注重本質(zhì)理解·強化應用意識·導向素養(yǎng)發(fā)展

孫鋒　楊明

摘? 要：2022年全國各地區(qū)中考“函數(shù)”試題注重對基礎知識、關鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，進一步加深對函數(shù)本質(zhì)的理解；以現(xiàn)實生活和熱點話題設置函數(shù)應用情境，強化函數(shù)的應用意識；重視函數(shù)與其他知識的內(nèi)在聯(lián)系，將抽象的數(shù)量關系和直觀的圖象相結(jié)合，凸顯數(shù)學學科的素養(yǎng)導向. 從目標解析、解法分析、試題分析和類題賞析四個方面對優(yōu)秀試題進行解析，在此基礎上對2023年中考“函數(shù)”專題的復習備考提出建議.

關鍵詞：函數(shù)；解題分析；本質(zhì)理解；應用意識；素養(yǎng)發(fā)展

從2022年全國各地區(qū)180余份中考數(shù)學試卷中對“函數(shù)”試題的考查來看，內(nèi)容和分值分布與2021年基本保持一致，與教材內(nèi)容所占比例基本相當. 2022年是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）頒布后實施新的課程標準而使用舊教材的中考命題的第一年，“函數(shù)”試題承載的考查目標導向核心素養(yǎng)的發(fā)展，注重對“函數(shù)”這一核心概念的考查，強調(diào)學科內(nèi)、外的關聯(lián)，強化應用意識. 試題在基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性上都得到了較好的體現(xiàn).

一、試題特點分析

1. 基于課程標準，注重對函數(shù)的概念和基本性質(zhì)的考查

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變量間關系的重要模型，對函數(shù)概念的深刻理解有助于用數(shù)學的眼光抽象出現(xiàn)實生活中的變量及變量之間的依賴關系. 在2022年全國各地區(qū)的中考“函數(shù)”試題中，對函數(shù)概念的理解和性質(zhì)的考查是基礎和核心. 此類問題的設計常以現(xiàn)實生活為背景，考查問題中變量之間的關系是否滿足常見的三種函數(shù)模型（一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)）. 對函數(shù)性質(zhì)的常見考查方式：一是運用方程思想求出解析式，側(cè)重于對學生運算能力的考查；二是對對稱性、增減性和最值等性質(zhì)的運用. 此類問題主要運用數(shù)形結(jié)合思想進行分析并解答，注重對學生幾何直觀和抽象能力的考查.

例1 （北京卷）下面的三個問題中都有兩個變量：

① 汽車從[A]地勻速行駛到[B]地，汽車的剩余路程[y]與行駛時間[x]；

② 將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量[y]與放水時間[x]；

③ 用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積[y]與一邊長[x]．

其中，變量[y]與變量[x]之間的函數(shù)關系可以用如圖1所示的圖象表示的是（? ? ）.

（A）①② （B）①③

（C）②③ （D）①②③

答案：A.

該題的背景源于教材，將現(xiàn)實生活中的數(shù)量關系抽象后與函數(shù)圖象進行對比，需要學生深刻理解“函數(shù)”這一基本概念，把握兩個變量關系“數(shù)”與“形”的一致性. 學生的常見錯誤：一是審題不仔細，容易將①中的路程隨時間變化的關系判斷為路程隨時間的增大而增大；二是建模出錯，容易將③判斷為一次函數(shù)．在2022年全國各地的中考數(shù)學試卷中，廣東卷第10題、青海卷第8題、河北卷第12題、湖南益陽卷第5題和遼寧大連卷第10題等都對函數(shù)的概念和性質(zhì)進行了考查.

2. 綜合運用，強調(diào)函數(shù)與學科內(nèi)、外知識聯(lián)系的綜合考查

函數(shù)可以用數(shù)量關系來表達，也可以用圖象直觀表示，它具有“數(shù)”和“形”兩個方面的性質(zhì). 因此常常將函數(shù)與其他知識結(jié)合進行綜合考查. 2022年全國各地的中考“函數(shù)”試題大都涉及函數(shù)與學科內(nèi)、外聯(lián)系的綜合考查. 其中，常見的考查方式：一是三種函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）之間的結(jié)合；二是基本幾何圖形（如三角形和四邊形等）與函數(shù)圖象的結(jié)合，或再添加運動變化的條件. 此類“函數(shù)”試題主要應用函數(shù)與對應方程和不等式的關系，以及圖形全等或相似等知識，求解點的坐標、線段的長度和圖形的面積等問題，體現(xiàn)了對學生推理能力和幾何直觀素養(yǎng)的考查.

