概念本質(zhì)悟得清　計(jì)算應(yīng)用自然明

唐亮　胡志民

摘? 要：概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，為人們從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀(guān)世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法；統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析. 概率為統(tǒng)計(jì)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ). 文章匯選了2022年全國(guó)部分地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”內(nèi)容的相關(guān)試題，進(jìn)行試題特點(diǎn)分析，并選取部分典型題進(jìn)行解法分析，對(duì)2023年復(fù)習(xí)備考提出了相應(yīng)的復(fù)習(xí)建議.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)事件；列表法；畫(huà)樹(shù)狀圖法；頻率

“隨機(jī)事件的概率”專(zhuān)題內(nèi)容在歷年中考考查中特色鮮明、形式新穎. 通過(guò)對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”試題的研究和歸類(lèi)后，發(fā)現(xiàn)該部分試題主要考查以下三個(gè)方面：（1）事件的基本概念和概率的意義；（2）用頻率估計(jì)概率和借助定義以公式法、列表法、畫(huà)樹(shù)狀圖法、幾何概型或游戲公平性的形式求事件的概率；（3）統(tǒng)計(jì)和概率相結(jié)合，解決實(shí)際問(wèn)題. 文章力爭(zhēng)通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的分析，幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握復(fù)習(xí)方向，并給出若干復(fù)習(xí)備考建議和典型模擬題，以期為2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)助力、添彩.

一、試題特點(diǎn)分析

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）中，“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容是與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“綜合與實(shí)踐”并列的四部分內(nèi)容之一.“隨機(jī)事件的概率”專(zhuān)題是中考的必考內(nèi)容之一. 雖然概率的內(nèi)容在中考中所占分值不多，考查的內(nèi)容也都比較簡(jiǎn)單，但它往往與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，可以加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)做出合理的決策，并且提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“隨機(jī)事件的概率”有關(guān)試題重點(diǎn)關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、彰顯數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化、貼近學(xué)生生活. 文章根據(jù)其考查知識(shí)點(diǎn)分以下三類(lèi)進(jìn)行評(píng)析：（1）理解事件的概念和概率的意義，這是教材的核心概念.（2）掌握隨機(jī)事件概率的求解方法，這是基本技能. 針對(duì)不同問(wèn)題要選擇不同的求解方法. 概率的類(lèi)型主要包括古典概型和幾何概型；求解方法主要有列舉法、列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法.（3）統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題，這是創(chuàng)新應(yīng)用.

1. 事件的概念和概率的意義

首先，要正確掌握隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的相關(guān)概念和概率的意義. 事件的相關(guān)概念較好理解. 而對(duì)概率的意義的理解是這個(gè)專(zhuān)題的核心：概率是刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，是事件本身所固有的性質(zhì). 但在學(xué)習(xí)過(guò)程中，概率是一個(gè)與確定數(shù)學(xué)有明顯差異的較難理解的概念.

例1 （湖南·長(zhǎng)沙卷）下列說(shuō)法中，正確的是（? ? ）.

（A）調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查

（B）“太陽(yáng)東升西落”是不可能事件

（C）為了直觀(guān)地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖

（D）任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次

目標(biāo)解析：此題主要對(duì)事件的分類(lèi)、概率的意義、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、條形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查.

解法分析：調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查，故選項(xiàng)A符合題意；“太陽(yáng)東升西落”是必然事件，故選項(xiàng)B不符合題意；為了直觀(guān)地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)圖，故選項(xiàng)C不符合題意；任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)可能是13次，所以選項(xiàng)D不符合題意. 故此題答案選A.

試題分析：此題取材于教材中的問(wèn)題，再改編而成. 以調(diào)查學(xué)生的身高、太陽(yáng)東升西落、空氣各成分的百分比、投擲硬幣等學(xué)生非常熟悉的素材為背景設(shè)置問(wèn)題考查相關(guān)知識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了跨學(xué)科融合. 學(xué)生更容易對(duì)事件的分類(lèi)、概率的意義，以及統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)進(jìn)行理解. 此題關(guān)注了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，旨在引導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué)要重視教材、回歸教材.

類(lèi)題賞析：（湖南·衡陽(yáng)卷）下列說(shuō)法正確的是（? ? ）.

