聽見學生的聲音
——“角的初步認識”教學實踐與反思

江蘇徐州市鼓樓小學（221000）張 晶

“角的初步認識”是蘇教版教材二年級下冊第七單元的起始課，旨在幫助學生初步感知角的基本特征，能正確識別角和直觀判斷角的大小。教學目標定位于“初步”，以“識別”和“直觀判斷”加以描述，常給人錯覺“這節(jié)課不難上”。其實，這個年齡階段的學生以直觀形象思維為主，而數(shù)學上的角卻是對實際物體形狀抽象和概括的結(jié)果，兩者之間的矛盾決定了教學的難度。

近期，一位青年教師在執(zhí)教這節(jié)課時就遇到了幾個問題。其一，教師以“你在生活中見過角嗎？”導入新課，學生列舉出的桌角、墻角與這節(jié)課要研究的角內(nèi)涵不同，難以利用這些素材引入新知。其二，學生需要借助指角、做角等活動感知角的特點，但兩次學習活動都不順利：指角環(huán)節(jié)，教師多次示范指角的方法后學生仍頻頻出錯，學生學習熱情大大降低；做角環(huán)節(jié)，學生只顧玩角，不按要求參與探究，教師教學很被動。

怎樣引入概念更有效？“指角”本是認識角的途徑，為何成為阻礙？“做角”環(huán)節(jié)如何兼顧教學需要和學生需要？

一、選擇性利用學生的生活經(jīng)驗，以適切的情境引入概念

學生在現(xiàn)實生活中已經(jīng)積累了一定的幾何經(jīng)驗，這對他們認識和理解圖形的特征和性質(zhì)具有重要的意義。但經(jīng)驗不是萬能的，有的經(jīng)驗對新知學習有正向幫助，有的經(jīng)驗則會產(chǎn)生負面影響。例如學生知道的羊角、牛角在數(shù)學上并不能稱為角；桌角、墻角與現(xiàn)階段要研究的平面角內(nèi)涵不同。因此，從現(xiàn)實情境中引出角必須十分謹慎，避免生活中的一些“角”干擾學生對數(shù)學上角的表象的形成。

仔細研讀教材會發(fā)現(xiàn)，教材提供的主題圖是兩位學生做手工的場景，圖中的三角尺、紙工袋、不同形狀和顏色的紙片都是比較薄的物品，有利于學生集中注意力研究其面上的特點，進而發(fā)現(xiàn)和認識角。作為教師，就要用好這樣的主題情境，而不宜盲目地從廣泛的生活題材切入，避免給學生帶來不必要的素材干擾。

【教學片段1】

師（出示教材圖，圖略）：小菲和小軒是好朋友，今天他們一起來做手工。在這幅圖上，你看到了什么？（學生回答略）

師：這幅圖里藏著今天我們要認識一個圖形朋友，就是角。仔細觀察，哪些物品的面上有角？

在情境圖中，學生容易發(fā)現(xiàn)許多物體面上都有角，自然地抽象出這節(jié)課要研究的平面上的角。這些角有大有小、形態(tài)各異，為學生提煉角的本質(zhì)特征提供了豐富的素材。相比從生活中的例子導入，這樣的設(shè)計更具有針對性。在例題教學后，也不宜組織學生匆忙回到實際生活中指認角，因為生活中的角多樣而復雜，學生尚不具備足夠的認知和分析能力來做出清晰的判定。如果要遵循“生活—數(shù)學—生活”的路徑，可以對角的素材做出限定，如仿照主題情境，為學生準備一些面上有角而厚度小的實際物品，如紅領(lǐng)巾、信封、快遞袋等，便于學生利用現(xiàn)有的認識做出辨析，達到學以致用的目的。

二、悅納學生的原有認知，以豐富的體驗促進概念形成

建構(gòu)主義認為，數(shù)學學習的過程是個體數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的組織和再組織的過程，是從不完善走向完善，從模糊走向清晰的自主建構(gòu)的過程。利用主題圖展開教學時，學生能很快發(fā)現(xiàn)許多物體的面上都有角，但“指角”時，有的學生只指角的頂點，有的學生只指兩條邊之間的區(qū)域。這表明，學生對角的認識是模糊的。以此為生長點，許多教師會采用示范教學的方式，引導學生先學會指角，再將數(shù)學角抽象出來，但這種處理方式可能會大大消減學生對角的興趣。