例2 （上海卷）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y =[12]x2 + bx + c經(jīng)過點[A-2，-1，B0，-3]．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）將這條拋物線平移，得到一條頂點為[Pm，n m>0]的新拋物線.

① 當S△OBP = 3時，如果這條拋物線在直線x = k的右側(cè)部分是上升的，求k的取值范圍；

② 點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點Q，如果∠BPQ = 120°，求點P的坐標．

答案：（1）y =[12]x2 - 3；

（2）① k ≥ 2；②[P23，3].

該題第（1）小題可以用待定系數(shù)法求出. 第（2）小題以拋物線平移到不同位置進行設問. 第①問是平移后拋物線的頂點P與已知點B，O所確定的三角形的面積為定值，從而求得點P的橫坐標. 平移不改變拋物線的開口方向和大小，平移后新的拋物線和原來的拋物線的圖象都呈上升趨勢，可畫出如圖2所示的圖象，求得k的取值范圍，考查學生的幾何直觀素養(yǎng). 第②問是將拋物線平移后得到∠BPQ = 120°，對這一條件的運用需要學生計算出P，Q兩點的坐標，從而發(fā)現(xiàn)BP = PQ，再運用等腰三角形的“三線合一”得到一個含有60°角的直角三角形，從而解三角形求出點P的坐標. 此處考查學生的運算能力和推理能力. 在求解第②問時，學生求得P，Q兩點的坐標后，不通過觀察發(fā)現(xiàn)BP = PQ直接解△BPQ，所面臨的計算會較為煩瑣，也容易出錯. 建議學生在處理此類問題時要多思少算、先思考再計算、邊計算邊思考，運用數(shù)形結(jié)合思想減少運算量.

綜觀2022年全國各地的中考數(shù)學試題，函數(shù)與幾何綜合題常作為壓軸題出現(xiàn)，如河北卷第25題、河南卷第18題、安徽卷第23題、四川成都卷第25題和江蘇鎮(zhèn)江卷第27題等.

3. 應用意識，強化應用函數(shù)對學生解決實際問題能力的考查

《標準》指出，要通過對現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數(shù)表達變化關系的實際意義，并運用相關性質(zhì)解決實際問題. 在2022年全國各地的中考數(shù)學試題中，應用函數(shù)模型解決現(xiàn)實生活中的問題都有所涉及. 與2021年及以前相比，2022年中考中的函數(shù)應用問題更加注重與現(xiàn)實生活的關聯(lián)，試題背景更加豐富. 此類試題較好地考查了學生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念和應用意識.

例3 （浙江·溫州卷）根據(jù)表1中的素材，探索完成任務．

答案：以拱頂為原點建立平面直角坐標系，可得拋物線的函數(shù)表達式為[y=-（1/20）^x2]，完成任務1；任務2，懸掛點的縱坐標的最小值是-1.8，橫坐標的取值范圍為[-6≤x≤6]；任務3，由拋物線的軸對稱性，可以從頂點處開始懸掛燈籠，共掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-4.8，也可以從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，共掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-5.6．

此題改編自北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“北師大版教材”）九年級下冊第二章“二次函數(shù)”習題2.8的第4題，以解決真實的生活問題為背景，采用項目式問題解決的方式設計，需要學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，借助二次函數(shù)的相關知識進行分析和解答，重點考查學生的應用意識. 問題的解決需要根據(jù)實際情況建立平面直角坐標系，并且建立坐標系的方式不唯一，體現(xiàn)了坐標系的工具性作用. 解決此類問題的難點在于準確的數(shù)學化表達. 學生的常見錯誤：一是不能將題目中的數(shù)據(jù)準確轉(zhuǎn)化為點的坐標，如任務2中確定燈籠懸掛點的縱坐標最小值時容易有遺漏；二是容易忽略分類討論，如對任務3的思考不考慮多種方案. 在2022年全國各地的中考數(shù)學試題中，河南卷第21題、廣東廣州卷第20題、四川成都卷第24題、四川巴中卷第22題、甘肅蘭州卷第24題和浙江衢州卷第23題等都是設計方案解決實際應用問題.

4. 關注“四能”，注重對學生創(chuàng)新意識的考查

創(chuàng)新意識主要是指主動嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學情境中發(fā)現(xiàn)或提出有意義的數(shù)學問題. 現(xiàn)實生活中蘊含大量與函數(shù)相關的問題，有待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和解決. 在2022年全國各地的中考數(shù)學試卷中，注重以函數(shù)為載體考查學生的創(chuàng)新意識. 考查形式主要體現(xiàn)在：運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學關系和規(guī)律，提出命題和猜想，并加以驗證；探索開放性、非常規(guī)性的實際問題和數(shù)學問題.