（A）“任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為[180°]”是必然事件

（B）調(diào)查全國(guó)中學(xué)生的視力情況，適合采用普查的方式

（C）抽樣調(diào)查的樣本容量越小，對(duì)總體的估計(jì)就越準(zhǔn)確

（D）十字路口的交通信號(hào)燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開(kāi)車(chē)經(jīng)過(guò)十字路口時(shí)，恰好遇到黃燈的概率是[13.]

答案：A.

【評(píng)析】此題以數(shù)學(xué)中的核心知識(shí)點(diǎn)“三角形內(nèi)角和”和社會(huì)高度重視的學(xué)生視力情況、交通信號(hào)燈等為素材進(jìn)行命制，在考查統(tǒng)計(jì)、事件和概率的相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)核心知識(shí)、關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，且對(duì)學(xué)生進(jìn)行了安全意識(shí)方面的教育.

2. 隨機(jī)事件概率的求解方法

隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是不確定的，但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，概率就是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量表達(dá). 隨機(jī)事件中，可以用列舉法求概率的古典概型，還可以利用面積法求概率的幾何概型. 現(xiàn)實(shí)生活中，還有一類(lèi)隨機(jī)事件的概率是通過(guò)用頻率估計(jì)概率的方法求得的. 幾何概型與古典概型相比較，它們都要求每種試驗(yàn)的結(jié)果是等可能的，但幾何概型沒(méi)有結(jié)果總數(shù)有限的限制.

在解題過(guò)程中，要正確應(yīng)用求概率的兩種計(jì)算方法. 其一，是簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率的計(jì)算方法，即如果在一次試驗(yàn)中，有[n]種等可能的結(jié)果，事件[A]包含其中的[m]種結(jié)果，那么事件[A]發(fā)生的概率[PA=mn.] 其二，是通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，感悟用頻率估計(jì)概率的道理，這是統(tǒng)計(jì)與概率之間的紐帶. 通過(guò)這個(gè)紐帶，可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，充分體驗(yàn)頻率與概率之間的關(guān)系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2 （遼寧·鐵嶺卷）如圖1，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成. 向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是? ? ? ? .

目標(biāo)解析：以游戲?yàn)楸尘?，考查幾何概型的概?

解法分析：設(shè)圖1中每個(gè)小正方形的面積為1，則大正方形的面積為9. 根據(jù)題意，圖中陰影部分的面積為3，則[P擊中陰影區(qū)域＝3/9=1/3.] 故答案為[1/3.]

試題分析：該題要求學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際，利用面積法求概率的幾何概型問(wèn)題，難度較低.

類(lèi)題賞析：（江蘇·蘇州卷）如圖2，在[5×6]的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，扇形[OAB]的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn). 假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒(méi)有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形[OAB]（陰影部分）的概率是（? ? ）.

（A）[π12] （B）[π24]

（C）[10π60] （D）[5π60]

答案：A.

【評(píng)析】此題考查幾何概型概率的求法. 首先，根據(jù)題意用面積表示代數(shù)關(guān)系，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后，計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中所占的比例，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率. 此題以常見(jiàn)的游戲?yàn)轭}材，貼近學(xué)生生活，能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

例3 （四川·自貢卷）為了比較甲、乙兩魚(yú)池中的魚(yú)苗數(shù)目，小明從兩魚(yú)池中各撈出100條魚(yú)苗，每條做好記號(hào)，然后放回原魚(yú)池. 一段時(shí)間后，在同樣的地方，小明再?gòu)募住⒁覂婶~(yú)池中各撈出100條魚(yú)苗，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)的魚(yú)苗分別是5條、10條，可以初步估計(jì)魚(yú)苗數(shù)目較多的是 ? ? ?魚(yú)池（填“甲”或“乙”）.

目標(biāo)解析：此題以比較池塘中魚(yú)苗的數(shù)目為背景考查樣本估計(jì)總體，以及用樣本的概率估計(jì)總體的概率，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)觀(guān)念.

解法分析：由題意可得，甲魚(yú)池中的魚(yú)苗數(shù)目約為[100÷5100=2 000]（條）；乙魚(yú)池中的魚(yú)苗數(shù)目約為[100÷10100=1 000]（條）. 因?yàn)? 000＞1 000，所以初步估計(jì)魚(yú)苗數(shù)目較多的是甲魚(yú)池. 故答案為甲.

