GeoGebra 在初中圖形與幾何教學(xué)中的應(yīng)用策略探析

龔天軍

（甘肅省金塔縣第四中學(xué)，甘肅金塔 735300）

GeoGebra 是幾何與代數(shù)詞語的組合，集3D、計(jì)算、統(tǒng)計(jì)、圖形、代數(shù)、幾何、函數(shù)為一體，可確保數(shù)學(xué)問題能夠直觀、高效地得到解決。它開源免費(fèi)、易于學(xué)習(xí)，學(xué)生可以動(dòng)手實(shí)作，也可以對(duì)動(dòng)態(tài)幾何變化清晰觀察，有助于幫助學(xué)生建立幾何思維觀念，強(qiáng)化理解幾何知識(shí)。教師可以根據(jù)課程目標(biāo)和教學(xué)需求，應(yīng)用GeoGebra 創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作等形式的探究活動(dòng)，使學(xué)生感受探索圖形與幾何世界的樂趣，從而減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、增強(qiáng)教學(xué)實(shí)效。下面筆者就對(duì)此目標(biāo)展開教學(xué)探析。

一、GeoGebra 在初中圖形與幾何教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

圖形與幾何課程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要的地位。在課程改革中應(yīng)用這款動(dòng)態(tài)視頻軟件，能夠打造直觀、形象的教學(xué)環(huán)境，提高學(xué)生對(duì)圖形與幾何知識(shí)的認(rèn)知效率。經(jīng)過學(xué)情分析和理論實(shí)踐研究，筆者將GeoGebra 在初中圖形與幾何教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值概括為下列三個(gè)方面：

第一，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生探索圖形與幾何課程的積極性。初中階段學(xué)生的讀圖、識(shí)圖能力偏弱，掌握的幾何語言比較匱乏，對(duì)圖形與幾何課程學(xué)習(xí)存在一定的抵觸情緒。GeoGebra具備優(yōu)越的圖形制作和處理功能，能夠以不同的方式為學(xué)生呈現(xiàn)圖形，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生探索課程知識(shí)的積極性。如在立體圖形教學(xué)中，教師可以為學(xué)生繪制立體圖形的折疊和展開圖，或者出示展開圖，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察判斷出立體圖形的本來形狀，也可以幫助學(xué)生構(gòu)建矩形、橢圓、圓形等幾何圖形，使學(xué)生高效認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效果。GeoGebra 還能幫助學(xué)生構(gòu)建CAS 模塊，以理解復(fù)雜的函數(shù)問題，并通過對(duì)函數(shù)參數(shù)的調(diào)節(jié)對(duì)函數(shù)圖形的變化進(jìn)行觀察，從而高質(zhì)量理解幾何原理。利用GeoGebra 開展教學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生體驗(yàn)人機(jī)互動(dòng)的樂趣，喚醒學(xué)生對(duì)圖形與幾何課程的自主探索動(dòng)機(jī)［1］。

第二，有利于學(xué)生理解圖形與幾何的概念知識(shí)。初中階段圖形與幾何課程知識(shí)的概念性較強(qiáng)，學(xué)習(xí)方法也從運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維還有待發(fā)展，他們?cè)趯W(xué)習(xí)課程概念知識(shí)時(shí)面臨較大的難關(guān)。GeoGebra 具備動(dòng)態(tài)化演示的優(yōu)勢，還能同步展示圖形的數(shù)形關(guān)系，將其引入初中圖形與幾何教學(xué)，對(duì)促進(jìn)學(xué)生理解圖形與幾何的概念知識(shí)很有幫助。如在幾何定理和概念教學(xué)中，教師可以通過動(dòng)態(tài)演示法呈現(xiàn)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，通過推理和論證得出幾何圖形的性質(zhì)和定理，使學(xué)生經(jīng)歷概念知識(shí)的生成過程，從而助力學(xué)生深度地領(lǐng)會(huì)課程概念知識(shí)。學(xué)生還可以借助這一模式，對(duì)數(shù)學(xué)主題問題中的一般問題進(jìn)行分析，以此鞏固幾何基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)知能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，然后再進(jìn)行引申學(xué)習(xí)，對(duì)特殊化的數(shù)學(xué)問題開展思考，進(jìn)而從多元層面理解幾何問題，幫助學(xué)生突破當(dāng)前幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)瓶頸。

