與圓有關(guān)的最值問(wèn)題探析

劉金平

［摘 要］在解析幾何問(wèn)題中，有一類(lèi)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，經(jīng)常出現(xiàn)在各種考試中，一直被視為高中數(shù)學(xué)的難題。文章結(jié)合六道例題，從六個(gè)方面進(jìn)行分析，總結(jié)求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的方法路徑。

［關(guān)鍵詞］圓；最值問(wèn)題；高中數(shù)學(xué)

［中圖分類(lèi)號(hào)］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］?A［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）32-0023-03

在解析幾何問(wèn)題中，與圓有關(guān)的最值問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各種考試中，一直被視為高中數(shù)學(xué)中的難題。那么，求解此類(lèi)問(wèn)題有哪些方法路徑呢？以下筆者結(jié)合一些例題進(jìn)行分析探討。

一、利用圓的幾何特性

求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，首先應(yīng)想到幾何法，即利用圓的基本性質(zhì)與特征，如圓的對(duì)稱性、圓的垂徑定理、圓冪定理和過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的圓的最短弦的求法等。利用圓的有關(guān)性質(zhì)和重要結(jié)論解題，可以幫助我們減少運(yùn)算量。

［例1］如圖1所示，已知直線[l]：[x-y+4=0]與[x]軸相交于點(diǎn)[A]，過(guò)直線[l]上的動(dòng)點(diǎn)[P]作圓[x2+y2=4]的兩條切線，切點(diǎn)分別為[C]、[D]兩點(diǎn)，記[M]是[CD]的中點(diǎn)，則[AM]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：由題意設(shè)點(diǎn)[P（t，t+4）]，[C（x1，y1）]，[D（x2，y2）]，因?yàn)閇PD]、[PC]是圓的切線，所以[OD⊥PD]，[OC⊥PC]，所以[C]、[D]在以[OP]為直徑的圓上，其圓的方程為：[x-t22+y-t+422=t2+（t+4）24]。又[C]、[D]在圓[x2+y2=4]上，將兩個(gè)圓的方程作差得直線[CD]的方程為[tx+（t+4）y-4=0]，即[t（x+y）+4（y-1）=0]，所以直線[CD]恒過(guò)定點(diǎn)[Q（-1，1）]，又因?yàn)閇OM⊥CD]，[M]、[Q]、[C]、[D]四點(diǎn)共線，所以[OM⊥MQ]，即[M]在以[OQ]為直徑的圓[x+122+y-122=12]上，其圓心為[O'-12，12]，半徑為[r=22]，所以[AMmin=AO'-r=-12+42+122-22=22]，所以[AM]的最小值為[22]。

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是求出點(diǎn)[M]的軌跡方程，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)圓后，自然會(huì)想到利用圓的幾何特征來(lái)求[AM]的最小值。當(dāng)點(diǎn)[A]位于半徑為[r]的圓[M]外時(shí)，[P]為圓[M]上任一點(diǎn)，則線段[AP]的最大值為[AM+r]，最小值為[AM-r]。

二、利用三點(diǎn)共線

求兩條線段的和或差的最值，一般采用三點(diǎn)共線法。這種方法來(lái)源于三角形的三邊關(guān)系，即兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊，于是我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)[A]、[B]固定時(shí)，求第三個(gè)點(diǎn)[P]，使得[AP+BP]最小時(shí)，只需點(diǎn)[P]位于線段[AB]上，此時(shí)[A]、[P]、[B]三點(diǎn)共線。用同樣思路可以求[AP-BP]的最大值。