試題分析：解答此題的關(guān)鍵是明確整個(gè)魚(yú)池中有記號(hào)的魚(yú)苗所占的比例等于撈出的魚(yú)苗中有記號(hào)的魚(yú)苗所占的比例，即可以用樣本的概率估計(jì)總體的概率.

類(lèi)題賞析：（湖南·長(zhǎng)沙卷）為了解某校學(xué)生對(duì)湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1 000名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查. 結(jié)果顯示有95名學(xué)生知曉. 由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)生有? ? ? .

答案：950名.

【評(píng)析】此題主要考查利用樣本估計(jì)總體，熟練掌握樣本估計(jì)總體的思想及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

例4 （山西卷）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明”. 小文購(gòu)買(mǎi)了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂(lè). 小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），如圖3，讓小樂(lè)從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（? ? ）.

（A）[23] （B）[12] （C）[16] （D）[18]

目標(biāo)解析：此題以“二十四節(jié)氣”和郵票為素材，考查用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，滲透了我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，激發(fā)了學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.

解法分析：設(shè)用A表示立春，用B表示立夏，用C表示秋分，用D表示大寒，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖4所示.

由上可得，共有12種等可能的結(jié)果. 其中，小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的結(jié)果有2種. 所以小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是[212=16.] 故答案為選項(xiàng)C.

試題分析：正確畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要區(qū)分好放回抽樣和不放回抽樣. 此題為不放回抽樣.

類(lèi)題賞析：（湖南·岳陽(yáng)卷）守護(hù)好一江碧水，打造長(zhǎng)江最美岸線(xiàn). 江豚、麋鹿、天鵝已成為岳陽(yáng)“吉祥三寶”的新名片. 某校生物興趣小組設(shè)計(jì)了3張環(huán)保宣傳卡片，正面圖案如圖5所示，它們除此之外完全相同.

（1）將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為 ? ? ? ；

（2）將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，不放回，再?gòu)氖Ｓ嗟膬蓮埧ㄆ须S機(jī)抽取一張，試用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“江豚”和“天鵝”的概率.

答案：（1）[13；]（2）[13.]

【評(píng)析】對(duì)于第（1）小題，直接利用概率公式求解即可；對(duì)于第（2）小題，將江豚、麋鹿、天鵝三張卡片分別記作①、②、③，列表得出所有等可能的結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可. 此題既考查了概率相關(guān)知識(shí)，又發(fā)展了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，同時(shí)拓展了學(xué)生的視野.

3. 統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題

例5 （湖北·恩施州卷）2022年4月29日，湖北日?qǐng)?bào)聯(lián)合夏風(fēng)教室發(fā)起“勞動(dòng)最光榮，加油好少年”主題活動(dòng). 某校學(xué)生積極參與本次主題活動(dòng)，為了解該校學(xué)生參與本次主題活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查. 根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如圖6和圖7所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖. 試結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題.

（1）本次共調(diào)查了? ? 名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）若該校共有1 200名學(xué)生參加本次主題活動(dòng)，則本次活動(dòng)中該校“洗衣服”的學(xué)生約有多少名？

（3）現(xiàn)從參與本次主題活動(dòng)的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生談一談勞動(dòng)感受. 試用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被抽中的概率.

目標(biāo)解析：此題以湖北日?qǐng)?bào)號(hào)召發(fā)起的“勞動(dòng)最光榮，加油好少年”主題活動(dòng)為話(huà)題，從樣本估計(jì)總體、條形統(tǒng)計(jì)圖、列表法與畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率等方面考查統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的綜合應(yīng)用.

解法分析：（1）40 ÷ 20% = 200（人），200 - 40 - 50 - 30 - 20 = 60（人）.

故共調(diào)查了200名學(xué)生. 補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖8所示.

（2）[1 200×50200=300]（人），

故該校1 200名學(xué)生中參與“洗衣服”的學(xué)生約有300名.

（3）從甲、乙、丙、丁4人中選擇2人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如表1所示.

由表1可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果. 其中，甲、乙同時(shí)被抽中有2種結(jié)果.

所以甲、乙同時(shí)被抽中的概率為[212=16.]

