xué)知識(shí)恰恰有顯著的抽象性特征，這為正常教學(xué)的實(shí)施帶來(lái)一定難度、不便和挑戰(zhàn)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要想更好地滲透化歸思想，教師就要結(jié)合初中生的思維特點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)化歸思想的滲透，引導(dǎo)他們將數(shù)學(xué)概念、定理、公式等理解難度較大、理論性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)變得具體、直觀，通過(guò)化抽象為具體，使學(xué)生準(zhǔn)確掌握知識(shí)[5]。

以“平行四邊形”為例，教師可以先在多媒體課件中展示一些生活中平行四邊形的實(shí)物圖，如籬笆、伸縮門、伸縮晾衣架、伸縮支架等，詢問(wèn)學(xué)生：它們是什么幾何圖形的形象？學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)與已學(xué)知識(shí)知道是平行四邊形。然后教師可運(yùn)用信息技術(shù)手段演示從實(shí)物中抽象出平行四邊形的過(guò)程，使學(xué)生在具體形象的圖片的輔助下，真切感受到生活中存在著大量的平行四邊形，讓他們體會(huì)化抽象為具體的化歸思想。接著，教師提問(wèn)：“這些圖形都是什么圖形？這樣的圖形為什么叫平行四邊形？”然后，教師可結(jié)合小學(xué)時(shí)期已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)概念，再找到新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，以舊知識(shí)解釋新知識(shí)，為學(xué)生判定平行四邊形提供理論依據(jù)。接下來(lái)，教師巧妙設(shè)疑，詢問(wèn)學(xué)生研究幾何圖形通常要關(guān)注哪些元素，再結(jié)合具象的實(shí)物，抽象出平行四邊形的圖像要素，讓學(xué)生感知與理解平行四邊形的性質(zhì)，使其初步體會(huì)幾何研究的一般思路與方法。

（五）加強(qiáng)設(shè)計(jì)練習(xí)，強(qiáng)化化歸思想滲透效果

練習(xí)作為鞏固課堂所學(xué)知識(shí)的重要途徑，還是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的有效舉措，也可以進(jìn)一步解讀數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，化歸思想的滲透并非一朝一夕之事，而是要循序漸進(jìn)、逐步深入。為進(jìn)一步滲透化歸思想，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體章節(jié)教學(xué)內(nèi)容加強(qiáng)對(duì)練習(xí)題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想分析題意，解答試題，通過(guò)解題訓(xùn)練強(qiáng)化化歸思想的滲透效果，使其真正明確化歸的對(duì)象、方法與目標(biāo)，有效鞏固與強(qiáng)化他們的化歸思想水平[6]。

以“圓”為例，當(dāng)學(xué)完課本知識(shí)后，教師可設(shè)計(jì)這樣一道練習(xí)題：如圖2所示，已知兩個(gè)半圓中長(zhǎng)是4的弦AB和直徑CD平行，且同小半圓相切，求圖中陰影部分的面積。題干提供的數(shù)量條件只有弦AB的長(zhǎng)度是4這一個(gè)條件，弦AB與直徑CD平行看起來(lái)用處不大，還能夠發(fā)現(xiàn)在這個(gè)大半圓中，任意移動(dòng)小圓的位置，圖中陰影部分的面積大小都不會(huì)發(fā)生變化，所以可以把小半圓的位置向右平移，直至兩個(gè)圓心重合，如圖2所示，設(shè)小圓和弦AB相切于點(diǎn)H，把OB與OH連接起來(lái)，根據(jù)切線的性質(zhì)能夠得出OH垂直于AB，根據(jù)勾股定理可知HB2=OB2-OH2，則圖中陰影部分的面積（OB2-OH2）=2π。本題主要采用化歸思想，化未知為已知，對(duì)題目中小圓這一圖形的位置進(jìn)行平移，屬于位似變換，通過(guò)適當(dāng)?shù)膱D形變換，將一些看似無(wú)用或未知的條件變成解題的突破口。

圖2

（六）借助數(shù)學(xué)建模，促進(jìn)學(xué)生化歸思想的發(fā)展

建模能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分，建模思想的本質(zhì)是由果推因，通過(guò)數(shù)學(xué)建模去求解，去定量分析和解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)建模，需要從定量的角度了解對(duì)象信息、分析問(wèn)題，所以它比常規(guī)數(shù)學(xué)方法更有助于培養(yǎng)學(xué)生形成發(fā)散思維和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模與化歸思想一樣，都是需要掌握的學(xué)習(xí)方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生使用化歸思想，通過(guò)數(shù)學(xué)建模與化歸思想的相互作用，讓學(xué)生去偽存真，真正理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如，在“平方差公式”的教學(xué)中，教師可先帶領(lǐng)學(xué)生回顧多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，出示以下例題：（x+1）（x-1），（x+2）（x-2），（3+x）（3-x），（2m+n）（2m-n），要求他們先獨(dú)立計(jì)算題目，再在小組內(nèi)討論發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，使其初步感知平方差模型。接著，教師出示式子（a+b）（a-b），由學(xué)生嘗試計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差所乘的積，使其發(fā)現(xiàn)（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，并結(jié)合上述多項(xiàng)式相乘的題目分析相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，讓他們結(jié)合這些例題的計(jì)算得出平方差公式，建立平方差模型。之后，教師要及時(shí)總結(jié)，給予學(xué)生啟示：“在平方差公式中，字母不僅可以代表數(shù)字，還能夠代表單項(xiàng)式和多項(xiàng)式?！庇纱私柚鷶?shù)學(xué)建模訓(xùn)練的融入滲透化歸思想，不僅可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，還能夠發(fā)展他們的化歸思想，提高其綜合素質(zhì)。

結(jié) 語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中滲透化歸思想，不僅是對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的落實(shí)，還是數(shù)學(xué)學(xué)科自身教學(xué)的需求。教師應(yīng)深刻了解化歸思想的內(nèi)涵、本質(zhì)與外延，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)規(guī)律、特點(diǎn)及初中生的身心特征，從不同路徑滲透化歸思想，達(dá)到化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化模糊為清楚的目的，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。