［例2］如圖2所示，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[A（-3，3）]，[B（-3，-3）]，[C（23，0）]，動(dòng)點(diǎn)[P]在[△ABC]的內(nèi)切圓上，則[12PC-PA]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：由兩點(diǎn)間的距離公式可知[AB=BC=AC=6]，則[△ABC]是邊長(zhǎng)為[6]的等邊三角形，設(shè)[△ABC]的內(nèi)切圓的半徑為[r]，則[S△ABC=34×62=12r×18]，解得[r=3]，因?yàn)辄c(diǎn)[A]、[B]關(guān)于[x]軸對(duì)稱，所以[△ABC]的內(nèi)切圓的圓心在[x]軸上，易知直線[AB]的方程為[x=-3]，原點(diǎn)[O]到直線[AB]的距離為[3]，所以[△ABC]的內(nèi)切圓為圓[O]：[x2+y2=3]，設(shè)點(diǎn)[P（x，y）]，[PC=（x-23）2+y2=x2+y2-43x+12=4x2-43x+3+4y2=（2x-3）2+4y2=2x-322+y2=2PE]，其中點(diǎn)[E32，0]。

所以，[12PC-PA=PE-PA≥-AE=--3-322+32=-372]，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)[P]為射線[AE]與圓[O]的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故[12PC-PA]的最小值為[-372]。

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵在于分析出[PC=2PE]，再利用三點(diǎn)共線以及數(shù)形結(jié)合思想求得最值。

三、利用基本不等式

求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，我們既要想到應(yīng)用圓的幾何特征，即幾何法，又要想到代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，在同一道題目中，有時(shí)兩種方法都要用到，即利用幾何性質(zhì)列式，利用代數(shù)運(yùn)算求最值，這時(shí)不要忘了基本不等式的功能。

［例3］設(shè)[m∈R]，圓[M]：[x2+y2-2x-6y=0]，若動(dòng)直線[l1]：[x+my-2-m=0]與圓[M]交于點(diǎn)[A]、[C]，動(dòng)直線[l2]：[mx-y-2m+1=0]與圓[M]交于點(diǎn)[B]、[D]，則[AC+BD]的最大值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：[x2+y2-2x-6y=0?（x-1）2+（y-3）2=10]，圓心M（1，3），半徑[r=10，x+my-2-m=0?x-2+m（y-1）=0?l1]過(guò)定點(diǎn)E（2，1），[mx-y-2m+1=0?m（x-2）-y+1=0?l2]過(guò)定點(diǎn)E（2，1），又[1×m+m×（-1）=0]，所以[l1⊥l2]。如圖3所示，設(shè)[AC]和[BD]的中點(diǎn)分別為[F]、[G]，則四邊形[EFMG]為矩形，設(shè)[MF=d]，[0≤d≤ME=5]，則[MG=ME2-EG2=ME2-MF2=5-d2 ]，故[AC+BD=210-d2+210-（5-d2）=2（10-d2+5+d2）][≤22（10-d2+5+d2）=230]，當(dāng)且僅當(dāng)[10-d2=5+d2]，即[d=102]時(shí)取等號(hào)， 故答案為[230]。

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式求最值，一是要看是否具有基本不等式的特征，即和為定值或積為定值；二是看等號(hào)是否可以取到；三要善于應(yīng)用基本不等式的變形，即[ab≤a+b2≤a2+b22]（[a>0]，[b>0]），當(dāng)[a=b]時(shí)等號(hào)成立。

四、利用函數(shù)思想

求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，當(dāng)建立的目標(biāo)函數(shù)，無(wú)法用基本不等式求最值時(shí)，我們應(yīng)想到利用函數(shù)單調(diào)性法求它的最值，有時(shí)也免不了要利用導(dǎo)數(shù)。

［例4］已知實(shí)數(shù)[a、b]滿足[（a+2）2+（b-3）2=2]，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)[x]，[（x-a）2+（lnx-b）2]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)[a、b]滿足[（a+2）2+（b-3）2=2]，故[P（a，b）]在圓[C]：[（x+2）2+（y-3）2=2]上。

