探究與應用·過程與綜合·整合與素養(yǎng)

薛三虎　薛紅霞

摘? 要：綜合與實踐是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動. 通過梳理2022年全國各地區(qū)中考試題中涉及或者類似于考查“綜合與實踐”內(nèi)容的代表性試題，分析此類試題的特點，并賞析優(yōu)秀試題，給出復習建議和典型模擬題．

關鍵詞：綜合與實踐；中考試題；試題特點；試題賞析；復習建議

2001年至今，“綜合與實踐”領域一直是初中數(shù)學教學的主要內(nèi)容，全國各地區(qū)中考命題者都在積極探索、創(chuàng)新，力求從問題情境、設問方式、考查內(nèi)容等方面體現(xiàn)出此類試題的綜合性和實踐性等特點，以考查學生的必備知識、關鍵能力和學科素養(yǎng). 本文將從全國各地區(qū)中考試卷中選擇部分試題進行解題分析.

一、試題特點分析

1. 設置多樣化現(xiàn)實生活情境，突出試題的現(xiàn)實性

例1 （山西卷）首屆全民閱讀大會（如圖1）于2022年4月23日在北京開幕，大會主題是“閱讀新時代·奮進新征程”. 某?！熬C合與實踐”小組為了解全校3 600名學生的讀書情況，隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，形成了如表1所示的調(diào)查報告（不完整）.

試根據(jù)以上調(diào)查報告，解答下列問題：

（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)及這些學生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)；

（2）估計該校3 600名學生中，平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)；

（3）該小組要根據(jù)以上調(diào)查報告在全班進行交流，假如你是小組成員，試結合以上兩項調(diào)查數(shù)據(jù)分別寫出一條你獲取的信息.

目標解析：此題涉及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識，考查學生從統(tǒng)計圖中獲取信息的能力、應用意識和數(shù)據(jù)觀念.

解法分析：（1）從問卷第一項調(diào)查結果繪制的兩個統(tǒng)計圖中，獲得所調(diào)查的學生中選擇選項A，B，C，D的人數(shù)和各自占調(diào)查人數(shù)百分比等信息，由此求出本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為300人.（2）由問卷第二項調(diào)查結果繪出的統(tǒng)計圖，計算出“從圖書館借閱”人數(shù). 由選擇選項A人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比，估計全校學生平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù).（3）結合調(diào)查報告所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，可以從不同角度得到不同的結論，或者說得到不同的統(tǒng)計推斷. 一般地，在統(tǒng)計與概率中，凡是基于數(shù)據(jù)做出的統(tǒng)計推斷只有合理與不合理之分.

解：（1）由表1中的數(shù)據(jù)，可得在被調(diào)查的學生中選擇選項D的人數(shù)為33，占比為11%.

[33÷11%=300]（人）[，300×62%=186]（人）.

答：參與本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為300人，這些學生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)為186人；

（2）由表1中的數(shù)據(jù)，可得在被調(diào)查的學生中平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的占32%.

[3 600×32%=1 152]（人）.

答：估計該校3 600名學生中，平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)有1 152人；

（3）答案不唯一. 給出參考答案如下.

第一項：① 平均每周閱讀課外書的時間在“4 ～ 6小時”的人數(shù)最多；② 平均每周閱讀課外書的時間在“0 ～ 4小時”的人數(shù)最少；③ 平均每周閱讀課外書的時間在“8小時及以上”的學生人數(shù)占抽樣調(diào)查總人數(shù)的32%；

第二項：① 閱讀的課外書的主要來源中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)最多；② 閱讀的課外書的主要來源中選擇“向他人借閱”的人數(shù)最少.

