按圖索驥　探變求本

陳耀忠　孫陳威

摘? 要：“圖形的變化”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是在研究幾何圖形的本質(zhì)屬性之后對(duì)圖形變化規(guī)律的進(jìn)一步探索和研究. 文章通過對(duì)2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中“圖形的變化”典型試題，從學(xué)業(yè)要求、解法分析、試題分析和類題評(píng)析四個(gè)維度進(jìn)行闡述、解析、評(píng)價(jià)，充分展示了探尋基本圖形和圖形在運(yùn)動(dòng)變化中不變量的一般過程. 分析發(fā)現(xiàn)，在“圖形的變化”問題解決中，只有重視教材、回歸教材、夯實(shí)基礎(chǔ)、提升能力，才能以不變應(yīng)萬變.

關(guān)鍵詞：圖形的變化；典型試題；解法分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)“圖形的變化”內(nèi)容明確了學(xué)業(yè)要求，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界具有重要意義.

如何達(dá)到《標(biāo)準(zhǔn)》明確的學(xué)業(yè)要求？如何求解“圖形的變化”試題？本文立足解題評(píng)價(jià)視角，從考點(diǎn)概述、典題分析、備考建議三個(gè)方面對(duì)選取的“圖形的變化”典型試題進(jìn)行剖析總結(jié)，以期對(duì)中考復(fù)習(xí)備考提供參考.

一、考點(diǎn)概述

1. 學(xué)業(yè)要求

“圖形的變化”內(nèi)容隸屬于初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域，其內(nèi)容主要包括圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似、投影、銳角三角函數(shù).《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求如圖1所示.

2. 考查特點(diǎn)

從2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷對(duì)“圖形的變化”專題內(nèi)容的考查情況來看，該部分內(nèi)容考查的題型涉及填空題、選擇題、解答題、操作題等，且各地區(qū)中考對(duì)“圖形的變化”內(nèi)容的考查都很重視. 研究發(fā)現(xiàn)，2022年全國各地區(qū)中考“圖形的變化”試題考查具有以下特點(diǎn)：（1）立足教材，關(guān)注對(duì)基本概念的理解和運(yùn)用；（2）盡可能設(shè)置生活化的實(shí)際背景，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，以及在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)生所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思維方式；（3）重視對(duì)幾何直觀、空間觀念、邏輯推理等素養(yǎng)的落實(shí)情況進(jìn)行考查.

二、優(yōu)秀試題分析

2022年全國各地區(qū)中考對(duì)“圖形的變化”試題的命制整體上呈起點(diǎn)低、坡度緩、立意高的特點(diǎn)，符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求，既立足對(duì)圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似、投影等基礎(chǔ)內(nèi)容的考查，又關(guān)注學(xué)生的未來發(fā)展，考查學(xué)生對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)的不同認(rèn)知水平，多角度、多維度考查學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力等素養(yǎng). 下面從學(xué)業(yè)要求、解法分析、試題分析和類題評(píng)析四個(gè)維度對(duì)2022年中考“圖形的變化”試題進(jìn)行解題分析.

1. 依標(biāo)扣本，考查基礎(chǔ)，強(qiáng)化空間觀念

課程標(biāo)準(zhǔn)是中考數(shù)學(xué)試題命制的依據(jù)，教材是中考數(shù)學(xué)試題命制的藍(lán)本. 立足“三會(huì)”、依標(biāo)扣本是2022年中考“圖形的變化”試題命制方面的典型特征.

例1 （甘肅·蘭州卷）下列分別是2022年北京冬奧會(huì)、1998年長野冬奧會(huì)、1992年阿爾貝維爾冬奧會(huì)、1984年薩拉熱窩冬奧會(huì)會(huì)徽上的圖案，其中是軸對(duì)稱圖形的是（? ? ）.

學(xué)業(yè)要求：理解幾何圖形的對(duì)稱性，感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美.

解法分析：此題選取四屆冬奧會(huì)會(huì)徽上的圖案為素材，要求判斷其是否為軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是辨別哪個(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合. 此題答案選D.