第三，有利于教師創(chuàng)新圖形與幾何的教學(xué)方式。在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，教師必須持續(xù)地創(chuàng)新圖形與幾何教學(xué)方式，以便給學(xué)生新穎的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生積極地探索圖形與幾何世界的奧秘。GeoGebra 的操作界面集繪圖、運(yùn)算、表格、概率統(tǒng)計(jì)于一體，能夠滿足不同場景的圖形與幾何教學(xué)需求，有利于教師更新圖形與幾何的教學(xué)方式。如教師可以根據(jù)課程內(nèi)容指導(dǎo)學(xué)生自主作圖，或利用呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)3D 圖像組織學(xué)生動(dòng)手制作幾何圖形的模型，提高學(xué)生對(duì)課堂活動(dòng)的參與度，鍛煉學(xué)生的手動(dòng)實(shí)操技能，從而推動(dòng)圖形與幾何教學(xué)手段的推陳出新。

二、GeoGebra 在初中圖形與幾何教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）應(yīng)用GeoGebra 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

初中階段圖形與幾何課程包括點(diǎn)、線、面、角等幾個(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，以及圖形軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換內(nèi)容，這些知識(shí)點(diǎn)具有邏輯性和抽象性，對(duì)直觀教學(xué)有著較高的要求。GeoGebra 是直觀教學(xué)的利器，適用于在圖形與幾何教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境，教師應(yīng)該根據(jù)課程要點(diǎn)和學(xué)生的興趣點(diǎn)，加強(qiáng)使用繪圖工具欄，為學(xué)生呈現(xiàn)圖形和幾何的圖像，加深學(xué)生感知，從而借助直觀情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。具體教學(xué)策略如下：

例如，在學(xué)習(xí)動(dòng)點(diǎn)軌跡知識(shí)內(nèi)容的過程中，教師應(yīng)明確這是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)核心點(diǎn)在于對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧形的模型開展研究，借助GeoGebra 這一幾何軟件為學(xué)生創(chuàng)設(shè)形象化的情境模式，讓學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡做出快速判斷，確定運(yùn)動(dòng)過程中的不變量，以可視化的情境學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程進(jìn)行感知，并可以對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的演變規(guī)律形成認(rèn)知。圓弧形是初中常見的動(dòng)點(diǎn)軌跡類型，包括定邊對(duì)定角的動(dòng)點(diǎn)軌跡，以及動(dòng)點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離與定長相等，傳統(tǒng)層面黑板+粉筆的模式過于抽象，很難達(dá)到教學(xué)預(yù)期。而為學(xué)生創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)演示的情境，能以有趣、直觀的方式呈現(xiàn)難懂的幾何問題。如有一個(gè)梯子正以豎直的方式靠著墻壁下滑，梯子中間有個(gè)老鼠，一只貓盯著老鼠看，想要在與老鼠距離最短的剎那捕捉它，若以理想化的方式看待這一問題，設(shè)老鼠、貓、梯子、墻面均處于同一平面內(nèi)的點(diǎn)或線，求在滑動(dòng)過程中老鼠與貓距離的最小值？對(duì)于這類問題，通過軟件為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)畫面，并根據(jù)直角三角形斜邊上的中線與斜邊的一半相等，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短可以做出判斷。也可以在情境模式下，以“特殊值”法畫出梯子在不同狀態(tài)下E 這一中間點(diǎn)的位置，以猜想的方式了解到一條圓弧為點(diǎn)E 的軌跡。使用軟件創(chuàng)設(shè)情境，能使抽象的問題形象化，會(huì)幫助學(xué)生高效解決此問題。

（二）應(yīng)用GeoGebra 實(shí)施動(dòng)態(tài)演示，深化學(xué)生的概念理解

GeoGebra 軟件的動(dòng)態(tài)演示功能十分突出，教師在圖形與幾何的概念教學(xué)中，應(yīng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示教學(xué)，把作圖以及圖形的變化過程完整地呈現(xiàn)給學(xué)生，從而深化學(xué)生的概念理解。具體教學(xué)策略如下：