試題分析：在關于“閱讀新時代·奮進新征程”的一次綜合與實踐活動中，學生依據(jù)調(diào)查目的設計調(diào)查問卷，基于調(diào)查的結果，經(jīng)歷了數(shù)據(jù)收集、整理與描述、統(tǒng)計推斷等完整的統(tǒng)計活動過程，考查了統(tǒng)計的本質(zhì)——數(shù)據(jù)觀念. 試題情境是一個項目式學習活動，學生在解決問題的過程中，加深了對相關統(tǒng)計圖、統(tǒng)計思想方法和統(tǒng)計意義的理解，這種完整呈現(xiàn)統(tǒng)計全過程的情境，在各版本教材中都經(jīng)常采用，有利于引導教學重視學科實踐.

類題賞析：對于統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖的理解，不能停留在對已知數(shù)據(jù)的統(tǒng)計計算，要重視統(tǒng)計思想方法的應用，重視引導學生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程. 2022年全國各地區(qū)中考試卷中的類似試題還有吉林卷第22題，河南卷第17題和浙江舟山卷第22題等.

2. 設置多樣化現(xiàn)實生活情境，突出試題的綜合性

例2 （湖北·武漢卷）如圖2，在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70 cm處．

小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm / s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得表2．

小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關系．

（1）直接寫出v關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）當黑球減速后運動距離為64 cm時，求它此時的運動速度；

（3）若白球一直以2 cm / s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？試說明理由．

目標解析：此題是將物理問題（同向運動的兩個小球）抽象成為數(shù)學問題，研究小球運動過程中的運動時間、速度、距離之間的變量關系和規(guī)律，考查函數(shù)知識和圖象的性質(zhì)，以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的基本技能，考查學生的抽象能力、模型觀念和應用意識.

解法分析：基于小聰?shù)膶嶒灁?shù)據(jù)和探究發(fā)現(xiàn)，解決第（1）小題用求函數(shù)表達式的一般方法——待定系數(shù)法，選取運動速度v與運動時間t的兩組對應值，得到v與t之間的函數(shù)解析式為[v=-12t+10；] 在確定運動距離y與運動時間t之間的函數(shù)解析式時，根據(jù)[t=0]時[y=0，] 判斷二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，可設y = at2 + bt，從而得到函數(shù)解析式為[y=-14t2+10t．]

由第（1）小題的結果，運用解方程的相關技能即可解決第（2）小題.

將第（3）小題中“黑球在運動過程中會不會碰到白球”的問題，轉(zhuǎn)化成黑白兩球的距離是否可能為0的數(shù)學問題，也就是判斷函數(shù)[w=70+2t-y=14t2-8t+70]的圖象與x軸是否有交點，結論是“黑球不會碰到白球”.

試題分析：此題是一個運動過程比較簡單的物理問題，具有跨學科的特點. 雖然在解決問題的過程中并沒有涉及相關的物理知識，但在一定程度了體現(xiàn)了數(shù)學應用的廣泛性. 事實上，從表2提供的運動速度v與運動時間t的對應值，可以初步判斷運動速度v與運動時間t之間具有一次函數(shù)關系，所以未必需要用“小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系”的方式給出，而省去讓學生將實際問題數(shù)學化的思維過程. 當然“運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關系”不太容易被發(fā)現(xiàn)，可能是為了降低問題難度而采用“小聰探究發(fā)現(xiàn)”的方式呈現(xiàn). 在確定運動距離y與運動時間t之間的解析式時，學生如果沒有發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象經(jīng)過原點這一特征，列出三元一次方程組，可能會增加解決問題的復雜程度.

類題賞析：根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對綜合與實踐內(nèi)容的學業(yè)要求，本部分試題的設置突出跨學科的特點. 因此，在2022年還有部分地區(qū)的相關中考試題也在積極嘗試命制簡單的跨學科問題情境，關注數(shù)學與其他學科，以及與日常生活實際的緊密聯(lián)系. 例如，湖北恩施州卷第10題、山東臨沂卷第20題、浙江舟山卷第15題、江西卷第6題、浙江紹興卷第20題、貴州遵義卷第15題等.