試題分析：此題既考查學(xué)生對(duì)基本概念的把握情況、對(duì)軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)，又考查學(xué)生在具體情境中應(yīng)用軸對(duì)稱圖形概念的能力.

類題賞析：2022年全國各地區(qū)中考試卷中此類試題的命制大致選擇圖案設(shè)計(jì)、文字?jǐn)?shù)字、剪紙藝術(shù)、幾何圖形四類. 其中，山東泰安卷第3題、江蘇連云港卷第2題、四川內(nèi)江卷第4題、貴州畢節(jié)卷第2題、黑龍江齊齊哈爾卷第2題、黑龍江大慶卷第4題等以圖案設(shè)計(jì)類為考查對(duì)象；天津卷第4題、湖北武漢卷第3題、四川樂山卷第2題以漢字為考查對(duì)象；四川眉山卷第3題以英文字母為考查對(duì)象；湖北宜昌卷第2題以數(shù)字為考查對(duì)象；山東臨沂卷第2題、湖南永州卷第3題以剪紙藝術(shù)為考查對(duì)象；廣西桂林卷第4題、黑龍江哈爾濱卷第3題、四川遂寧卷第2題以幾何圖形為考查對(duì)象.

例2 （浙江·溫州卷）某物體如圖2所示，它的主視圖是（? ? ）.

學(xué)業(yè)要求：經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

解法分析：解決此題需要掌握主視圖就是從正面看物體所得到的圖形. 此題答案選D.

試題分析：此題考查給定幾何體甄別三視圖，重在考查簡單組合體的主視圖.

類題賞析：2022年中考湖南邵陽卷第4題、湖北武漢卷第5題、浙江臺(tái)州卷第2題、天津卷第5題、浙江嘉興卷第2題、湖南衡陽卷第2題、浙江湖州卷第3題、江西卷第5題、安徽卷第3題均為此類試題或此種考法，而湖北孝感卷第2題、江蘇揚(yáng)州卷第5題考查給定三視圖甄別幾何體. 還有一些地區(qū)的中考試卷中雖然也是給定幾何體，但是問法更加靈活，提出了“主視圖與俯視圖的形狀不一樣的幾何體是什么”“幾何體的三視圖中完全相同的是什么”等問題. 此類問題的難度略高于上述問題，需要學(xué)生牢固掌握幾何體的三種視圖.

例3 （新疆卷）圖3是某幾何體的展開圖，該幾何體是（? ? ）.

（A）長方體 （B）正方體

（C）圓錐 （D）圓柱

學(xué)業(yè)要求：知道簡單立體圖形的側(cè)面展開圖，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

解法分析：解決此題的關(guān)鍵是“熟練掌握圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、底面是圓形”. 此題答案選C.

試題分析：此題考查依據(jù)給定簡單幾何體的側(cè)面展開圖甄別幾何體，題面簡潔、圖形明了.

類題賞析：2022年中考四川廣元卷第2題、江蘇宿遷卷第4題、湖南岳陽卷第2題、四川自貢卷第3題均為此類考法. 綜觀2022年全國各地區(qū)中考試卷中“圖形的變化”試題，基本都是結(jié)合圓柱、圓錐、長方體等常見幾何體的側(cè)面展開圖進(jìn)行命題，考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和空間想象能力.

例4 （安徽卷）如圖4，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

（1）將△ABC向上平移6個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到[△A1B1C1]，試畫出[△A1B1C1]﹔

（2）以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到[△A2B2C2]，試畫出[△A2B2C2].

學(xué)業(yè)要求：理解平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，知道平移、旋轉(zhuǎn)的基本特征.

解法分析：解決此題需要根據(jù)平移的方式確定出點(diǎn)A1，B1，C1的位置，再順次連接，即可得到[△A1B1C1]. 再根據(jù)旋轉(zhuǎn)可確定出點(diǎn)A2，B2，C2的位置，再順次連接，即可得到[△A2B2C2]. 所作[△A1B1C1]和[△A2B2C2]如圖5所示.

