核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)
——以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根”課堂實(shí)錄及反思為例

徐榮新 (江蘇省無(wú)錫市洛社高級(jí)中學(xué) 214187)

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的[1]．

筆者基于APOS理論對(duì)高中數(shù)學(xué)概念課進(jìn)行了專題研究，明晰了概念學(xué)習(xí)要經(jīng)過(guò)“活動(dòng)”(概念情境引入)、“過(guò)程”(概念定義形成)、“對(duì)象”(概念本質(zhì)理解)和“圖式”(概念系統(tǒng)聯(lián)結(jié))等四個(gè)階段，同時(shí)在研究的過(guò)程中深刻體會(huì)到概念課對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的價(jià)值，也嘗試在“理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生”[2]的基礎(chǔ)上，從核心素養(yǎng)的視角來(lái)設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)概念課．

本文以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根”一課的設(shè)計(jì)和教學(xué)為例，借此談?wù)劯拍钫n教學(xué)的感悟與思考．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題1方程x2-x-3=0是否有解？如果有，如何求解？

生：考慮方程的判別式Δ=(-1)2-4×(-3)=13>0，故方程有解，可以用配方或者求根公式求解．

師：很好，也就是說(shuō)對(duì)于我們熟悉的方程，可以利用代數(shù)法求出方程的根．在人類漫長(zhǎng)的歷史中，很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者嘗試解決高次方程，并通過(guò)不懈的努力給出了三次方程和四次方程的公式求解法．1824年，22歲的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾嚴(yán)格地證明了五次及五次以上的代數(shù)方程通用的求根公式不存在．當(dāng)然，對(duì)于其他復(fù)雜形式的方程，譬如lnx+2x-6=0，也無(wú)法用公式來(lái)求解．那么，這樣的方程有沒(méi)有解？解大約是多少？我們今天嘗試來(lái)研究這樣的問(wèn)題．

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)為“活動(dòng)”階段．從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，明確方程求解的基本方法——代數(shù)(公式)法，同時(shí)通過(guò)數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)問(wèn)題的闡述，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到代數(shù)(公式)法的局限性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，也為引入新的方法和手段埋下伏筆．

2.2 歸納概括，形成概念

問(wèn)題2回顧初中和高中一元一次不等式和一元二次不等式的求解，我們采用了什么方法？

生：借助函數(shù)的圖象，找到位于x軸上方或下方部分所對(duì)應(yīng)的x取值．

師：也就是我們建立了函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式，那么我們能否用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)方程呢？先請(qǐng)大家完成下面這個(gè)表格．

函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)

師(追問(wèn))：你對(duì)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有什么新的認(rèn)識(shí)？

生：方程ax2+bx+c=0的根就是函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

師(追問(wèn))：這樣的認(rèn)識(shí)讓我們對(duì)方程的根有了全面的了解，對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，怎么理解？

生：方程f(x)=0的根就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)為“過(guò)程”階段．在不等式部分學(xué)生已了解二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，同時(shí)對(duì)于零點(diǎn)一筆帶過(guò)，而對(duì)于利用函數(shù)來(lái)研究不等式，雖然學(xué)生已有這樣的經(jīng)歷，但以形助數(shù)的意識(shí)需要在不同的階段進(jìn)行強(qiáng)化、滲透，循序漸進(jìn)．因此基于學(xué)生的認(rèn)知，以熟悉的二次函數(shù)為例，在表格的完成過(guò)程中體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、圖象交點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而抽象概括給出一般函數(shù)零點(diǎn)定義，再次體會(huì)三者之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)引領(lǐng)代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)路徑，為后續(xù)一般方程根的探究求解提供了思路．

2.3 概念辨析，理解本質(zhì)

例1判斷函數(shù)f(x)=x2-x-3在區(qū)間(2,3)上是否存在零點(diǎn)．

師(追問(wèn)1)：還有其他的研究視角嗎？

生：可以從函數(shù)圖象的角度看，由于f(2)= -1<0，f(3)=3>0，因此函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(2,3)上與x軸有交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)=x2-x-3在區(qū)間(2,3)上存在零點(diǎn)．

