認知負荷理論下中美高中數(shù)學習題比較
——以“統(tǒng)計與概率”為例*

郭浩然 李書海 (內(nèi)蒙古赤峰學院數(shù)學與計算機科學學院 024000) 李 麗 (濟南大學數(shù)學科學學院 250001)

1 理論基礎(chǔ)

認知負荷理論[1]以圖式理論、認知資源有限理論和工作記憶理論為基礎(chǔ)，于1988年由澳大利亞心理學家John Sweller首次提出，并將其應用于教育領(lǐng)域[2]．認知負荷理論可以探究不同內(nèi)容的任務(wù)對學習者認知資源的占用，也可以分析學習者對于不同知識的內(nèi)化過程．由此，認知負荷理論成為了國內(nèi)外教育研究的重要內(nèi)容之一．學者Paas[3]將認知負荷理論分為了mental effort和mental load兩部分，并將其應用在教育心理學的研究上.國內(nèi)學者林崇德、辛自強[4]在前人研究的基礎(chǔ)上將認知負荷與代加工信息之間的關(guān)系進行了量化分析．由此可見，認知負荷理論在教育學中的研究成果豐碩，研究價值也相當可觀．

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

統(tǒng)計與概率是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，同時也是現(xiàn)代課程中各國爭相引入的內(nèi)容．近些年，中美兩國都對該領(lǐng)域內(nèi)容進行了多次課程改革，教育部在2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》[5]首次將概率與統(tǒng)計內(nèi)容納入高中數(shù)學必修部分，2010年，美國National Governors Association推出的CommonCoreStateStandardsforMathematics中規(guī)定概率與統(tǒng)計內(nèi)容是數(shù)學課程的核心內(nèi)容之一．

教材是課程改革的載體，是教師上課的依據(jù)，也是師生交流的重要橋梁[6]．因此，本文選擇國內(nèi)正在使用且使用范圍較廣、時間較長的人民教育出版社教材(以下簡稱人教A版)、北京師范大學出版社教材(以下簡稱北師大版)以及美國Glencoe/Mc Graw Hill公司2009年出版的高中數(shù)學教材Core-PlusMathematics(以下簡稱CPM版)為研究對象進行比較分析．

2.2 研究方法

本文主要采用文本分析法、統(tǒng)計量化法和比較研究法，利用相關(guān)學者建立的習題分類模型、習題認知水平模型等，對中美三版教材中“概率與統(tǒng)計”部分習題進行多維度統(tǒng)計分析．

3 研究內(nèi)容

3.1 習題呈現(xiàn)方式的比較

習題的呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了數(shù)學教材編者的編寫風格和編寫特色[7]．不同的呈現(xiàn)方式對學生的解題也會產(chǎn)生差異，從而給學生帶來不同的認知負荷．基于此，筆者對三版教材中的習題欄目設(shè)置進行分析比較，具體內(nèi)容如表1所示．

表1 習題呈現(xiàn)方式的比較

通過對三版教材中習題的呈現(xiàn)方式的統(tǒng)計，可以得出以下結(jié)論：

(1)人教A版教材和北師大版教材的習題形式多樣，每小節(jié)習題都分為“練習、習題A組、習題B組”三部分.進一步研究發(fā)現(xiàn)，三部分習題都是以基礎(chǔ)題為主，主要考查和鞏固學生對知識的理解和掌握程度．不同的是，根據(jù)知識點模塊，人教A版教材的章末習題分為了“復習參考習題A組和B組”，而北師大版則具體分為了“復習參考題A,B,C三組”，綜合來看，A組習題以更具有針對性的基礎(chǔ)題為主，B組習題難度略高于A組，以考查學生知識運用能力的綜合題為主，而C組習題多為探究類習題，可見北師大版教材更加注重培養(yǎng)學生的探索精神和動手能力．

(2)CPM版教材將習題細分為“應用、練習、反思、拓展、復習”五大類型，應用類習題是對學生所學新知的鞏固，多為基礎(chǔ)題；聯(lián)系類習題是對先前所學知識和新知的綜合運用，主要考查學生對新知的掌握程度；反思類習題是對新知理解的加深；拓展類習題多為綜合題，考查學生的知識運用能力；復習類習題是對新知的整理復習，目的是幫助學生對所學新知進一步復習深化．由此可見，在習題呈現(xiàn)方面，CPM版教材較中版教材層次性更強，內(nèi)容也更為豐富．