試題分析：此題考查運(yùn)用作圖法分析圖形平移和旋轉(zhuǎn)變化后的性質(zhì)特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平移和旋轉(zhuǎn)的作圖過程，構(gòu)建平移、旋轉(zhuǎn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，鞏固作圖技能.

類題賞析：2022年中考浙江溫州卷第18題同樣以作圖形式考查學(xué)生對(duì)圖形的變化規(guī)律的掌握情況；浙江杭州卷第8題則是通過在格點(diǎn)中刻畫旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)來考查相關(guān)知識(shí)；湖北武漢卷第21題對(duì)學(xué)生要求較高，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的分析問題的能力.

例5 （浙江·臺(tái)州卷）如圖6，△ABC的邊BC長為4 cm．將△ABC平移2 cm得到[△ABC，] 且[BB]⊥BC，則陰影部分的面積為? ? ? ? .

學(xué)業(yè)要求：知道平移的有關(guān)性質(zhì).

解法分析：陰影部分的面積等于四邊形BB′C′C的面積，此題答案為8 cm2．

試題分析：此題考查平移前后所得圖形的面積，比較簡明.

類題賞析：“圖形的變化”相關(guān)的度量考查在2022年中考試卷中涉及較少. 浙江嘉興卷第6題以中國古代婦女的發(fā)飾“方勝”為背景考查了平移中的距離計(jì)算，湖北十堰卷第15題則考查了扇形對(duì)稱變化后相關(guān)圖形的面積計(jì)算.

2. 聯(lián)系實(shí)際，考查應(yīng)用，強(qiáng)化幾何直觀

“圖形的變化”相關(guān)試題往往和實(shí)際問題相結(jié)合，通過設(shè)置具體的問題情境，彰顯數(shù)形結(jié)合思想. 2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中，很多試題都是借助現(xiàn)實(shí)情境考查學(xué)生對(duì)圖形的變化知識(shí)的掌握情況，只有少數(shù)地區(qū)使用數(shù)學(xué)情境考查該部分知識(shí).

例6 （浙江·臺(tái)州卷）如圖7是戰(zhàn)機(jī)在空中展示的軸對(duì)稱隊(duì)形. 以飛機(jī)B，C所在直線為x軸、隊(duì)形的對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 若飛機(jī)E的坐標(biāo)為[40，a，] 則飛機(jī)D的坐標(biāo)為（? ? ）.

（A）[40，-a] （B）[-40，a]

（C）[-40，-a] （D）[a，-40]

學(xué)業(yè)要求：理解幾何圖形的對(duì)稱性，感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美，知道可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)對(duì)稱.

解法分析：解決此題需要了解關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)改變符號(hào). 此題答案選B.

試題分析：此題借助問題情境給定對(duì)稱關(guān)系，考查用坐標(biāo)語言表達(dá)對(duì)稱關(guān)系，設(shè)計(jì)新穎.

類題賞析：2022年中考新疆卷第3題考查的是關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)改變符號(hào).

例7 （湖北·荊州卷）荊州城徽“金鳳騰飛”（如圖8）立于古城東門外. 如圖9，某校學(xué)生測量其高AB（含底座），先在點(diǎn)C處用測角儀測得其頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C向城徽走6.6 m到點(diǎn)E處，測得頂端A的仰角為45°. 已知B，E，C三點(diǎn)在同一直線上，測角儀離地面的高度CD = EF = 1.5 m，求城徽的高AB.（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈ 0.530，cos32°≈ 0.848，tan32°≈ 0.625.）

學(xué)業(yè)要求：能用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.