而[C（-2，3）]，設(shè)[g（x）=（x+2）2+（lnx-3）2]，則[g（x）]表示[C]到曲線[y=lnx]上的點(diǎn)的距離的平方。又[g（x）=2×x2+2x+lnx-3x]，因?yàn)閇h（x）=x2+2x+lnx-3]在（1，+∞）上為增函數(shù)，且[h（1）=0]，故當(dāng)[x∈（0，1）]時(shí)，[h（x）<0]，即[g（x）<0]；當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[h（x）>0]，即[g（x）>0]，故[g（x）]在[（0，1）]上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，故[g（x）]的最小值為[g（1）=18]，所以[C（-2，3）]到曲線[y=lnx]上的點(diǎn)的距離的最小值為[32]，而圓[C]的半徑為[2]，故圓[C]上的點(diǎn)到曲線[y=lnx]上的點(diǎn)的距離的最小值為[22]，故[（x-a）2+（lnx-b）2]的最小值為[8]。

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是揭示題目中代數(shù)式表示的幾何意義，進(jìn)而想到轉(zhuǎn)化成圓心到幾何對(duì)象的最值問(wèn)題來(lái)處理并建立目標(biāo)函數(shù)，而目標(biāo)函數(shù)中含有自然對(duì)數(shù)[lnx]，就不得不用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求最值，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用。

五、利用對(duì)稱性質(zhì)

如果點(diǎn)[A]、[B]位于直線[l]的同側(cè)，[P]為直線[l]上的任意一點(diǎn)，要求[AP+BP]的最小值，那么我們只需先找到點(diǎn)[A]或點(diǎn)[B]關(guān)于直線[l]的對(duì)稱點(diǎn)[A]或[B]，這時(shí)[AP+BP]的最小值就是線段[AB]或[BA]的長(zhǎng)；如果點(diǎn)[A]、[B]位于直線[l]的同側(cè)，[P]為直線[l]上的任意一點(diǎn)，則[AP-BP]的最大值就是線段[AB]或[BA]的長(zhǎng)，此時(shí)[P]就是[AB]或[BA]與直線[l]的交點(diǎn)。當(dāng)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的圖形中出現(xiàn)上述情形時(shí)，可采用這種方法求最值。

［例5］（1）已知圓[C]的方程為[（x-1）2+（y-1）2=1]，直線[l]：[（3-2t）x+（t-1）y+2t-1=0]恒過(guò)定點(diǎn)[A]。若一條光線從點(diǎn)[A]射出，經(jīng)直線[x-y-5=0]上一點(diǎn)[M]反射后到達(dá)圓[C]上的一點(diǎn)[N]，則[AM+MN]的最小值為（）。

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

（2）已知圓[C1]：[（x-1）2+（y+1）2=1]，圓[C2：（x-4）2+（y-5）2=9]，點(diǎn)M、N分別是圓[C1]、圓[C2]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[P]為[x]軸上的動(dòng)點(diǎn)，則[PN-PM]的最大值是（）。

A. [35+4]B. 9C. 7D. [35+2]

解析：（1）圓[（x-1）2+（y-1）2=1]的圓心[C（1，1）]，半徑[r=1]，直線[l]可化為[3x-y-1-t（2x-y-2）=0]，令[3x-y-1=0，2x-y-2=0，]解得[x=-1，y=-4，]所以定點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（-1，-4）]。設(shè)點(diǎn)[A（-1，-4）]關(guān)于直線[x-y-5=0]的對(duì)稱點(diǎn)為[B（a，b）]，由[b+4a+1=-1，a-12-b-42-5=0，]解得[a=1，b=-6，]所以點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（1，-6）]。由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，[AM=BM]，所以[AM+MN=BM+MN≥BN≥BC-r=7-1=6? ]（當(dāng)且僅當(dāng)[B]、[M]、[N]、[C]四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以[AM+MN]的最小值為6，故選A。

（2）如圖5所示，圓[C1]：[（x-1）2+（y+1）2=1]的圓心為[C1（1，-1）]，半徑為[1]，圓[C2]：[（x-4）2+（y-5）2=9]的圓心為[C2（4，5）]，半徑為[3]。