在實(shí)施動(dòng)態(tài)演示時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)圖形與幾何課程的概念要點(diǎn)，在繪圖區(qū)選擇合適的作圖工具，為學(xué)生演示作圖、圖形的生成及變化過程，同時(shí)采用問題導(dǎo)學(xué)的手段，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析圖形的特點(diǎn)，通過討論總結(jié)概念知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生深刻認(rèn)知和理解概念。如在關(guān)于軸對(duì)稱的教學(xué)中，教師可以先在繪圖區(qū)繪制一個(gè)不規(guī)則的四邊形，然后點(diǎn)擊工具欄中的軸對(duì)稱工具、先前創(chuàng)建的不規(guī)則四邊形以及對(duì)稱軸，即可生成一個(gè)軸對(duì)稱圖形。在動(dòng)態(tài)演示軸對(duì)稱圖形的生成過程后，教師設(shè)問：同學(xué)們，這個(gè)軸對(duì)稱圖形有什么特點(diǎn)？學(xué)生觀察、討論后反饋：如果沿著這個(gè)四邊形中間的直線對(duì)折，直線兩旁的圖形能夠相互重合。教師認(rèn)可后，組織學(xué)生合作歸納軸對(duì)稱圖形的概念。在學(xué)生初步掌握?qǐng)D形和對(duì)稱軸的概念后，教師繼續(xù)問：那么一個(gè)軸對(duì)稱圖形會(huì)有多少條對(duì)稱軸？學(xué)生給出不同的回答：一條或者多條。教師可以做一個(gè)全等三角形的軸對(duì)稱圖形，并演示選擇不同的對(duì)稱軸，對(duì)圖形進(jìn)行折疊，引導(dǎo)學(xué)生觀察折疊后的圖像是否完全重合。學(xué)生觀察后得出結(jié)論：軸對(duì)稱圖形一定有對(duì)稱軸，對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條。這樣通過實(shí)施動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生對(duì)課程概念知識(shí)就建立了透徹的理解［2］。

（三）應(yīng)用GeoGebra 組織實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)展學(xué)生的空間觀念

GeoGebra 是開展圖形與幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)的最佳工具，教師可以圍繞課程中的定理和判定內(nèi)容，通過提出實(shí)驗(yàn)問題、學(xué)生猜想、演示實(shí)驗(yàn)、檢驗(yàn)猜想等流程，幫助學(xué)生掌握?qǐng)D形與幾何的判定定理，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。具體教學(xué)策略如下：

在組織實(shí)驗(yàn)探究時(shí)，教師應(yīng)該基于圖形與幾何的判定定理課程要點(diǎn)精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題展開探討，提出合理的猜想或假設(shè)。教師再根據(jù)學(xué)生的假設(shè)進(jìn)行操作檢驗(yàn)，組織學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)過程和檢驗(yàn)結(jié)果，最終得出幾何圖形的判定定理。如在關(guān)于三角形全等判定的教學(xué)中，教師采用溫故知新的方式，先讓學(xué)生回顧全等三角形的定義和性質(zhì)，然后提出實(shí)驗(yàn)問題：同學(xué)們，必須滿足三條邊分別相等、三個(gè)角也分別相等，才能確保兩個(gè)三角形全等嗎？學(xué)生討論后反饋猜想：不是必需的，這些條件中要能滿足三條邊分別相等，或者是兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，就能判定是等邊三角形。接下來，教師可以分別繪制兩組邊邊邊相等、邊角邊相等的三角形，然后用平移視圖工具將兩組三角形分別重疊，指導(dǎo)學(xué)生觀察并描述重疊后的圖像。學(xué)生反饋：兩組三角形的角和邊完全重合。教師追問：那么大家先前提出的猜想是否成立？學(xué)生分析后確認(rèn)猜想成立。通過組織實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生經(jīng)歷了全等三角形判定定理的猜想、檢驗(yàn)和推理過程，空間觀念與合情推理能力都得到培養(yǎng)［3］。

（四）應(yīng)用GeoGebra 開展操作活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的實(shí)操能力

GeoGebra 的操作方法非常簡單，能夠指導(dǎo)學(xué)生以自主或者合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行繪圖。這種形式比尺規(guī)作圖的趣味性更強(qiáng)，同時(shí)能夠鍛煉學(xué)生對(duì)信息化軟件的實(shí)操能力。具體教學(xué)策略如下：