解法分析：如圖10，延長DF交AB于點(diǎn)G，則∠AGF = 90°，DF = CE = 6.6 m，CD = EF = BG = 1.5 m. 設(shè)FG = x m，先在Rt△AGF中利用銳角三角函數(shù)的定義表示出AG的長，再在Rt△AGD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

試題分析：此題立足人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊第81頁活動(dòng)2中的基本圖形（其他版本的教材中也有體現(xiàn)），考查學(xué)生解直角三角形和解決實(shí)際問題的能力. 此題以測量無法直接測量的高度為背景，要求學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決. 常見的借助銳角三角函數(shù)知識(shí)測量物體高度的基本圖形具有的重要特征為有一個(gè)公共元素，如圖11所示.

類題賞析：2022年中考天津卷第22題、湖南邵陽卷第25題、新疆卷第21題、四川遂寧卷第22題、河南卷第19題、四川眉山卷第22題、四川廣元卷第21題等同樣考查借助銳角三角函數(shù)知識(shí)測量物體高度解決問題；安徽卷第20題、重慶A卷第22題等考查利用上述基本圖形求航行距離.

3. 按圖索驥，探變求本，強(qiáng)化核心素養(yǎng)

例8 （四川·遂寧卷）如圖12，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，連接EC，GA，交于點(diǎn)O，GA與BC交于點(diǎn)P，連接OD，OB，則下列結(jié)論一定正確的是（? ? ）.

① EC ⊥ AG ② △OBP ∽ △CAP

③ OB平分∠CBG ④ ∠AOD = 45°

（A）①③ （B）①②③

（C）②③ （D）①②④

學(xué)業(yè)要求：理解圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，知道圖形旋轉(zhuǎn)的基本特征，了解圖形相似的意義，會(huì)判斷簡單的相似三角形.

解法分析：由[BA=BC，BG=BE，∠ABG=90°+∠CBG=][∠CBE，] 易得[△ABG≌△CBE.] 所以[∠BAP=][∠OCP.] 所以[∠POC=∠PBA=90°，] 即①正確. 同時(shí)可得[A，B，C，][O]四點(diǎn)共圓，所以得[△OBP∽△CAP，] 即②正確. 且[∠AOD=∠ACD=45°，] 即④正確. 關(guān)于③，有[∠AOB=][∠ACB=∠BOE=45°，] 即[OB]平分[∠AOE.] 具體解題思維導(dǎo)圖如圖13所示. 此題答案選D.

試題分析：此題取材于經(jīng)典的雙正方形旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖，設(shè)計(jì)一系列問題，考查學(xué)生對(duì)基本圖形旋轉(zhuǎn)的識(shí)別能力. 教材通過大量習(xí)題，呈現(xiàn)了兩個(gè)全等三角形或相似三角形通過旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的基本圖，旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并運(yùn)用這些性質(zhì)分析、解決一些簡單的幾何問題.

常見的典型基本圖形的旋轉(zhuǎn)如圖14所示. 其中，相等的角常隱含在平行線、對(duì)頂角或某些角的和與差中.

類題賞析：2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷在選擇題和填空題中對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的考查較多，天津卷第11題、湖南常德卷第7題、內(nèi)蒙古包頭卷第11題、四川南充卷第16題、江蘇無錫卷第5題、浙江麗水卷第15題均以三角形旋轉(zhuǎn)為基本對(duì)象，考查探究過程中所產(chǎn)生的圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系等. 解決此類試題需要抽絲剝繭地挖出旋轉(zhuǎn)的基本圖形，然后結(jié)合等腰三角形、直角三角形、全等、相似等知識(shí)求解.

例9 （重慶B卷）在△ABC中，∠BAC = 90°，[AB=][AC=22，] D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG.

（1）如圖15（a），點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長線過點(diǎn)B，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長；

（2）如圖15（b），EF的延長線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AC上，∠AGN = ∠AEG且GN = MF，求證：AM + [AF=2AE；]

（3）如圖15（c），F(xiàn)為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，直接寫出線段B′G的長度的最小值.

學(xué)業(yè)要求：理解圖形旋轉(zhuǎn)的基本特征和性質(zhì).