師(追問(wèn)2)：很好！對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)求解，也可以從圖象上找到區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)的依據(jù)，那對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，如何判斷其在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否存在零點(diǎn)呢？

生：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上滿足f(a),f(b)異號(hào)，即f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)．

師(追問(wèn)3)：會(huì)不會(huì)出現(xiàn)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸的上方和下方，但圖象卻沒(méi)有穿過(guò)x軸？

學(xué)生討論完善：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)c．這個(gè)c也是方程f(x)=0的解．

師(追問(wèn)4)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)，是否一定有f(a)f(b)<0？

生：不一定．以函數(shù)f(x)=x2-x-3為例，在(-2,3)上有零點(diǎn)，但f(-2)>0，f(3)>0．

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)為“對(duì)象”階段．在理解零點(diǎn)概念的基礎(chǔ)上給出例1，方法1體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的代數(shù)理解，即方程f(x)=0的解，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想．追問(wèn)1則在學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)幾何屬性初體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從圖象的角度嘗試尋找是否有解的依據(jù)，并通過(guò)追問(wèn)2和追問(wèn)3，總結(jié)找尋一般函數(shù)y=f(x)區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的方法，即函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并加以完善．同時(shí)借助追問(wèn)4明晰了定理的充分不必要性．在整個(gè)過(guò)程中從代數(shù)(方程的根)、幾何(函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))兩個(gè)角度加深對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的理解，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的貫通，也就為方程根的求解提供了新的路徑．

2.4 概念應(yīng)用，建立聯(lián)系

例2方程lnx+2x-6=0是否有解？

生：此方程無(wú)法用代數(shù)法求解，因此考慮利用函數(shù)f(x)=lnx+2x-6，定義域?yàn)?0,+∞)，而f(1)=-4<0，f(3)=ln 3>0，而且函數(shù)圖象是連續(xù)的曲線，所以函數(shù)f(x)在(1,3)上有零點(diǎn)，即方程lnx+2x-6=0有解．

師(追問(wèn)1)：還有其他解嗎？

生：函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，因此只有一個(gè)解．

師(追問(wèn)2)：很好！結(jié)合我們學(xué)過(guò)的初等函數(shù)，對(duì)于方程lnx+2x-6=0，你們能否發(fā)現(xiàn)不同的研究視角？

學(xué)生討論，匯報(bào)：可以變形為lnx=6-2x，然后分別設(shè)g(x)=lnx，h(x)=6-2x，借助這兩個(gè)函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)有交點(diǎn)，且唯一，即原方程只有一個(gè)解．

師：方法1直接找尋函數(shù)載體f(x)=lnx+2x-6，借助f(1),f(3)的正負(fù)和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，確定有解且唯一，背后是f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)；而方法2則通過(guò)方程的變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的初等函數(shù)g(x)=lnx，h(x)=6-2x，進(jìn)而研究函數(shù)g(x),h(x)的圖象交點(diǎn)，殊途同歸，都體現(xiàn)了用函數(shù)來(lái)求解方程的根，凸顯了函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)作用．

師(追問(wèn)3)：大家課后思考，方程lnx+2x-6=0的根離1近，還是離3近？

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)為“圖式”階段．例2回到課前情境中的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)法受限的情況下，轉(zhuǎn)變思維角度，利用函數(shù)思想構(gòu)造函數(shù)， 依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解，并通過(guò)追問(wèn)1讓學(xué)生關(guān)注函數(shù)性質(zhì)對(duì)求解函數(shù)的零點(diǎn)、方程 根的作用，為后續(xù)復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)與方程的根作鋪墊；追問(wèn)2則啟發(fā)學(xué)生對(duì)方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩 個(gè)熟悉函數(shù)的圖象進(jìn)行研究．在此過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，體會(huì)函數(shù)與方程的思想．

2.5 師生小結(jié)，提升認(rèn)識(shí)

一個(gè)概念和一個(gè)定理：函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)零點(diǎn)存在定理．