“指角”的方法實則反映了角的靜態(tài)定義。角是由有公共頂點的兩條射線組成的幾何對象?！爸附恰睍r，一般先指兩條射線的公共頂點，再從頂點出發(fā)依次指出兩條射線。這種表達比較復雜，蘊含順序與方向，學生在短時間內(nèi)難以掌握，勢必形成緊張的學習心理。教師應該充分考慮學生的認知需要，放慢教學的腳步，以問題激發(fā)學生的學習心向，以活動促進學生的感知與發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)正確的空間形式和關(guān)系。

【教學片段2】

師：大家剛才指的地方確實都有角?？芍附堑臅r候，很多人指的都是一個點，角就是一個點嗎？

生1：角不是一個點。

生2：指角的時候，還要指出這兩條線。（學生指出了某一個角的兩條邊）

生3（一邊說，一邊在兩邊之間畫上一條弧線）：角在這里。

師：這些同學說的對不對呢？今天我們就來認識進一步認識角。

1.摸角

師：拿出你的三角尺，我們先來摸一個角。先摸摸這兒，什么感覺？再順著摸，什么感覺？（學生答略）

2.指角

師：指角的時候，不但要指出這個尖尖的地方，還要從這個尖尖的地方向外順著指。（課件動態(tài)演示）

師：你帶來的物品的面上有角嗎？指給大家看。

3.描角

師：要把角從物體的表面上“請”下來，該怎么辦？

生4：把角剪下來。

生5：把角描下來。

師：注意觀察老師是怎樣描角的。

師：請你從剛才找到的角中選取一個，在學習單上描出這個角。

4.提煉特征

師（展示學生描出的角）：這些角有的開口朝左，有的開口朝右，形狀也不完全相同，可為什么它們都叫作角呢？它們有什么共同的地方？

生6：它們都有一個尖尖的地方。

生7：它們都有兩條邊。

生8：兩條邊都是直直的。

師：同學們太善于觀察了。原來，這些圖形都有共同之處，請同學們借助學習單進行自學。

生9：尖尖的地方在數(shù)學上稱為頂點，兩條直直的線稱為角的邊。

師：角有一個頂點和兩條邊。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出：在圖形的認識的教學中要鼓勵學生動手操作，感知立體圖形和平面圖形的特點以及這兩類圖形的關(guān)聯(lián)，引導學生經(jīng)歷圖形的抽象過程，積累觀察物體的經(jīng)驗，形成初步的空間觀念。在抽象角的過程中，教師安排了多次操作活動，有力促進了學生空間觀念的發(fā)展。通過“摸角”，學生獲得了“尖尖的”“直直的”的物理感受，為揭示頂點和邊的抽象概念奠定感性基礎(chǔ)；通過觀察教師“指角”、多媒體演示、生生互相“指角”的方式，學生了解了角的基本結(jié)構(gòu)；“描角”，啟發(fā)學生將生活中的角抽象成數(shù)學角，親身經(jīng)歷將圖形從實物上抽離的過程；最后，比較這些圖形的共同特點，使學生的視角都集中在角的形狀和結(jié)構(gòu)上，從而形成對角的概括性認識。

三、順應學生的心理需求，以自主探索豐富概念內(nèi)涵

心理學研究表明：小學低年級學生的注意以無意注意為主，他們?nèi)菀妆换顒拥摹Ⅴr艷的、新穎的、有趣的事物所吸引。作為教師，要充分考慮學生的心理發(fā)展特點，順應學生的心理需求，合理地呈現(xiàn)學習素材和安排教學活動。

在學習“角的初步認識”時，學生不但需要通過“摸角”“指角”等活動感知角的靜態(tài)特征，還要通過制作活動角獲得對角的“動態(tài)”體驗。很多教師在這個環(huán)節(jié)都是先放手讓學生“做角”，再帶領(lǐng)學生研究“怎樣把手中的角變大或變?。磕茏鲆粋€比這個角（固定一個角）更大或更小的角嗎？”。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，剛做出來的活動角讓學生覺得很新奇，許多學生都在玩角，根本沒有認真思考教師提出的問題。因此，兼顧教學需要和兒童的心理需求是十分有必要的。

【教學片段3】

師：用2根硬紙條和1個圖釘，想辦法做一個角。做完角的同學可以先玩一玩這個角，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

師：想一想，兩根硬紙條相當于角的什么？圖釘呢？

生1：兩根硬紙條相當于角的兩條邊，圖釘相當于角的頂點。

師：在玩角的時候，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：我發(fā)現(xiàn)我做的角可以動。