解法分析：第（1）小題中，因?yàn)榫€段EF（即CF）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EG，產(chǎn)生了等腰直角三角形EFG（即△CFG），點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，知EP ⊥ FG，所以△BPC是直角三角形，而D為其斜邊的中點(diǎn). 由利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得PD = 2.

第（2）小題中，如圖16，過點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長線于點(diǎn)H，由已知可得△AEH為等腰三角形. 則容易證明△EFH ≌ △EGA. 所以∠EHF = ∠GAE = 45°. 所以∠GAE = ∠MAF. 由已知可知，∠AEG = ∠AMF = 90° - ∠AEM. 因?yàn)椤螦GN = ∠AEG，所以∠AMF? = ∠AGN . 再結(jié)合GN = MF，可以證明△AMF ≌ △AGN. 所以AM = AG = FH. 所以[AM+AF=FH+AF=AH=2AE.] 結(jié)論得證.

第（3）小題，由于變化過程中點(diǎn)E的位置是確定的，所以線段BE的長為定值[10.] 所以點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心、[10]為半徑的圓上運(yùn)動(dòng). 因?yàn)锽′G + GE ≥ B′E，所以當(dāng)EG最大，且B′，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，B′G最小. 經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A或D重合時(shí)，EG取最大值，且這樣的點(diǎn)存在，進(jìn)而可知線段B′G的最小值為[10-2.]

試題分析：此題先通過線段的旋轉(zhuǎn)變化產(chǎn)生兩個(gè)相似的等腰直角三角形，并以旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)一系列問題，層層遞進(jìn)，著重考查學(xué)生在圖形變化的過程中捕捉不變規(guī)律的能力，并要求學(xué)生利用不變量進(jìn)行邏輯推理，進(jìn)而解決問題. 解決好此類問題的關(guān)鍵是要具備按圖索驥、通時(shí)達(dá)變的能力.

關(guān)于兩個(gè)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變化，建議掌握以下內(nèi)容.

△ABC和△ADE是以點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)的一組相似的等腰直角三角形.

（1）如圖17，則有：

① △ABD ≌ △ACE，且△ACE ∽ △ANM；

② 當(dāng)點(diǎn)P，M，N分別是CD，DE，BC的中點(diǎn)時(shí)，△PMN也是等腰直角三角形.

（2）如圖18，點(diǎn)D在邊BC上，則有：

① △ABD ≌ △ACE；

② BC ⊥ CE.

（3）如圖19，記O，M，N分別是BE，AE，AB的中點(diǎn)，則有：

① 四邊形AMON是平行四邊形；

② △OCD是等腰直角三角形.

類題賞析：兩個(gè)相似圖形依據(jù)一定條件限制進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生的圖形性質(zhì)頗多，以此為背景命題是近幾年中考的熱點(diǎn). 2022年中考，四川成都卷第26題以兩個(gè)相似矩形旋轉(zhuǎn)為背景進(jìn)行命題，江蘇連云港卷第27題以兩個(gè)直角三角板為背景進(jìn)行圖形構(gòu)造，都體現(xiàn)了這種命題思路.

例10 （安徽卷）已知四邊形ABCD中，BC = CD. 連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE.

（1）如圖20（a），若[DE∥BC]，求證：四邊形BCDE是菱形.

（2）如圖20（b），連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC.

① 求∠CED的大小；

② 若AF = AE，求證：BE = CF.

學(xué)業(yè)要求：理解軸對(duì)稱圖形的運(yùn)動(dòng)，知道軸對(duì)稱的基本特征，理解幾何圖形的對(duì)稱性.

解法分析：第（1）小題，根據(jù)題意，可知CE垂直平分BD，從而ED = EB. 進(jìn)而可得∠EDB = ∠EBD. 再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，可證明結(jié)論.

第（2）小題第①問，先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得∠AED = ∠CED = ∠BEC. 再根據(jù)平角定義即可以得到∠CED = 60°；第②問中，利用“AAS”證明△ABF ≌ △ACE，得AC = AB. 所以AB - AE = AC - AF，即BE = CF.