例4 （江蘇·鹽城卷）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習簿的橫線上取點[O]為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖6所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．

【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上．

【分析問題】小明利用已學知識和經(jīng)驗，以圓心[O]為原點，過點[O]的橫線所在直線為[x]軸，過點[O]且垂直于橫線的直線為[y]軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖7所示．當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為? ? ? ?．

【解決問題】試幫助小明驗證他的猜想是否成立．

【深度思考】小明繼續(xù)思考：設點[P0，m]，[m]為正整數(shù)，以[OP]為直徑畫[⊙M]，是否存在所描的點在[⊙M]上. 若存在，求[m]的值；若不存在，說明理由.

答案：當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為（-3，4）或（3，4）；猜想成立，驗證過程略；存在唯一滿足要求的m，其值是4.

該題可以在教材中找到“影子”，如北師大版教材九年級下冊第三章“圓”習題3.7的第2題，以學生動手操作發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題為話題，采用分析問題、解決問題、深度思考的方式設問，五個環(huán)節(jié)形成一個問題串引導學生思考，與“四能”相契合. 以相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，交點的分布剛好與某二次函數(shù)圖象吻合，具有數(shù)學的美感. 問題設置從特殊到一般，為學生的探究指明了方向.“解決問題”環(huán)節(jié)的代數(shù)證明對學生來說有一定難度，學生容易將圓心當成二次函數(shù)的頂點，設二次函數(shù)的解析式為y = ax2，從而無法驗證猜想正確；或者學生將（0，-1）當成二次函數(shù)的頂點坐標，而（0，-1）又不符合條件，從而無法驗證猜想正確.“深度思考”環(huán)節(jié)實質(zhì)上是判斷以OP為直徑的圓（直徑為整數(shù)，圓心在y軸上）與二次函數(shù)[y=12x2-12]是否有交點，學生容易把該圓的圓心視為點O，無法列出等式. 建議學生根據(jù)題意畫圖分析，厘清數(shù)量關系列出等式求解m的值. 在2022年全國各地的中考“函數(shù)”試題中，河南卷第10題、山東濰坊卷第6題、湖北恩施州卷第10題、江西卷第6題、湖北宜昌卷第5題、青海卷第14題、湖南郴州卷第15題、山東棗莊卷第22題和山東臨沂卷第20題等也都較好地體現(xiàn)了對學生創(chuàng)新意識的考查.

二、優(yōu)秀試題剖析

1. 關注最值問題，重視函數(shù)與方程聯(lián)系的考查

例5 （浙江·嘉興卷）已知點[Aa，b]，[B4，c]在直線[y=kx+3]（k為常數(shù)，[k≠0]）上，若[ab]的最大值為9，則[c]的值為（? ? ）.

（A） [52]? ? ?（B）? 2? ? ?（C） [32]? ? ?（D）? 1

目標解析：該題考查的知識點主要有直線上的點的特征、二次函數(shù)的最值和配方法，主要考查運用配方法求最值，需要學生根據(jù)題目中的條件建立二次函數(shù)模型并求最值，發(fā)展學生的模型觀念.

解法分析：由點[Aa，b]在直線[y=kx+3]上，得[ab=aak+3=ka2+3a]（k為常數(shù)），從而得到ab與a的二次函數(shù)關系，通過配方法求最值. 因為[ab]的最大值為9，所以可以求出k的值.

解：因為點[Aa，b]， [B4，c]在直線[y=kx+3]上，

所以[ak+3=b，①4k+3=c.? ?②]

由①，得[ab=aak+3=ka+32k2-94k].

因為[ab]的最大值為9，

解得[k=-14]，[c=2]．

試題分析：該題采用間接設問的方式，以一次函數(shù)為背景對運用配方法求二次函數(shù)的最值進行了考查，需要學生認真分析已知條件，厘清變量之間的關系，尋找解決問題的突破口. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的增減性由系數(shù)可以確定，在自變量給定的取值范圍內(nèi)函數(shù)值存在最值；在自變量取值沒有限定的情況下，當二次函數(shù)的自變量取頂點的橫坐標時，二次函數(shù)有最值，用配方法將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式是求函數(shù)最值的一種基本方法. 如果二次函數(shù)的自變量取值在給定的范圍內(nèi)，求函數(shù)的最值需要分類討論：當二次函數(shù)的頂點的橫坐標在自變量的取值范圍內(nèi)，最值在頂點處取得；當二次函數(shù)的頂點的橫坐標不在自變量的取值范圍內(nèi)，需要結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)確定函數(shù)的最值. 在函數(shù)最值的考查中，能夠建立相應的函數(shù)模型、畫出函數(shù)圖象、應用配方法和運用分類討論思想是解決此類問題的關鍵．