3. 拓展延伸教材例題和習題，突出試題的過程性

例3 （江西卷）綜合與實踐

問題提出：

某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P = 90°，∠F = 60°）的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖3（a），若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當OF與OB重合時，重疊部分的面積為? ? ? ；當OF與BC垂直時，重疊部分的面積為? ? ? ；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積[S1]與S的關系為? ? ? .

類比探究：

（2）若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點M，N.

① 如圖3（b），當BM = CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；

② 如圖3（c），當CM = CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結果保留根號）.

拓展應用：

（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設[∠GOH=α]），將∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為[S2，] 試直接寫出[S2]的最小值與最大值（分別用含[α]的式子表示）.（參考數(shù)據(jù)：[sin15°=6-24，cos15°=6+24，tan15°=][2-3.]）

目標解析：此題主要涉及正方形、直角三角形、全等三角形、圖形的變化等基礎知識. 學生對正方形和直角三角形這兩個圖形應該非常熟悉. 正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，具有特殊的對稱性. 此題基于圖形的運動變化，考查學生的邏輯推理（利用合情推理發(fā)現(xiàn)結論，利用演繹推理證明結論）、直觀想象素養(yǎng)，以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的能力.

解法分析：（1）當OF與OB重合時，OE恰好經(jīng)過點C，重疊部分的面積為正方形的面積的[14，] 即1；當OF與BC垂直時，OE與DC垂直，重疊部分的面積為正方形面積的[14，] 即1. 由此猜想S1 =[14S.] 利用全等三角形可以證明.

（2）① 從圖形的直觀性或?qū)ΨQ性猜想△OMN是等邊三角形，可先證△OMN是等腰三角形，再由∠MON = 60°說明它是等邊三角形；② 容易發(fā)現(xiàn)圖3（c）與圖3（a）的不同點，即圖3（a）是三角板PEF的直角頂點繞正方形的中心旋轉(zhuǎn)，圖3（c）是三角板PEF中60°角的頂點繞正方形的中心旋轉(zhuǎn)，因此四邊形OMCN的面積不可能是正方形面積的[14，] 需要將圖形進行分割再計算它的面積.

（3）觀察圖3（b）和圖3（c）發(fā)現(xiàn)，在銳角∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，圖3（b）中重疊部分的面積小于圖3（c）中重疊部分的面積（面積分別為[33]和[3-1]），獲得猜想并畫出圖形. 當BM = CN時重疊部分的面積最小，當CM = CN時重疊部分的面積最大，并分別計算其值.

解：（1）1，1，[S1=14S.]

（2）① △OMN是等邊三角形，理由如下.

如圖4，分別連接OB，OC.

因為[BM=CN，∠OBC=∠OCB=45°，OB=OC，]

所以△OBM ≌ △OCN.

所以OM = ON.

由∠MON = 60°，知△OMN是等邊三角形.

② 如圖5，連接OC，

因為MC = CN，∠OCM = ∠OCN = 45°，OC = OC，

所以△OMC ≌ △ONC.

由四邊形內(nèi)角和為360°，通過計算，可得

∠OMB = ∠OND = 75°.

過點O作OQ⊥BC于點Q，作OR⊥CD于點R，

則[S△OQM=12OQ · MQ＝2-32，S△ORN＝2-32.]

所以S四邊形OMCN = S正方形OQCR - S△OQM - S△ORN = [1-2-32-][2-32=3-1.]

（3）S2的最小值為[tan α2，] 最大值為[1-tan45°-α2.]

試題分析：此題源自北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級下冊第一章習題1.8第4題，將教材中旋轉(zhuǎn)的圖形由正方形拓展為直角三角形，設置了層層遞進的問題串，引導學生對問題進行深入探究. 這提醒學生在學習過程中要重視對教材內(nèi)容的深度思考，基于習題嘗試提出發(fā)展性問題，不能只是完成作業(yè)，而是要“做作業(yè)”. 此題采用“問題提出—操作發(fā)現(xiàn)—類比探究—拓展應用”的呈現(xiàn)方式，讓學生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，即“像數(shù)學家一樣思考”的過程.