試題分析：此題問題設(shè)計(jì)層次分明. 第（1）小題要求直接證明菱形，條件簡明. 第（2）小題設(shè)有兩個(gè)問，第①問主要借助垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角的傳遞，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一個(gè)平角被三等分；第②問的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生分析問題的能力提出了更高層次的要求，結(jié)論中隱含的特殊角、等腰三角形、四點(diǎn)共圓等為求解該題提供了豐富的想象空間. 此題由對(duì)稱基本圖形入手（試題涉及的部分基本圖形如圖21和圖22所示），衍生出一系列問題，題面簡潔，內(nèi)涵深刻.

軸對(duì)稱是基本的圖形變換，是學(xué)習(xí)空間與圖形知識(shí)的必要基礎(chǔ)，常見的軸對(duì)稱圖形如圖23所示.

類題賞析：2022年中考湖南常德卷第26題以“風(fēng)箏”形對(duì)稱圖形為背景進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的考查，很好地展示了探尋圖形的變化中不變的規(guī)律的過程. 四川成都卷第23題、四川德陽卷第16題、浙江臺(tái)州卷第16題、山東濱州卷第18題、浙江舟山卷第16題、江蘇揚(yáng)州卷第17題、山東泰安卷第18題等則是通過選擇題或填空題考查對(duì)稱變換.

三、復(fù)習(xí)備考建議

通過對(duì)2022年全國部分地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中的“圖形的變化”試題進(jìn)行解題分析，提出以下備考建議.

1. 重視教材，回歸教材

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的依據(jù)，也是中考命題的依據(jù)，教材是表達(dá)課程標(biāo)準(zhǔn)理念的有效載體. 通過分析發(fā)現(xiàn)，2022年中考“圖形的變化”試題考查問題的素材大多取材于教材. 因此，復(fù)習(xí)備考中，不能舍本逐末，要回歸教材、吃透教材，領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖. 要深度研究教材素材，創(chuàng)造性地分析、運(yùn)用教材. 要對(duì)教材中的例題、習(xí)題，以及公式、定理進(jìn)行深入拓展. 要跳出“題?！?，多維度深挖教材，捕捉教材中的經(jīng)典圖形，總結(jié)、提煉出軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等相關(guān)基本圖形，同時(shí)對(duì)衍生問題進(jìn)行有效整合，以達(dá)到以不變應(yīng)萬變的效果.

2. 關(guān)注基礎(chǔ)，強(qiáng)化理解

分析發(fā)現(xiàn)，要想解決好“圖形的變化”相關(guān)試題，需要厘清平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)三大變換的要素、性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；理解相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系；需要經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程，準(zhǔn)確把握長方體、圓錐、球等簡單幾何體的側(cè)面展開圖. 在“圖形的變化”學(xué)習(xí)中，要重視基礎(chǔ)知識(shí)，要以信息技術(shù)演示或者實(shí)物操作的形式感悟圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移變化的基本特征，要理解感知變化是需要參照物的，要借助參照物闡釋圖形變化的基本特征，進(jìn)而了解三類變化的基本性質(zhì).

3. 關(guān)注作圖，強(qiáng)化識(shí)圖

識(shí)圖能力是指學(xué)生在識(shí)圖過程中所表現(xiàn)出來的綜合素質(zhì). 會(huì)識(shí)別圖形指能在復(fù)雜交錯(cuò)的圖形中尋找基本圖形，能將圖形進(jìn)行分解、重組，從而發(fā)現(xiàn)有用的信息. 識(shí)圖能力直接關(guān)系到學(xué)生能否從問題中識(shí)別出基本圖形并加以運(yùn)用，進(jìn)而解決問題. 復(fù)習(xí)備考中，要通過作圖、用圖、識(shí)圖、構(gòu)圖，掌握基本的作圖技巧，提升識(shí)圖能力和構(gòu)圖水平，同時(shí)要加強(qiáng)圖形語言的表達(dá)能力. 問題解決中，要從觀察圖形特征入手，通過探尋、構(gòu)造基本圖形，尋找解決問題的突破口.