類題賞析：綜觀2022年全國各地的中考數(shù)學試題，函數(shù)最值問題是重點也是熱點. 例如，山東濟寧卷第19題、浙江麗水卷第8題、山東棗莊卷第22題、廣東廣州卷第20題和湖北襄陽卷第14題等．

2. 關注變換問題，重視對學生空間觀念的考查

例6 （四川·資陽卷）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為[A1，4]，且與[x]軸交于點[B-1，0]．

（1）求二次函數(shù)的表達式.

（2）如圖8，將二次函數(shù)圖象繞[x]軸的正半軸上一點[Pm，0]旋轉(zhuǎn)[180°]，此時點[A]，[B]的對應點分別為點[C]，[D]．

① 連接[AB]，[BC]，[CD]，[DA]，當四邊形[ABCD]為矩形時，求[m]的值；

② 在①的條件下，若點[M]是直線[x=m]上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點[Q]，使得以點[B]，[C]，[M]，[Q]為頂點的四邊形為平行四邊形. 若存在，求出點[Q]的坐標；若不存在，說明理由．

目標解析：該題考查的知識點主要有用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、中心對稱、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，考查學生綜合運用函數(shù)與幾何相關知識解決問題的能力，需要學生從圖形的幾何性質(zhì)出發(fā)尋找等量關系，從數(shù)的角度對等量關系進行準確計算，從而發(fā)展學生的幾何直觀、運算能力和推理能力．

解法分析：二次函數(shù)圖象繞著x軸上的一點旋轉(zhuǎn)180°所得到的圖象與原圖象成中心對稱，已知點A、點B和旋轉(zhuǎn)中心[Pm，0]的坐標，則可以用m表示點A和點B的對應點（點C和點D）的坐標，有了坐標就可以用m表示線段的長. 由中心對稱可知四邊形ABCD為平行四邊形，當旋轉(zhuǎn)中心在不同的位置時平行四邊形的形狀會隨之改變. 特別地，當四邊形ABCD為矩形時，△ABD為直角三角形，利用勾股定理可以建立關于m的方程，也可以作垂線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程. 當m的值確定時，點C的坐標和點M的橫坐標已知，以點[B]，[C]，[M]，[Q]為頂點的四邊形為平行四邊形時求點Q的坐標. 頂點順序不確定，所對應的平行四邊形有多種情況，需要分類討論. 平行四邊形對邊平行且相等，一條邊可以視為由對邊平移得到，利用平移性質(zhì)可以表示對應點的坐標，即設點Q的縱坐標可以表示點M的坐標，點M又在二次函數(shù)的圖象上，從而可以得到點Q縱坐標的方程. 當然，也可以利用平行四邊形的對角線互相平分，建立方程求解.

解：（1）二次函數(shù)的表達式為[y=-x2+2x+3]. 具體求解過程略.

（2）① 因為點[P]在[x]軸的正半軸上，

所以[m>0].

所以[BP=m+1].

由旋轉(zhuǎn)，得[BD=2BP].

所以[BD=2m+1].

如圖9，過點[A1，4]作[AE]⊥[Ox]于點[E].

在[Rt△ABE]中，有[AB2=BE2+AE2=20].

當四邊形[ABCD]為矩形時，[∠BAD=∠BEA=90°].

所以[△BAE]∽[△BDA].

所以[AB2=BE · BD]，即[4m+1=20].

解得[m=4].

② 由題意，得點[A1，4]與點[C]關于點[P4，0]成中心對稱，則點[C]的坐標為[7，-4].

點[M]在直線[x=4]上，點[M]的橫坐標為4，存在以點[B]，[C]，[M]，[Q]為頂點的平行四邊形.

當以[BC]為邊時，可得平行四邊形[BCMQ]，此時[Q-4，-21]；

當以[BC]為邊時，可得平行四邊形[BCQM]，此時[Q12，-117]；

當以[BC]為對角線時，可得平行四邊形[BQCM]，此時[Q2，3].