類題賞析：在實踐中學習，在學習中實踐，這體現(xiàn)了《標準》的要求. 2022年還有部分地區(qū)的中考試題選用了教材習題（問題）為命題素材. 例如，四川樂山卷第25題以華東師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第121頁習題19.3第2題及參考答案為試題素材；河南卷第23題對人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第18章“數(shù)學活動”的活動1“折紙做60°，30°，15°的角”進行了延伸性探究和拓展應用.

二、優(yōu)秀試題分析

以往中考在考查綜合與實踐領域的內(nèi)容時，大多是將它融入數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率內(nèi)容的考查之中，很少單獨設置試題進行考查，試題的問題情境、設問方式等相對單調(diào)和簡單. 隨著課程改革的深入推進，《標準》中對本領域內(nèi)容的教學和學業(yè)質(zhì)量有了更加明確而具體的要求，中考正在逐漸加強對綜合與實踐領域內(nèi)容的考查，以此引導教師在數(shù)學教學中重視發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

例4 （江蘇·常州卷）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點. 若△OAB ≌ △OCD，則點O叫做該四邊形的“等形點”.

（1）正方形 ? ? ? “等形點”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如圖6，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”. 已知[CD=42，OA=5，][BC=12，] 連接AC，求AC的長；

（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG. 若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，求[OFOG]的值.

解析：此題定義了四邊形的“等形點”，這個概念有兩個本質(zhì)特征：一是它在四邊形ABCD的邊BC上；二是滿足△OAB ≌ △OCD. 我們在學習三角形全等時有個不成文的約定，如果給出△OAB ≌ △OCD，就確定了這兩個三角形邊角之間的對應關系，也就是說這兩個三角形頂點的順序是確定的. 只有對這個概念有深刻的理解，才能解決接下來的問題. 此題設置的三個問題（任務）都是圍繞這個新概念提出的，這三個問題層層深入，思維難度不斷提高，有效考查了學生的邏輯推理，以及進一步學習數(shù)學的能力和知識的近遷移能力.

第（1）小題中，畫正方形ABCD，經(jīng)過反復嘗試發(fā)現(xiàn)，無論點O在邊BC上的任何位置，連接OA，OD后，△OAB和△OCD都不全等，所以在正方形中不存在“等形點”，這是經(jīng)過動手操作后合情推理獲得的結論.

第（2）小題中，過點A作AM⊥BC于點M，將AC置于Rt△AMC中，根據(jù)已知條件分別求出AM和MC的長，依據(jù)勾股定理就能求出AC的長.

第（3）小題中，需要學生自己畫出滿足條件EH∥FG的一個四邊形EFGH，由“等形點”的定義可證得[OF=OG，] 即[OFOG=1.]

例5 （內(nèi)蒙古·赤峰卷）同學們還記得嗎？圖7（a）、圖7（b）是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形. 受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學興趣小組提出了以下三個問題，試回答：

（1）【問題一】如圖7（a），正方形[ABCD]的對角線相交于點[O，] 點[O]又是正方形[A1B1C1O]的一個頂點，[OA1]交[AB]于點[E，OC1]交[BC]于點[F，] 則[AE]與[BF]的數(shù)量關系為? ? ? ? ?；

（2）【問題二】受圖7（a）啟發(fā)，興趣小組畫出了圖8：直線[m，n]經(jīng)過正方形[ABCD]的對稱中心[O，]直線[m]分別與[AD，BC]交于點[E，F(xiàn)，] 直線[n]分別與[AB，CD]交于點[G，H，] 且[m⊥n]. 若正方形[ABCD]邊長為8，求四邊形[OEAG]的面積；

（3）【問題三】受圖7（b）啟發(fā)，興趣小組畫出了圖9：正方形[CEFG]的頂點[G]在正方形[ABCD]的邊[CD]上，頂點[E]在[BC]的延長線上，且[BC=6，CE=2.] 在直線[BE]上是否存在點[P，] 使[△APF]為直角三角形？若存在，求出[BP]的長度；若不存在，說明理由.