試題分析：此題既考查統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題，又滲透勞動(dòng)教育，讓勞動(dòng)意識(shí)深入人心，給學(xué)生傳遞一種積極向上的氛圍，讓學(xué)生從中體會(huì)到正能量，較好地發(fā)揮了中考試題的育人導(dǎo)向和育人價(jià)值，較好地貫徹了“五育并舉”教育方針，有利于提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

類(lèi)題賞析：（四川·廣安卷）某校在開(kāi)展線(xiàn)上教學(xué)期間，為了解七年級(jí)學(xué)生每天在家進(jìn)行體育活動(dòng)的時(shí)間（單位：h），隨機(jī)調(diào)查了該年級(jí)的部分學(xué)生. 根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖9）和條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖10），試根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題.

（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生共有? ? ? 人，圖9中m的值為? ? ? ? .

（2）試補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3）體育活動(dòng)時(shí)間不足1小時(shí)的4人中有3名女生A1，A2，A3和1名男生B. 為了解他們?cè)诩殷w育活動(dòng)的實(shí)際情況，從這4人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話(huà)回訪(fǎng)，試用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求恰好抽到兩名女生的概率.

答案：（1）40，15；

（2）在家進(jìn)行體育活動(dòng)的時(shí)間為1.2 h的人數(shù)為40 × 15% = 6（人）.

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖11所示.

（3）列表如表2所示.

共有12種可能的結(jié)果，恰好抽到兩名女生的有6種結(jié)果，所以抽到兩名女生的概率為[612＝12.]

【評(píng)析】此題考查了列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法，即利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.

二、優(yōu)秀試題分析

“隨機(jī)事件的概率”試題往往會(huì)涉及時(shí)事熱點(diǎn)、身邊安全或傳統(tǒng)文化，以讓學(xué)生體會(huì)概率知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系. 無(wú)論是傳統(tǒng)的幾種問(wèn)題情境（如摸球、轉(zhuǎn)盤(pán)、擲骰子、拋硬幣），還是生活化背景，都旨在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率問(wèn)題本質(zhì)的理解. 2022年中考“隨機(jī)事件的概率”相關(guān)試題選材鮮活、難度適中，對(duì)當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的指導(dǎo)意義.

例6 （山東·臨沂卷）為做好疫情防控工作，某學(xué)校門(mén)口設(shè)置了A，B兩條體溫快速檢測(cè)通道，該校同學(xué)王明和李強(qiáng)均從通道A入校的概率是（? ? ）.

（A）[14] （B）[13]

（C）[12] （D）[34]

題意理解：此題與實(shí)際生活情境緊密結(jié)合，主要考查用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.

思路探求：先畫(huà)樹(shù)狀圖，明確兩名學(xué)生過(guò)通道的可能結(jié)果共有4種，然后利用概率公式求解即可.

書(shū)寫(xiě)表達(dá)：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖12所示.

由圖12可知，共有4種等可能的結(jié)果. 其中，王明和李強(qiáng)均從通道A入校的結(jié)果只有1種. 所以王明和李強(qiáng)均從通道A入校的概率為[14]. 故此題選擇A.

回顧反思：該題考查用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，以及學(xué)生的邏輯推理能力. 試題形式新穎，緊扣時(shí)事，引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)核心知識(shí)、關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)既來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活.

例7 （貴州·遵義卷）如圖13，甲、乙兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成三個(gè)面積相等的扇形（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)除表面數(shù)字不同外，其他完全相同），轉(zhuǎn)盤(pán)甲上的數(shù)字分別是-6，-1，8，轉(zhuǎn)盤(pán)乙上的數(shù)字分別是-4，5，7（規(guī)定：指針恰好停留在分界線(xiàn)上，則重新轉(zhuǎn)一次）.

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)甲指針指向正數(shù)的概率是? ? ? ? ? ；轉(zhuǎn)盤(pán)乙指針指向正數(shù)的概率是? ? ? ? ? .

（2）若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)甲指針?biāo)傅臄?shù)字記為[a，] 轉(zhuǎn)盤(pán)乙指針?biāo)傅臄?shù)字記為[b，] 試用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法求滿(mǎn)足[a+b<0]的概率.

題意理解：此題以常見(jiàn)的轉(zhuǎn)盤(pán)游戲?yàn)楸尘?，考查用列表法或?huà)樹(shù)狀圖法求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵.