生3：角可以變大，也可以變小。

師：怎樣將角變大？

生4：把兩根硬紙條往外拉。

生5：兩邊打開，角就大了。

師：怎樣將角變??？

生6：把兩根硬紙條往里面收，角就變小了。

師：角是有大有小的。開口大，角就大；開口小，角就小。

教師給足空間讓學生自己做角、玩角，借助問題“可以先玩一玩這個角，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”促使學生在玩的過程中自己去發(fā)現(xiàn)，而不是由教師“牽著走”。這樣，既滿足了學生對新鮮事物的好奇心，又使學生在從“玩”中自然地產(chǎn)生新的認識，可謂一舉兩得。在制作活動角的過程中，教師走近學生，聽到學生的聲音“我的角可以變大變小”“這樣拉，角就可以變大了”……可見，學生對活動角的好奇心和現(xiàn)有的認知能力足以指引他們自主發(fā)現(xiàn)。順應學生的心理需要，鼓勵他們大膽探索才是破解教學被動局面的有效方式。

四、捕捉學生的動態(tài)生成，以特殊素材深化概念認知

學生是具有主觀能動性的個體，他們帶著各自的經(jīng)驗、知識、思維能力、思考習慣走入課堂，這決定了他們所參與的學習活動是一個不斷發(fā)展變化的過程。教師要善于捕捉這些來自學生的信息，積極回應學生出現(xiàn)的問題，使課堂生成成為新的教學資源，為學生的深度學習服務(wù)。

在玩活動角的過程中，有些學生將兩邊的開口拉得比較大，就可能出現(xiàn)平角。因為平角“長相特殊”，學生常常“不識廬山真面目”，認為它不是一個角。對此，有的教師采取回避態(tài)度，認為平角是以后要學習的概念，現(xiàn)在認識它還太早。其實，概念雖超前，但“這個角是不是角？”卻是這節(jié)課可以回答的問題，而且是一個非常有價值的素材。通過對平角的辨析，能夠更鮮明地揭示概念的內(nèi)涵與外延，加深學生對概念本質(zhì)的理解。

【教學片段4】

師（出示一個固定角）：你能變出比這個角更大的角嗎？

生1：一條邊不動，另一條邊向外打開。

生2：兩條邊都向外打開。

師（出示一個周角）：有同學變出了一個這樣的角，有同學說它不是角，你認為呢？

生3：這不是一個角，它只是一條線。

生4：它是一個角，它有一個頂點和兩條邊。

師：它的頂點和邊在哪里，你能指一指嗎？

師：現(xiàn)在大家怎么想？它是一個角嗎？

生5：它是一個角，它有一個頂點和兩條邊。

生6：它是個特別的角，它的兩條邊在一起了（同一條直線上了）。

師：它是一個角，（邊指邊說）這是角的頂點，這是角的一條邊，這是角的另一條邊，角就在這里。只不過它比較特殊，兩條邊在同一條直線上，以后大家就會知道，這樣的角叫“平角”。

“平角”的出現(xiàn)，打破了學生的認知平衡。最初，有不少學生認為這個圖形不是角，因為形狀和之前看到的角不同。但很快就有學生借助剛剛學過的角的特征進行理性思辨，認識到“雖然兩根硬紙條的位置很特殊，但它們作為兩條邊，也是直直的，而且有一個公共的頂點，符合角的特征，因此它就是一個角”。在質(zhì)疑、討論中，學生對角的表象有了更為豐富的感知，對角的本質(zhì)屬性有了更為深刻的認識，通過邏輯推理、語言表達實現(xiàn)了思維進階，進一步發(fā)展了空間觀念。

綜上，教學不能僅從教的角度來設(shè)計，還應該從學生學的角度去思考。教師只有對學情有了充分的了解，才懂得要選擇性利用學生的生活經(jīng)驗，才發(fā)現(xiàn)源自學生的富有價值的動態(tài)生成，實現(xiàn)學生對知識的深度理解，促使學生愿學、樂學、會學。

數(shù)學課堂是為學生的數(shù)學學習服務(wù)的，作為教師，了解學生是我們的必修課。就像成尚榮先生說的那樣，“教學是一個研究的過程，研究的核心應該是兒童。教師不能只研究教學，也不能只研究技術(shù)，而應該研究兒童，研究兒童怎樣學習?！北羞@樣的理念，我們會繼續(xù)前行，在兒童的教育之路上不斷探索，努力為學生奉獻更多適合他們的數(shù)學課堂！