教師應(yīng)該根據(jù)教材中的圖形與幾何知識(shí)點(diǎn)以及繪圖需求，先帶領(lǐng)學(xué)生熟悉軟件的工具欄及每個(gè)工具的功能，然后給學(xué)生布置繪圖任務(wù)，提供計(jì)算機(jī)和GeoGebra 軟件，組織學(xué)生5～6 人一組，以合作的方式開展繪圖操作。在學(xué)生操作結(jié)束后，教師讓各組展示繪圖成果，并結(jié)合學(xué)生作的圖滲透課程的基本概念知識(shí)。如在關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)的教學(xué)中，在學(xué)生初步了解操作方法后，教師發(fā)布一項(xiàng)繪圖任務(wù)：請(qǐng)大家以正方形為例，合作繪制正方形繞任意角的頂點(diǎn)、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖像。各組學(xué)生可以先在繪圖區(qū)作出正方形，然后點(diǎn)擊任意角的頂點(diǎn)，新建角度滑動(dòng)條、輸入旋轉(zhuǎn)角度、選擇旋轉(zhuǎn)方向，最后用鼠標(biāo)拖動(dòng)角度滑動(dòng)條，展示圖形旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圖繪制成果。教師結(jié)合學(xué)生的作圖成果設(shè)問：同學(xué)們，從剛才的操作來看，哪兩個(gè)操作步驟最關(guān)鍵？學(xué)生交流后回答：選擇正方形任意角的頂點(diǎn)和輸入旋轉(zhuǎn)角度。教師：那么圖形的旋轉(zhuǎn)變換是由哪些因素決定的？學(xué)生：由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度所決定。這樣通過應(yīng)用軟件開展操作活動(dòng)，學(xué)生能夠深入認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象、體會(huì)圖形旋轉(zhuǎn)的過程，實(shí)操能力獲得有效地強(qiáng)化［4］。

（五）應(yīng)用GeoGebra 設(shè)計(jì)隨堂練習(xí)，鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)效果

GeoGebra 能夠具象化地展示幾何圖形的練習(xí)題，教師可以應(yīng)用其中的設(shè)計(jì)觀察、證明、判斷等形式的隨堂練習(xí)考查學(xué)生對(duì)課程知識(shí)技能的掌握和運(yùn)用情況，從而鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。具體教學(xué)策略如下：

在設(shè)計(jì)隨堂練習(xí)時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)圖形與幾何課程的檢測需求繪制和出示圖像，提出對(duì)應(yīng)的檢測問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合創(chuàng)建的圖像開展觀察、推理、論證等練習(xí)活動(dòng)，或者用教材中的概念知識(shí)來描述圖像，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程知識(shí)技能的活學(xué)活用。如在關(guān)于圖形的相似的教學(xué)中，學(xué)生掌握相似形的概念后，教師就可以繪制幾組形狀相同、比例為2：1的幾何圖形，同時(shí)引出檢測問題：同學(xué)們，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這幾組圖形，它們是相似形嗎？為什么？學(xué)生觀察、分析后回答：是相似形，因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?。隨后，教師使用放大、平移和旋轉(zhuǎn)工具，把每組幾何圖形中較小的那個(gè)放大兩倍，進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)操作后，使每組中兩個(gè)圖形相互重合，用于驗(yàn)證學(xué)生的答案是正確的，并鼓勵(lì)學(xué)生列舉在生活中見過的相似形，嘗試把相似形的大致形狀畫出來。這樣通過應(yīng)用GeoGebra 設(shè)計(jì)隨堂練習(xí)，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖形與幾何基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)以致用［5］。

三、結(jié)語

綜上所述，在初中圖形與幾何教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra，不僅有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的課程探索積極性，也能加速學(xué)生理解圖形與幾何的概念知識(shí)。教師應(yīng)該全面地分析圖形與幾何教學(xué)內(nèi)容及學(xué)情，挖掘其功能優(yōu)勢，通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、實(shí)施動(dòng)態(tài)演示、組織實(shí)驗(yàn)探究、開展操作活動(dòng)、設(shè)計(jì)隨堂練習(xí)等增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)形結(jié)合意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和手動(dòng)實(shí)操能力，從而通過對(duì)GeoGebra 的科學(xué)應(yīng)用，為初中圖形與幾何教學(xué)改革提質(zhì)增效。