[∵PN-PMmax=PNmax-PMmin]，又[ PNmax=PC2+3 ]，[PMmin=PC1-1]，∴[PN-PMmax=PC2+3-PC1-1=PC2-PC1+4]。

點(diǎn)[C2（4，5）]關(guān)于[x]軸的對(duì)稱點(diǎn)為[C′2（4，-5）]，[PC2-PC1=PC′2-PC1≤C1C′2=（4-1）2+（-5+1）2=5]，所以[PN-PMmax=5+4=9]，故選B。

點(diǎn)評(píng)：到圓上的點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，一般都轉(zhuǎn)化為到圓心的距離的最值問(wèn)題，所以我們常常把圓看成一個(gè)點(diǎn)，于是問(wèn)題就退化成了一個(gè)點(diǎn)與兩個(gè)點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，這時(shí)自然想到平面幾何中的方法：利用點(diǎn)的對(duì)稱性。

六、利用幾何意義與幾何性質(zhì)

對(duì)于一些難度比較大的與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，我們不僅要揭示題目中給出代數(shù)式的幾何意義，即以“數(shù)”化“形”，還要畫(huà)出圖形，在“形”中充分利用幾何性質(zhì)，將原問(wèn)題化簡(jiǎn)，使問(wèn)題的解決過(guò)程直觀有效。

［例6］已知實(shí)數(shù)[x1]，[x2]，[y1]，[y2]滿足：[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，則[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10]的最大值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，則[OA=（x1，y1）]，[OB=（x2，y2）]。因?yàn)閷?shí)數(shù)[x1]，[x2]，[y1]，[y2]滿足：[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，所以[A、B]兩點(diǎn)在圓[x2+y2=3]上，且[OA·OB=3×3×cos∠AOB]。又[OA·OB=x1x2+y1y2=32]，所以[cos∠AOB=12]，所以[∠AOB=60°]，所以[△AOB]為等邊三角形，[AB=3]。點(diǎn)[A]到直線[3x+4y-10=0]的距離[d1=3x1+4y1-105]，點(diǎn)[B]到直線[3x+4y-10=0]的距離[d2=3x2+4y2-105]，所以[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10=5（d1+d2）]。要使[5（d1+d2）]最大，只需點(diǎn)[A]、[B]在第三象限，如圖6所示，設(shè)直線[3x+4y-10=0]為直線[l]，過(guò)[A]作[AD⊥l]于[D]， 過(guò)[B]作[BE⊥l]于[E]，取[AB]中點(diǎn)[F]，過(guò)[F]作[FG⊥l]于[G]。由梯形的中位線性質(zhì)可知：[AD+BE=2FG]，即[d1+d2=2FG]。只需[F]到直線[l]距離最大，所以直線[AB]與直線[3x+4y-10=0]平行。

此時(shí)，設(shè)[AB]：[3x+4y+t=0（t>0）]，由圓心到直線[AB]的距離為[d=t5=t5]，可得[d2+322=3]，即[t52+322=3]，解得[t=152]，所以兩平行線間的距離為[152-（-10）32+42=72]，所以[d1+d2=3x1+4y1-105+3x2+4y2-105≤72+72=7]，所以[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10=5（d1+d2）≤5×7=35]，故答案為35。

點(diǎn)評(píng)：本題的難度很大，難點(diǎn)之一是揭示出題目中隱含的直線與圓的位置關(guān)系；難點(diǎn)之二是把兩個(gè)絕對(duì)值之和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離；難點(diǎn)之三是根據(jù)梯形的中位線定理把兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為一個(gè)點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題。

以上結(jié)合六個(gè)例題，歸納總結(jié)了與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的方法路徑，即利用圓的幾何特性、利用三點(diǎn)共線、利用基本不等式、利用函數(shù)思想、利用對(duì)稱性質(zhì)、利用幾何意義與幾何性質(zhì)，以期給學(xué)生一些啟示。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）