思路探求：第（1）小題，先用列舉法列出所有等可能的結(jié)果，再找出所有正數(shù)的結(jié)果，最后利用概率公式求解即可. 第（2）小題，先用列表法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再計(jì)算，判斷符合[a+b<0]的結(jié)果總數(shù)，最后利用概率公式求解即可.

書(shū)寫(xiě)表達(dá)：（1）轉(zhuǎn)盤(pán)甲被等分為3份，其中1份標(biāo)有正數(shù)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)甲1次，指針指向正數(shù)的概率是[13；] 轉(zhuǎn)盤(pán)乙也被等分為3份，其中2份標(biāo)有正數(shù)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)乙1次，指針指向正數(shù)的概率是[23.] 故答案為[13， 23.]

（2）同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針?biāo)傅臄?shù)字所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如表3所示.

共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)笖?shù)字之和為負(fù)數(shù)的有3種. 所以同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針?biāo)笖?shù)字之和為負(fù)數(shù)的概率為[39=13，] 即滿(mǎn)足a + b＜0的概率為[13.]

回顧反思：此題先考查用列舉法求隨機(jī)事件的概率，再考查用樹(shù)狀圖或者列表法求事件的概率，同時(shí)考查了正數(shù)的概念和不等式的基本運(yùn)算. 在數(shù)學(xué)知識(shí)層面、數(shù)學(xué)能力層面和創(chuàng)新思維層面都對(duì)學(xué)生進(jìn)行了很好的考查，具有較好的選拔功能.

例8 （湖南·衡陽(yáng)卷）為落實(shí)“雙減提質(zhì)”，進(jìn)一步深化“數(shù)學(xué)提升工程”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，某學(xué)校擬開(kāi)展“雙減”背景下的初中數(shù)學(xué)活動(dòng)型作業(yè)成果展示現(xiàn)場(chǎng)會(huì). 為了解學(xué)生最喜愛(ài)的項(xiàng)目，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖14所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題.

（1）參與此次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 ? ? ? ，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖14（a）（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

（2）圖14（b）中扇形[C]的圓心角度數(shù)為 ? ? ?；

（3）若參加成果展示活動(dòng)的學(xué)生共有1 200人，估計(jì)其中最喜愛(ài)“測(cè)量”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)是多少；

（4）計(jì)劃在A(yíng)，B，C，D，E五項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選取兩項(xiàng)作為直播項(xiàng)目，試用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求恰好選中B，E這兩項(xiàng)活動(dòng)的概率.

題意理解：此題以“雙減”為背景命題，考查學(xué)生數(shù)據(jù)的收集與整理、統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用、數(shù)據(jù)分析與運(yùn)算能力.

思路探求：第（1）小題，從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可得樣本中選擇七巧板的有36人，占調(diào)查人數(shù)的30%. 由頻率 =[頻數(shù)總數(shù)，] 即可求出答案，進(jìn)而可以補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖. 第（2）小題，求出扇形[C]所占的百分比，即可求出相應(yīng)的圓心角的度數(shù). 第（3）小題，求出樣本中參與“測(cè)量”所占的百分比，進(jìn)而估計(jì)總體中“測(cè)量”的百分比，求出相應(yīng)人數(shù)即可. 第（4）小題，用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率即可.

書(shū)寫(xiě)表達(dá)：（1）120人；

補(bǔ)全的統(tǒng)計(jì)圖如圖15所示.

（2）90°.

（3）300.

（4）在A(yíng)，B，C，D，E五項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選取兩項(xiàng)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如表4所示.

共有20種等可能出現(xiàn)的結(jié)果. 其中，恰好選中B，E這兩項(xiàng)活動(dòng)的有2種，所以恰好選中B，E這兩項(xiàng)活動(dòng)的概率為[220=110.]

回顧反思：此題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)知識(shí)，以及考查用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率. 理解條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)量之間的關(guān)系，以及列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，是正確解答的前提. 因此，教師要重視教材，幫助學(xué)生掌握“四基”，從而提高學(xué)生的“四能”.

三、復(fù)習(xí)備考建議

綜上可見(jiàn)，2022年中考對(duì)“隨機(jī)事件的概率”試題的考查，緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》要求，不斷推陳出新，展現(xiàn)亮點(diǎn)，同時(shí)呈現(xiàn)出了比較穩(wěn)定的規(guī)律. 對(duì)于2023年中考“隨機(jī)事件的概率”專(zhuān)題的備考，筆者從以下三個(gè)方面給出建議.