綜上所述，存在符合條件的點[Q]，其坐標為[-4，-21]或[2，3]或[12，-117]．

試題分析：第（1）小題設問簡潔明了，已知頂點坐標和函數(shù)圖象上另一個點的坐標求拋物線的解析式. 第（2）小題要求學生用運動變化的觀點對函數(shù)圖象與平行四邊形相結(jié)合的綜合問題進行探究. 軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移是圖形的三種基本運動方式，在“函數(shù)”試題中融入圖形的運動屢見不鮮. 此類試題是幾何與代數(shù)的綜合，需要學生把握圖形運動和變化的規(guī)律，會用數(shù)量關系對運動狀態(tài)進行刻畫，突出考查學生的操作、探究、分析和推理能力，發(fā)展學生的空間觀念．

類題賞析：綜觀2022年全國各地的中考數(shù)學試題，函數(shù)與幾何變換相結(jié)合的試題較多，如江蘇鎮(zhèn)江卷第27題、廣西柳州卷第26題、遼寧沈陽卷第25題、江蘇常州卷第27題、湖北恩施州卷第24題、河北卷第23題和重慶A卷第24題等．

3. 關注存在性問題，重視對學生推理能力的考查

例7 （四川·成都卷）如圖10，在平面直角坐標系[xOy]中，一次函數(shù)[y=-2x+6]的圖象與反比例函數(shù)[y=kx]的圖象相交于[Aa，4]，[B]兩點．

（1）求反比例函數(shù)的表達式及點[B]的坐標；

（2）過點[A]作直線[AC]，交反比例函數(shù)圖象于另一點[C]，連接[BC]，當線段[AC]被[y]軸分成長度比為1∶2的兩部分時，求[BC]的長；

（3）我們把有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”. 設[P]是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，[Q]是平面內(nèi)一點，當四邊形[ABPQ]是完美箏形時，求[P]，[Q]兩點的坐標．

目標解析：該題考查的知識點主要有一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等，考查學生靈活運用相關知識解決問題的能力．

解法分析：第（2）小題中，反比例函數(shù)圖象上的動點C與定點A的連線與y軸相交，交點隨點C的變化而變化，交點將線段AC分得的線段比值也會隨之變化. 題目中已知分得的兩條線段之比為1∶2，不能確定交點靠近點A還是點C，需要進行分類討論. 而線段的比通過相似可以轉(zhuǎn)化為點A和點C到坐標軸的距離之比，求出點C的坐標，從而求得線段BC的長. 第（3）小題探究“完美箏形”的存在性問題，由“完美箏形”的定義可知：它有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線. 由這兩條性質(zhì)可以求得點P和點Q的坐標. 此類新定義的幾何圖形的存在性問題，需要根據(jù)定義推導出它所具備的性質(zhì)，再借助平面直角坐標系中點和線的數(shù)量化特征，將其性質(zhì)進行代數(shù)化表達，建立相應的方程，從而求解問題.

解：（1）反比例函數(shù)的表達式為[y=4x]， [B2，2]. 具體過程略.

（2）如圖11，過點[A]作[AE]⊥[Oy]于點[E]，過點C作[CF]⊥[Oy]于點F，設AC交y軸于點H，則有[△AEH]∽[△CFH]，可得[AECF=AHCH=EHFH].

當[AHCH=12]時，可得[BC=42]；

當[AHCH=2]時，可得[BC=][5172].

所以BC的長為[42]或[5172].

（3）如圖12，當[∠AQP=∠ABP=90°]時，設直線[AB]與[y]軸交于點[E]，過點[B]作[BF⊥Oy]于點[F]，設[BP]與[y]軸的交點為點[N]，連接[BQ]，[AP]，交于點[H].

由題意，得[E0，6]，[BF=OF=2]，得[EF=4].

由已知條件，可知[△EBF]∽[△BNF].

所以[BFEF=FNBF]. 得點[N0，1].

因此直線[BN]的解析式為[y=12x+1].

與[y=4x]聯(lián)立可得點[P-4，-1].

可求得直線[AP]的解析式為[y=x+3].

因為[AP]垂直平分[BQ]，得直線[BQ]的解析式為[y=-x+4].

所以點[H12， 72].