解析：對于問題一，可以直觀猜想（合情推理），也可以通過證明△OAE ≌ △OBF，得出結論AE = BF. 但是通過合情推理獲得的結論不一定可靠. 因此，一般來說，在數(shù)學研究中經(jīng)常采用的方法是合情推理獲得數(shù)學猜想，演繹推理證明猜想. 事實上，證明出AE = BF對于問題二的解決積累了思維經(jīng)驗. 問題三的分析與解答同樣采用猜想加證明的策略，設BP＝x，將△APF的三邊分別用含x的代數(shù)式表示，建立并求解關于x的方程后解決問題.

圖8和圖7（a）看似沒有關系，但若分別延長圖7（a）中的A1O，C1O，那么圖8、圖9幾乎就是圖7（b），沒有改變所研究問題的幾何特征.

此題是在學生完成教材中的“實驗與探究”內(nèi)容后對問題的進一步思考與反思，有獨立思考、有合作交流，用三個問題展示了這次學習的成果，讓學生經(jīng)歷了項目化學習的大致過程. 因此，在中考復習期間也不應該丟棄教材，要注重基礎、重視教材，對教材中的例題和習題進行深入思考也是從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的一種途徑.

三、復習備考建議

復習是對已有知識的再學習，對已學知識進行整合與重組的過程，目的是達到知識結構化、能力化和系統(tǒng)化，加強知識的整體性和知識之間的聯(lián)系，提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力. 解決綜合性、實踐性問題，能夠幫助我們深刻理解數(shù)學概念、定理和思想方法.

1. 注重解決現(xiàn)實問題

在解決問題的過程中，發(fā)展學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的素養(yǎng)，引導學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程，體會數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，體驗數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高對數(shù)學整體性的認識，在此過程中感受數(shù)學應用的廣泛性，提高實踐能力和創(chuàng)新意識.

2. 重視教材問題再學習

各版本教材中提供了許多綜合與實踐的學習內(nèi)容，復習時要對其進行系統(tǒng)梳理，讓學生再次經(jīng)歷綜合與實踐活動的全過程，同時對教材中的習題或者已經(jīng)解決了的習題進行反思性研究，嘗試自主發(fā)現(xiàn)和提出有價值的數(shù)學問題，或獨立思考，或與同學合作解決.

3. 注重解題后的反思

通過解決操作類、探究型綜合問題，體會觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等探究過程，積累研究問題的經(jīng)驗和方法，發(fā)展思維能力，加深對相關數(shù)學知識的理解.

4. 注重學科實踐，開展項目學習活動

《標準》指出，初中階段綜合與實踐領域，可以采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法……在學段目標、教學提示、教學建議等中有30多處與項目式學習相關的論述. 由此可見，項目式學習將是新時代義務教育數(shù)學教學的一種重要方式，它將通過改變教學方式，達成數(shù)學學科的育人功能，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

四、典型模擬題

1. 某養(yǎng)殖場需要定期購買飼料，已知該養(yǎng)殖場每天需要200千克飼料，飼料的價格為1.8元 / 千克. 飼料的保管費與其他費用平均每天為0.05元 / 千克，購買飼料每次的運費為180元.

任務1：該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少；

小明的分析如下：如果2天購買一次，則飼料保管費與其他費用需支付200 × 0.05 = 10（元）；如果3天購買一次，則飼料保管費與其他費用需支付200 × 2 × 0.05 + 200 × 0.05 = 30（元）；如果4天購買一次，則飼料保管費與其他費用需支付200 × 3 × 0.05 + 200 × 2 × 0.05 + 200 × 0.05 = 60（元）. 他發(fā)現(xiàn)這不是一個好方法，而自己熟悉的數(shù)學模型不能解決這個問題，于是想到了用函數(shù)圖象的方法. 設x天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y元. 下面是他解決這個問題的過程，試解答：

（1）通過計算得到x與y的部分對應值如表3所示，試補全表格；

（2）在如圖10所示的在平面直角坐標系中，描出（1）中所對應的點；

（3）結合圖象：養(yǎng)殖場 ? ?天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.