1. 突破重點(diǎn)和難點(diǎn)，厘清隨機(jī)事件的概率知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建專(zhuān)題思維導(dǎo)圖

從近幾年全國(guó)各地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”試題來(lái)看，考查單一知識(shí)點(diǎn)的試題有很多，題型以選擇題和填空題為主，試題多以中低檔形式呈現(xiàn). 因此，教師在教學(xué)中要重視基本概念，把教材中關(guān)于概率的知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖（如圖16），以提高學(xué)生分析和推理的思維品質(zhì).

在中考復(fù)習(xí)中，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的存儲(chǔ)和記憶，有利于學(xué)生在考試時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)的提取和運(yùn)用. 知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)由教師提供大方向，先讓學(xué)生嘗試自主構(gòu)建，然后對(duì)照教材補(bǔ)充、完善，最后師生之間進(jìn)行比較、交流. 同時(shí)，教師要重視教材的基礎(chǔ)性和示范作用，要講清楚數(shù)學(xué)概念、原理和方法等，落實(shí)“四基”和“四能”，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從教材中的基本概念出發(fā)解決問(wèn)題的習(xí)慣.

2. 關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)，針對(duì)薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練，確?；A(chǔ)扎實(shí)、穩(wěn)固

“隨機(jī)事件的概率”試題中，選擇題和填空題主要考查的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的了解和理解層次，解答題主要考查的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用層次. 因此，專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)，教師一定要認(rèn)真研究《標(biāo)準(zhǔn)》中涉及概率部分的要求，重點(diǎn)關(guān)注如下易錯(cuò)點(diǎn)：（1）對(duì)概率意義的理解；（2）試驗(yàn)具體分幾步，每一步具體做什么，再選擇合理的列舉法；（3）認(rèn)真審題，識(shí)別是“放回”抽取還是“不放回”抽取，再精準(zhǔn)計(jì)算；（4）理解用樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的意識(shí). 針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)內(nèi)容的理解，從而扎實(shí)掌握該部分內(nèi)容.

3. 重視綜合應(yīng)用，關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

受知識(shí)水平和思維水平的限制，學(xué)生從圖表中獲取信息的能力和閱讀理解能力相對(duì)較弱，因此學(xué)生不容易透徹理解概率試題. 對(duì)此，在復(fù)習(xí)中，教師要緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》要求，突出概率的核心知識(shí)和基本思想，關(guān)注概率的應(yīng)用性，注重培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性. 尤其是對(duì)于結(jié)合生產(chǎn)、生活實(shí)際的試題，以及與統(tǒng)計(jì)、代數(shù)、幾何等領(lǐng)域相結(jié)合的綜合性試題，教師要引導(dǎo)學(xué)生過(guò)濾試題的實(shí)際背景，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力.

因此，在日常教學(xué)中，教師要給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考、討論，使其理解概率內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，用思想指導(dǎo)行動(dòng)，即會(huì)用概率的觀(guān)點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)的意識(shí)來(lái)觀(guān)察、分析和理解現(xiàn)實(shí)世界.

四、典型模擬題

1. 某瓷磚廠(chǎng)在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨試驗(yàn)，結(jié)果如表5所示. 則這個(gè)廠(chǎng)生產(chǎn)的瓷磚是合格品的概率估計(jì)值是? ? ? ．（精確到0.01.）

答案：0.95．

2. 為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生的文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩(shī)詞之風(fēng)”“散文之韻”“小說(shuō)之趣”“戲劇之雅”四組（依次記為A，B，C，D）. 小雨和莉莉兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從四組題目中隨機(jī)抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)再隨機(jī)抽取一組．

（1）小雨抽到A組題目的概率是? ? ；

（2）試用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的概率．

答案：（1）[1/4；]（2）[1/4.]

參考文獻(xiàn)：

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［2］鄧艷花，陳遠(yuǎn)剛. 事件創(chuàng)設(shè)穩(wěn)中求新? 概率求解活而不難：2021年中考“事件的概率”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（3）：54-61.

［3］周啟東，鄭艷. 2020年中考“抽樣與數(shù)據(jù)分析”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（3）：18-25，31.

作者簡(jiǎn)介：唐亮（1968— ），男，副教授，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)和競(jìng)賽研究；

胡志民（1988— ），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題研究.