因為點[H]是[BQ]的中點，點[B2，2]，

所以點[Q-1，5]．

試題分析：該題以一次函數(shù)和反比例函數(shù)為背景進行命制. 第（1）小題求反比例函數(shù)的解析式和另一個交點坐標，設問方式直接，學生容易入手. 第（2）小題通過描述性語言交代了點C的位置，學生需要在圖中畫出點C，并根據(jù)題意補全圖形，再根據(jù)題目中所給信息進行分析和求解. 由于位置不確定，需要分類討論. 補全圖形既能幫助學生審題，又可以考查學生的作圖能力. 第（3）小題給出新定義“完美箏形”，通過定義可以得出它所具有的性質(zhì)，設計新穎. 數(shù)學學習的重點是理解概念，從概念出發(fā)進行推理可以得出性質(zhì)和判斷，這是學習數(shù)學知識的一般路徑，能夠考查學生的基本活動經(jīng)驗．

函數(shù)圖象中以某些已知的點和運動的點為頂點的圖形會存在一些特殊情況，在某些特殊情況下可以確定動點的坐標. 這類試題在近年來的中考中較常見. 解決此類問題需要學生根據(jù)特殊圖形所具備的幾何性質(zhì)進行推理分析，得出已知量與未知量之間的關系，建立方程求解，綜合考查學生的運算能力、推理能力和空間觀念等．

類題賞析：綜觀2022年全國各地中考數(shù)學試題，有關于特殊三角形、四邊形的存在性問題，也有關于線段與線段之間、角與角之間的特殊數(shù)量關系的存在性問題. 解決此類問題的關鍵是要對特殊情況下圖形所具備的特殊性質(zhì)進行推理分析，再利用相似、勾股定理和三角函數(shù)等相關知識建立方程求解問題．例如，四川瀘州卷第25題、四川南充卷第25題、四川綿陽卷第24題、遼寧阜新卷第24題和山東東營卷第24題等．

4. 關注新定義問題，重視對學生創(chuàng)新意識的考查

例8 （山東·泰州卷）定義：對于一次函數(shù)[y1=][ax+b]，[y2=cx+d]，我們稱函數(shù)[y=max+b+ncx+d][ma+nc≠0]為函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”．

（1）若[m=3]，[n=1]，試判斷函數(shù)[y=5x+2]是否為函數(shù)[y1=x+1]，[y2=2x-1]的“組合函數(shù)”，并說明理由.

（2）設函數(shù)[y1=x-p-2]與[y2=-x+3p]的圖象相交于點[P]．

① 若[m+n>1]，點[P]在函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”圖象的上方，求[p]的取值范圍；

② 若[p≠1]，函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過點[P]．是否存在大小確定的[m]值，對于不等于1的任意實數(shù)[p]，都有“組合函數(shù)”圖象與[x]軸交點[Q]的位置不變？若存在，求出[m]的值及此時點[Q]的坐標；若不存在，說明理由．

目標解析：該題考查的知識點主要有一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標的特征、一次函數(shù)與一次方程的關系等，主要考查學生運用函數(shù)的相關性質(zhì)分析和解決問題的能力，需要學生理解“組合函數(shù)”的定義，結(jié)合所學的函數(shù)相關知識解決問題，考查學生的遷移、類比能力，以及運算能力和創(chuàng)新意識．

解法分析：第（1）小題根據(jù)定義即可判斷. 第（2）小題已知兩個函數(shù)的解析式可以求得函數(shù)圖象的交點P的坐標，點P在組合函數(shù)圖象的上方，等價于組合函數(shù)圖象上的點的橫坐標與點P的橫坐標相同時縱坐標卻小于點P的縱坐標，從而得到一個關于p的不等式，求出p的取值范圍. 第（3）小題是對于任意的p ≠ 1，組合函數(shù)與x軸的交點的坐標為定值，也就是說組合函數(shù)與x軸交點的橫坐標與p無關，當含有字母m，p的等式中p的系數(shù)為0時，可以得到一個關于m的方程，求得m的值．

解：（1）函數(shù)[y=5x+2]是函數(shù)[y1=x+1]，[y2=2x-1]的“組合函數(shù)”. 理由略.

（2）① 由[y=x-p-2，y=-x+3p，] 得[x=2p+1，y=p-1.]

所以[P2p+1，p-1].

因為[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”為[y=mx-p-2+][n-x+3p]，

所以當[x=2p+1]時，

[y=m2p+1-p-2+n-2p-1+3p=p-1m+n.]

因為點[P]在函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”圖象的上方，

所以[p-1>p-1m+n].

所以[p-11-m-n>0].

因為[m+n>1]，所以[p<1].

② 存在[m=34]時，對于不等于1的任意實數(shù)[p]，都有“組合函數(shù)”圖象與[x]軸交點[Q]的位置不變，坐標為[Q3，0]，理由如下.

由①知，[P2p+1，p-1].

因為函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”[y=mx-p-2+][n-x+3p]的圖象經(jīng)過點[P]，

所以[p-11-m-n=0].