“圖形的變化”專題備考中，要將圖形的變化和圖形的性質(zhì)相結(jié)合，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，用數(shù)學(xué)的語言描述生活，用數(shù)學(xué)的理性對(duì)待生活，最終形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和習(xí)慣.

4. 關(guān)注思維，強(qiáng)化推理

復(fù)習(xí)備考中，要重視學(xué)習(xí)的過程，主動(dòng)經(jīng)歷操作、觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證、證明、應(yīng)用等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中感悟、體驗(yàn)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，實(shí)現(xiàn)“知其然，更知其所以然”，進(jìn)而鍛造思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成言必有據(jù)，分析細(xì)致、縝密的習(xí)慣. 在學(xué)習(xí)圖形的變化內(nèi)容時(shí)，若要解決旋轉(zhuǎn)問題，則要學(xué)會(huì)從“新圖形自身的性質(zhì)有哪些變化？”“對(duì)應(yīng)元素之間有何數(shù)量和位置關(guān)系？”“新圖形又生成了哪些新條件或新規(guī)律？”“題干的條件和新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論都得到有效使用了嗎？”四個(gè)方面分析問題. 總之，要通過經(jīng)歷知識(shí)的形成過程發(fā)展思維的深度和廣度，進(jìn)而提高思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性.

四、典型模擬題

1. 如圖24，在Rt△ABC中，[∠ACB=90°，BC=][2AC，] 點(diǎn)[D，E]分別是邊[BA，BC]的中點(diǎn)，連接[DE．] 將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[α 0°<α<90°，] 得到△BFG，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，連接AF，CG．

（1）求證：[∠BFA=∠BGC；]

（2）若[∠BFA=90°，] 求[sin∠CBF]的值．

答案：（1）略.

（2）[sin∠CBF=215+510．]

【評(píng)析】此題以兩個(gè)相似的特殊直角三角形旋轉(zhuǎn)所得的圖形作為考查對(duì)象. 第（1）小題要求證明這個(gè)圖形的一般性質(zhì)；第（2）小題在第（1）小題的基礎(chǔ)上研究特殊情形. 解題過程中多次運(yùn)用圖形變化的性質(zhì)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?jì)算.

2. 如圖25，矩形[ABCD]中，[AB=12，AD=25，] 點(diǎn)[E]是邊[BC]上一點(diǎn)，[CE=16，] 點(diǎn)[M]是邊[AD]上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[N]是邊[BC]上一動(dòng)點(diǎn)，射線[AN]與射線[ME]相交于點(diǎn)[F]，且滿足[∠AFM=∠EAD，] 將[△ABE]沿[AB]翻折得到[△ABG].

（1）連接[DE]，求[∠AED]的度數(shù)；

（2）當(dāng)[△AFM]是以[FM]為腰的等腰三角形時(shí)，求[EN]的值；

（3）當(dāng)[AN]平分[∠EAD]時(shí)，求證：[GF]平分[∠AGE.]

答案：（1）[∠AED=90°]；

（2）[0]或3；

（3）略.

【評(píng)析】此題考查對(duì)稱變換的相關(guān)知識(shí)，以矩形為基本圖形，通過變化考查相關(guān)角度的關(guān)系，以及全等與相似的應(yīng)用. 第（3）小題多次運(yùn)用相關(guān)條件得到相等的角或線段，最終利用全等得到欲證結(jié)論，對(duì)學(xué)生的識(shí)圖能力和邏輯推理能力要求較高.

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基金項(xiàng)目：蚌埠市教育科學(xué)規(guī)劃課題——安徽省中考數(shù)學(xué)試卷與課標(biāo)一致性研究（2021073）.

作者簡介：陳耀忠（1970— ），男，正高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、競賽和中高考命題研究；

孫陳威（1987— ），男，一級(jí)教師，主要從事中考數(shù)學(xué)試題與課標(biāo)一致性研究.