3.2 習題認知水平的比較

學者顧泠沅在布魯姆目標分類的基礎(chǔ)上，將數(shù)學習題的認知水平分為四個層次架構(gòu)：計算操作水平、概念記憶水平、領(lǐng)會理解水平、分析探究水平[8]．依據(jù)此分類標準，對三版教材中“統(tǒng)計與概率”部分習題進行分類統(tǒng)計如表2所示．

表2 習題認知水平比較

在計算操作水平方面，人教A版和CPM版教材中所占比例相似，分別為27.3%,28.9%，北師大版所占比例最少；CPM版教材中概念理解水平習題比例最少，不足總習題量的五分之一，可見CPM版教材對于概念記憶類習題關(guān)注度較低；領(lǐng)會理解水平習題在三版教材中所占比例相似，說明三版教材更加注重知識的理解與應用；分析探究水平的題目比例相差較大，CPM版教材要比人教A版教材高7.7%，比北師大版教材高9.4%．

3.3 習題難度的比較

習題有大題小題之分，不同題目所占分量不同，綜合難度亦有差距．因此，本文選擇國家社科基金項目“高中數(shù)學教材難易程度的國際比較研究”中的標準對三版教材中的習題難度進行劃分，以便統(tǒng)一單位：習題難度由習題的性質(zhì)、背景、知識點含量三方面決定，其中，習題性質(zhì)分為模仿型習題、遷移型習題以及探究型習題三個級別；習題背景分為無背景類習題、生活背景類習題和科學背景類習題；知識點含量分為1個、2～3個、4個及以上三個級別．習題難度、習題背景和習題知識點含量的權(quán)重分別為0.4,0.4,0.2．

由表3可以看出：三版教材的“習題背景”難度系數(shù)都大于2，且相差不大，說明三版教材習題在該因素上難度水平較高；在“習題性質(zhì)”因素方面，人教A版與CPM版教材難度水平顯著高于 北師大版，說明二者更加注重對于統(tǒng)計與概率知識的理解與應用；在“習題的知識點含量”方面， 三版教材難度水平差異最小，且難度系數(shù)均小于2，說明三版教材在習題知識點綜合分布方面都 比較均衡，未出現(xiàn)“畸輕畸重”的現(xiàn)象．總體來說，人教A版與CPM版教材的綜合難度高于北師大版．

表3 習題綜合難度的比較

4 對我國高中數(shù)學教材修訂的建議

(1)注重數(shù)學教材與其他科學知識的聯(lián)系．荷蘭教育家弗賴登塔爾在其《作為教育任務(wù)的數(shù)學》一書中提到：在學習過分數(shù)之后，就應該把概率內(nèi)容滲透到所有的數(shù)學中去[9]．美國的《標準》中也明確要求：加強代數(shù)和幾何思想與概率的聯(lián)系，學生就能夠在已有知識的基礎(chǔ)上對整個數(shù)學體系的知識建立新的理解．因此，國內(nèi)教材應當順應時代發(fā)展的要求，拓展課程的廣度與深度，積極建立數(shù)學與其他科學知識的聯(lián)系，以降低學生對于新知識的陌生感，減少學生由于經(jīng)驗不足所帶來的內(nèi)在認知負荷及外在認知負荷[10]．

(2)降低習題的無意義重復．人教A版和北師大版教材在習題數(shù)量上遠低于CPM版教材，且與例題形式相同或直接模仿例題解答的習題所占比重較大．因此，人教A版和北師大版教材應在注重“四基”的前提下，適當借鑒下CPM版教材的習題設(shè)計，多設(shè)置些能夠培養(yǎng)學生能力的開放探索類習題，降低反復無意義習題的比例，從而降低由于學習材料實用性不強而帶來的內(nèi)在認知負荷．

(3)注重習題的分層設(shè)計．在對習題的呈現(xiàn)方式分析中發(fā)現(xiàn)，人教A版將習題分為了“練習題”“習題A,B組”，北師大版則分為了“練習題”和“習題A,B,C組”，在一定程度上對習題進行了細化分層，而CPM版教材根據(jù)不同的知識技能目標，將習題分為“應用、聯(lián)系、反思、拓展、復習”五個層次，還根據(jù)不同層次的要求分配了不同的習題數(shù)量．因此，人教A版和北師大版教材可以參考CPM版教材中的習題呈現(xiàn)方式，對習題進行更加細化的分層設(shè)計，減少由于習題不合理的分布給學生帶來阻礙知識建構(gòu)的外在認知負荷[11]．