因為[p≠1]，所以[n=1-m].

所以[y=2m-1x+3p-4p+2m].

令[y=0]，得[2m-1x+3p-4p+2m=0].

則有[3-4mp+2m-1x-2m=0].

因為對于不等于1的任意實數(shù)[p]，都有點[Q]的位置不變，

所以[3-4m=0，2m-1x-2m=0.] 解得[m=34，x=3.]

所以當[x=3]，[m=34]時，“組合函數(shù)”圖象與[x]軸交點[Q]的位置不變，坐標為[Q3，0]．

試題分析：初中階段學生學習了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，考查運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決相關問題的試題比較普遍，對學習函數(shù)過程中應該積累的方法的考查也越來重視，突出對學生分析、概括和抽象等能力的考查. 解決此類問題，需要學生借助研究三種函數(shù)所積累的經(jīng)驗，從新定義入手，從特殊到一般分析、歸納和總結(jié)新定義函數(shù)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)解決相關問題. 該題是對兩個一次函數(shù)進行線性組合，得到一個新的函數(shù). 第（1）小題運用概念判斷，設問自然，學生套用定義容易作答；第（2）小題是對新定義函數(shù)的特殊性質(zhì)進行探究.

類題賞析：綜觀2022年全國各地中考數(shù)學試題，以定義新函數(shù)側(cè)重考查函數(shù)研究方法的相關試題較多，如湖南常德卷第8題、湖北荊州卷第16題、貴州安順卷第24題、江蘇南通卷第26題和甘肅蘭州卷第27題等.

三、復習備考建議

綜觀2022年全國各地中考數(shù)學試卷，可以發(fā)現(xiàn)大部分壓軸題都是以函數(shù)知識為載體進行設計，命題形式多樣. 有的試題單純考查函數(shù)的概念、表示和性質(zhì)等基礎知識；有的試題考查函數(shù)與幾何圖形的綜合；有的試題考查跨學科知識之間的滲透，注重“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一，突出抽象、推理和模型這三個數(shù)學基本思想. 試題關注動點、最值、存在性、新定義等熱點，重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和方程等思想方法的運用. 試題背景切合學生的生活實際，設問方式具有開放性、探究性和挑戰(zhàn)性等特點，全面考查學生分析和解決問題的能力.“函數(shù)”部分的復習教學應夯實基礎、提升能力、內(nèi)化經(jīng)驗．

1. 建構(gòu)知識體系，夯實基礎

夯實基礎是復習階段的首要任務. 復習基礎知識不是簡單地“溫故”而重在“知新”，借助思維導圖，按照知識體系對所學內(nèi)容進行深層次建構(gòu)，形成知識體系.

初中階段的函數(shù)內(nèi)容主要包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，從概念到圖象的性質(zhì)及其應用，從思想方法到學習方式，都體現(xiàn)了學習和研究函數(shù)的一般方法. 因此，在復習過程中，要加強彼此間的聯(lián)系和對比，讓學生回顧的不僅是枯燥的知識，還要有靈動的思想方法. 在這個過程中，學生一定要自己動手，自主建構(gòu)，這樣才能對函數(shù)知識有一個系統(tǒng)和清晰的認識．

2. 關注核心思想，提升能力

數(shù)形結(jié)合思想和建模思想是學習“函數(shù)”內(nèi)容時最為重要的思想方法，直指幾何直觀和模型觀念素養(yǎng)的發(fā)展．

運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題時，要找準“數(shù)”與“形”的屬性，從而將數(shù)量關系用“形”有效地直觀表達，將幾何圖形用“數(shù)”準確刻畫. 例如，在本文例7以反比例函數(shù)為背景的幾何存在性問題中，AP垂直平分BQ可以利用函數(shù)關系式進行表達，便于求點的坐標.

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實生活的一個重要模型. 每年的中考“函數(shù)”試題都會選用與學生日常生活相關或社會熱點問題為背景呈現(xiàn)數(shù)學問題，發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識. 解決此類問題的關鍵點在于正確建立數(shù)學模型. 數(shù)學建模最為關鍵的環(huán)節(jié)是用數(shù)學語言準確地描述實際背景中的條件和問題，即將實際問題數(shù)學化. 在這一過程中，需要學生從題目所提供的文字、圖和表中獲取有用信息，提取問題本質(zhì)的數(shù)學結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學模型. 例如，本文例3需要學生根據(jù)題目中提供的有關橋的相關數(shù)據(jù)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將橋抽象成二次函?shù)建立二次函數(shù)模型解決相關問題．