任務2：提供飼料的公司規(guī)定，當一次購買飼料不少于2 000千克時，價格可享受九折優(yōu)惠. 在該養(yǎng)殖場購買飼料時是否需要考慮這一優(yōu)惠條件，說明理由.

答案：任務1：（1）如表4所示.

（2）如圖11所示.

（3）6.

任務2：答案不唯一，只要分析說明合理即可.

2. 問題情境：數(shù)學小組在一次課外學習的交流展示時，組內(nèi)一同學提出如下問題：在△ABC中，∠ACB = 90°，D為邊BC上一點，但不與點B，C重合，過點D作DE⊥AB于點E. 連接AD，設M為AD的中點，連接EM，CM.

（1）直觀猜想：圖12（a）中，EM與CM之間的數(shù)量關系是? ? ? ? ? ? ?；

（2）交流分享：如圖12（b），小明將△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，而其他條件保持不變，則上述猜想仍然成立. 他是這樣思考的：延長DE到點D′，使得D′E = DE，連接AD′，根據(jù)三角形中位線定理，…… 試按照他的思路或采用其他方法完成證明；

（3）深入探究：另一名學生想到，若∠ABC = 30°，AC = 4，DE = 2，在△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當直線DE經(jīng)過點A時，能求出線段AD的長. AD的長等于? ? ? ? ?.

答案：（1）EM = CM；

（2）略；

（3）[213-2]或[213+2.]

3. 善于發(fā)現(xiàn)和提出問題的同學們，閱讀了教材中“一元二次方程的發(fā)展小記”后組織了一次交流分享活動. 他們發(fā)現(xiàn)用圖解法可以求某些特殊的一元二次方程的正實數(shù)根. 小明同學展示了他用圖解法求解一元二次方程x2 + x - 1 = 0的一個正根的過程：

如圖13（a）是一張邊長為1的正方形紙片ABCD，通過折疊確定BC的中點E，折出線段AE，再次折疊使EB落在線段EA上，得到點B的新位置B′，因而EB′ = EB. 類似地，在AB上折出點B″，使AB″ = AB′. 他的結論是：線段AB″的長度可以用來表示一元二次方程x2 + x - 1 = 0的一個正根. 試運用所學解答下問題.

（1）證明小明同學解法的正確性；

（2）說出用圖解法求一元二次方程根時中存在的問題? ? ? ? ? ?（寫出一個合理即可）；

（3）受小明同學的啟發(fā)，小李同學經(jīng)過自主探究給出了另一種解法. 如圖13（b），他將一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，通過折疊確定了AD，BC的中點G，H，折出線段AN，再沿線段AN折疊使AD落在線段AH上，得到點D的新位置P，因而AD = AP. 他的結論是：x2 + x - 1 = 0的一個正根等于線段? ? ? ?的長.

答案：（1）略.

（2）答案不唯一. 示例1：只能求解正根，不能求解負根；示例2：這種方法比較復雜.

（3）DN.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［4］賈鳳梅，薛紅霞，常青. 開展數(shù)學項目學習，身臨其境理解銷售問題［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2018（11）：3-6.

［5］薛紅霞，賈鳳梅. 數(shù)學項目學習：測量高度［J］. 基礎教育課程（下），2020（4）：47-54.

作者簡介：薛三虎（1964— ），男，中小學高級教師，主要從事初中數(shù)學教學研究；

薛紅霞（1970— ），女，中學高級教師，山西省特級教師，主要從事中學數(shù)學教育和課堂教學改革研究.