兩種角度和兩種思想：函數(shù)零點(diǎn)，即方程的根，函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．

設(shè)計(jì)意圖組織學(xué)生從知識(shí)和方法上進(jìn)行自我和互幫互助式小結(jié)，是學(xué)生提升對(duì)新知全面認(rèn)識(shí)的又一跨越，可以有效地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)生成的來(lái)龍去脈和其中蘊(yùn)含的思想方法，也能加深對(duì)知識(shí)和方法的理解．

3 教學(xué)反思

3.1 理解數(shù)學(xué)，找尋核心素養(yǎng)固著的載體

數(shù)學(xué)學(xué)科的終極培養(yǎng)目標(biāo)是“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”，而課程標(biāo)準(zhǔn)則把“三會(huì)”具體化為六個(gè)核心素養(yǎng)，即“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”．而要能夠把核心素養(yǎng)落到實(shí)處，必須通過(guò)有機(jī)的載體加以滲透，因此，理解教材的編寫(xiě)意圖顯得尤為重要，只有做到了這一點(diǎn)，才能進(jìn)一步思考“如何用教材教”．

作為概念課，則是核心素養(yǎng)固著的有機(jī)載體，在本節(jié)課函數(shù)零點(diǎn)的概念生成、函數(shù)零點(diǎn)存在 定理的歸納和完善過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等能力．只有意識(shí)到這些知識(shí)和方法承載的育人價(jià)值，才能讓活動(dòng)組織和問(wèn)題凝練得以進(jìn)一步實(shí)施．

3.2 理解教學(xué)，組織核心素養(yǎng)落實(shí)的活動(dòng)

基于對(duì)教材核心素養(yǎng)角度的理解，教師需要進(jìn)一步梳理以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，組織學(xué)生能夠有效參與的教學(xué)活動(dòng)，發(fā)揮學(xué)生的主體性，借助獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維重點(diǎn)、難點(diǎn)的突破，感悟知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想和方法，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的和諧統(tǒng)一，在這個(gè)統(tǒng)一體中努力實(shí)踐數(shù)學(xué)思想的感悟與內(nèi)化[3]．

本節(jié)課的函數(shù)零點(diǎn)概念并不是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)零點(diǎn)概念所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想，以及函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的生成與完善，才是學(xué)生思維和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步提升和突破的難點(diǎn)．因此教學(xué)過(guò)程中教師以學(xué)生已有的知識(shí)和能力為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，組織構(gòu)建知識(shí)的有機(jī)整體，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通，最后的小結(jié)則讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的認(rèn)知達(dá)到一個(gè)高度，使收獲的知識(shí)更加全面．

3.3 理解學(xué)生，凝練核心素養(yǎng)提升的問(wèn)題

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，最終的手段是問(wèn)題的設(shè)計(jì)和解決，教師要結(jié)合對(duì)于核心素養(yǎng)的理解設(shè)計(jì)合理的情境和問(wèn)題，讓學(xué)生有解決問(wèn)題的欲望和興趣；能讓學(xué)生選擇合理的方法解決問(wèn)題，在此過(guò)程中實(shí)現(xiàn)方法的理解和掌握；能在解決問(wèn)題后進(jìn)行反思總結(jié)，發(fā)展理性思維，提升思維品質(zhì)．

本節(jié)課在學(xué)生函數(shù)零點(diǎn)概念基本理解的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了例1，在解決的過(guò)程中強(qiáng)化了對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的雙重理解，即代數(shù)和圖形，建立了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，同時(shí)在利用圖形方法解決過(guò)程中，通過(guò)不斷的追問(wèn)，生成和完善了函數(shù)零點(diǎn)存在定理；而例2的設(shè)計(jì)則強(qiáng)化了利用函數(shù)解決方程根問(wèn)題的手段，并通過(guò)追問(wèn)2引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方程進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，找到問(wèn)題解決的另一途徑，引導(dǎo)學(xué)生理解其中共同的本質(zhì)，而追問(wèn)3則為后續(xù)的二分法學(xué)習(xí)埋下了伏筆．