3. 反思解題過程，內(nèi)化經(jīng)驗

在復習過程中，做完一道題后要及時復盤. 復盤是指對解題過程的反思. 通過反思不斷提煉、整合和內(nèi)化活動經(jīng)驗，形成優(yōu)化了的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，然后再將這種優(yōu)化了的經(jīng)驗遷移到新的問題情境中進行實踐和應用. 例如，在本文例6中，分析問題的經(jīng)驗有轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、分類討論、數(shù)形結(jié)合；操作經(jīng)驗有過點作的垂線；解題經(jīng)驗有待定系數(shù)法、等積轉(zhuǎn)化法、規(guī)范書寫與表達、認真仔細；等等. 這些經(jīng)驗的積累與優(yōu)化對學生數(shù)學關鍵能力的培養(yǎng)具有十分重要的意義. 當然，解題結(jié)束并不意味著學習過程的終結(jié)，我們可以追求一題多解、多題一解，還可以引導學生發(fā)現(xiàn)與提出問題：你能提出一個與該題有關的問題嗎？如果學生能提出“當四邊形ABCD為菱形時，求點P的坐標”“是否存在點P，使得四邊形ABCD為正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由”之類的問題，那么這種對問題的深入思考和多角度探究能夠發(fā)揮每一道習題的最大價值，這才是教師與學生應該追求的. 在中考復習中，教師要經(jīng)常運用典型例題和習題引導學生從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識.

四、典型模擬題

1. 若二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（a ≠ 0）的圖象經(jīng)過[A-1，n]， [B0，y1]， [C4，n]， [D2，y2]， [E2，y3]五點，則[y1]，[y2]，[y3]的大小關系是（? ? ）.

（A）[y1

（C）[y2

答案：C.

2. 隨著“公園城市”建設的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚. 甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是[18 km / h]，乙騎行的路程[s]（km）與騎行的時間[t]（h）之間的關系如圖13所示．

（1）直接寫出當[0≤t≤0.2]和[t>0.2]時，[s]與[t]之間的函數(shù)表達式；

（2）何時乙騎行在甲的前面？

答案：（1）[s=15t? 0≤t≤0.2，20t-1 t>0.2.]

（2）0.5小時后乙騎行在甲的前面.

3. 在學習未知函數(shù)的時候，我們需要根據(jù)函數(shù)圖象研究其性質(zhì). 某班數(shù)學學習興趣小組開展了對函數(shù)[y=6xx2+1]的研究，列表如表2所示.

按要求回答以下四個問題：

（1）求出m和n的值；

（2）根據(jù)列表畫出函數(shù)圖象；

（3）說出該函數(shù)的性質(zhì)；

（4）根據(jù)圖象，直接寫出方程[6xx2+1=3x]的根．

答案：（1）m = -3，[n=3].

（2）函數(shù)圖象如圖14所示.

（3）關于原點對稱；當x = 1時，取得最大值3，當x = -1時，取得最小值-3；當-1 < x < 1時，y隨x的增大而增大，當x < -1或x > 1時，y隨x的增大而減小.

（4）[-1]，0，1．

4. 如圖15，拋物線[y=x2+4x+m]與[x]軸交于[Ax1，0]，[Bx2，0]兩點，[x1

（1）若[AB=6]，求拋物線的解析式及頂點[C]的坐標；

（2）若[Mx，y]為拋物線上一點，若[-3≤x≤8]，且點[M]的坐標[y]滿足[a≤y≤b]，求[b-a]的值；

（3）已知[P-4，-5]，[Q1，-5]為坐標系內(nèi)兩點，連接[PQ]，若拋物線與線段[PQ]只有一個公共點，結(jié)合圖象直接寫出[m]的取值范圍．

答案：（1）[y=x2+4x-5]，[C-2，-9]；

（2）100；

（3）[m=-1]或[-10≤m<-5]．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］張偉，宋先波，趙潔. 2018年中考“函數(shù)”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2019（1 / 2）：54-63.

［3］胡玲君. 2019年中考“函數(shù)”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2020（1 / 2）：63-71.

［4］孫鋒. 基于過程生長與單元設計的概念教學：對“變量與函數(shù)”一課的點評［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2020（6）：25-26.

［5］吳增生. 初中數(shù)學畢業(yè)考試命題變革的思考與實踐［J］. 數(shù)學通報，2021，60（1）：41-51.

作者簡介：孫鋒（1974— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學課程建設及課堂教學研究；

楊明（1988— ），男，中學高級教師，主要從事初中數(shù)學課堂教學及解題研究.