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    淺析“理論力學(xué)”中的牽連速度與牽連加速度

    2023-02-17 11:41:56王沿朝謝惠祥郭劍峰杜海霞
    教育教學(xué)論壇 2023年4期
    關(guān)鍵詞:理論力學(xué)參考系動(dòng)點(diǎn)

    王沿朝,謝惠祥,郭劍峰,杜海霞

    (火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部,陜西 西安 710025)

    “理論力學(xué)”是大學(xué)工科專業(yè)非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程,其架起了大學(xué)基礎(chǔ)課與專業(yè)課之間的橋梁[1-3]。“理論力學(xué)”主要研究的是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律,其內(nèi)容包含靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)三個(gè)部分[4-5]。點(diǎn)的加速度合成定理是運(yùn)動(dòng)學(xué)篇章中的重點(diǎn)及難點(diǎn)內(nèi)容之一,也是后續(xù)動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。然而,在教學(xué)過(guò)程中,學(xué)員普遍反映該部分內(nèi)容不易理解,尤其是對(duì)于牽連運(yùn)動(dòng)包含轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度定理,需要很長(zhǎng)時(shí)間才能真正領(lǐng)悟其中的奧義。究其原因,主要是因?yàn)閷W(xué)員對(duì)牽連速度和牽連加速度的定義性質(zhì)理解不透徹及教材中所給出的牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度之間的理論關(guān)系不清晰所致[6-8]。鑒于此,本文將從牽連速度與牽連加速度的基本定義出發(fā),并以具體案例為牽引,著重闡述牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度之間的本質(zhì)差異,并進(jìn)一步建立牽連速度與牽連加速度間的統(tǒng)一關(guān)系。通過(guò)本文的研究,以期能在課堂教學(xué)中更好地引導(dǎo)學(xué)員理解和掌握點(diǎn)的加速度合成定理的內(nèi)容,為學(xué)員學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),并在此過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)員的力學(xué)思維與科學(xué)探索精神。

    一、牽連速度與牽連加速度的定義性質(zhì)

    在研究點(diǎn)的加速度合成定理時(shí),一般將動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分解為其相對(duì)于動(dòng)參考系(固定在相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)的參考體上的參考系)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)及隨著動(dòng)參考系的牽連運(yùn)動(dòng)[9-10]。在研究點(diǎn)的加速度合成定理時(shí),所涉及的基本概念較多,其中主要包括動(dòng)點(diǎn)、定參考系、動(dòng)參考系、相對(duì)運(yùn)動(dòng)、絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)、相對(duì)速度、絕對(duì)速度、牽連速度、相對(duì)加速度、絕對(duì)加速度和牽連加速度等。其中,相對(duì)運(yùn)動(dòng)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所研究的是動(dòng)點(diǎn),相關(guān)的物理量物理意義明確,研究起來(lái)相對(duì)較為簡(jiǎn)單。而牽連運(yùn)動(dòng)的研究對(duì)象是剛體,對(duì)于牽連速度和牽連加速度的求解還需要引入牽連點(diǎn)的概念,因此就使得相關(guān)問(wèn)題的研究變得復(fù)雜起來(lái)。下面,本節(jié)將著重對(duì)其中的牽連速度和牽連加速度進(jìn)行闡述和剖析,以期引導(dǎo)學(xué)員厘清牽連速度與牽連加速度的本質(zhì)差異。

    在教材中,將動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)(即牽連點(diǎn))的速度和加速度分別定義為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度[4]。由于動(dòng)點(diǎn)的牽連速度與牽連加速度都是相對(duì)于定參考系而言的,因此,對(duì)于這二者的定義,筆者及所在教學(xué)組在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)員都會(huì)誤認(rèn)為牽連速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)即可得到牽連加速度,并因此對(duì)教材中的推導(dǎo)過(guò)程產(chǎn)生了一系列的疑問(wèn)與困惑。下面我們以具體案例為出發(fā)點(diǎn),來(lái)探究牽連速度與牽連加速度的本質(zhì)關(guān)系。

    如圖1(a)所示,在直桿AB上有一動(dòng)點(diǎn)沿桿運(yùn)動(dòng),桿同時(shí)繞著A軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。其中動(dòng)參考系與桿AB固連。假設(shè)在初始時(shí)刻t0,動(dòng)點(diǎn)位于桿上的M處,其牽連速度為,相對(duì)速度為。在經(jīng)過(guò)一個(gè)很短的時(shí)間間隔Δt之后,直桿AB繞著A軸轉(zhuǎn)動(dòng)到新的位置AB′,此時(shí),動(dòng)點(diǎn)沿著直桿運(yùn)動(dòng)到M′位置處,這時(shí),動(dòng)點(diǎn)的牽連速度為,相對(duì)速度為。因此,根據(jù)教材中的定義,牽連速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得[4]:

    圖1 運(yùn)動(dòng)分析示例圖

    對(duì)于上式,需要提醒學(xué)員注意的是,在初始時(shí)刻t0和末時(shí)刻t0+Δt,動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)并不是同一個(gè)點(diǎn)。也就是說(shuō),由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的存在,在t0時(shí)刻和t0+Δt時(shí)刻,牽連點(diǎn)已經(jīng)發(fā)生了改變,在t0時(shí)刻的牽連點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt之后運(yùn)動(dòng)到了M1處,見(jiàn)圖1(b)所示,而實(shí)際上,在t0+Δt時(shí)刻,新的牽連點(diǎn)位于M′位置處,見(jiàn)圖1(a)所示。因此,牽連速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表示的是兩個(gè)不同的牽連點(diǎn)的速度相對(duì)于時(shí)間的變化率。

    若動(dòng)點(diǎn)與桿AB之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng),則動(dòng)點(diǎn)將由M運(yùn)動(dòng)至M1處,見(jiàn)圖1(b),此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連速度應(yīng)為。因此,根據(jù)定義,動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度可表示為:

    上式的物理意義即為某瞬時(shí)該牽連點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率,其所研究的對(duì)象即為同一牽連點(diǎn)。因此,由上文的分析可知,和所表示的物理意義并不相同。其中,表達(dá)式中隱含了由于牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)改變而引起的牽連速度的變化,該點(diǎn)是學(xué)員最容易忽視并引起混淆的地方,教員在授課過(guò)程中應(yīng)當(dāng)著重予以說(shuō)明。實(shí)際上,對(duì)式(1)進(jìn)一步分解可得:

    通過(guò)引導(dǎo)學(xué)員觀察上式并與式(2)進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),式(3)中等式右邊第二項(xiàng)即為牽連加速度的表達(dá)式,而第一項(xiàng)則反映了牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)發(fā)生改變而導(dǎo)致的牽連速度的變化情況。

    二、牽連速度與牽連加速度關(guān)系的統(tǒng)一推導(dǎo)

    由前面的分析可以知道,動(dòng)點(diǎn)的牽連速度與牽連加速度之間的關(guān)系較為復(fù)雜,因此,本節(jié)將從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本知識(shí)點(diǎn)出發(fā),來(lái)推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)的牽連速度與牽連加速度之間的統(tǒng)一關(guān)系。

    由“理論力學(xué)”運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知,當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)包含轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的牽連速度可表示為:

    因此,式(1)也同樣可以表示為:

    將式(6)代入式(5)進(jìn)一步整理可得:

    基于牽連加速度的定義和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí),可將動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度表示為:

    通過(guò)前述推導(dǎo),式(9)即給出了牽連速度與牽連加速度之間的關(guān)系,且該式對(duì)牽連運(yùn)動(dòng)為任意形式的運(yùn)動(dòng)均適用。由式(9)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí),式中動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的大小為0,表明此時(shí)牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度是相等的。而當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)包含轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度不再相等,其中,反應(yīng)為科氏加速度的一部分[12-13]。

    此外,通過(guò)進(jìn)一步對(duì)比式(9)和式(3)還可以得到如下表達(dá)式:

    式(10)即表明牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)改變而引起的牽連速度的變化等于動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與相對(duì)速度的叉乘。對(duì)于式(10),我們同樣可以通過(guò)以下過(guò)程予以證明。

    因此有:

    結(jié)語(yǔ)

    點(diǎn)的加速度合成定理是“理論力學(xué)”運(yùn)動(dòng)學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容之一,然而,鑒于其中涉及基本概念多,公式推導(dǎo)復(fù)雜,且低年級(jí)學(xué)員對(duì)剛體復(fù)雜空間運(yùn)動(dòng)的理解和想象能力較差等因素的制約,使得學(xué)員在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)容易產(chǎn)生理解上的偏差,并對(duì)這部分內(nèi)容的掌握不夠牢固。因此,本文從動(dòng)點(diǎn)的牽連速度和牽連加速度的定義性質(zhì)出發(fā),并以實(shí)際案例為牽引,著重分析了牽連速度的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度的概念性質(zhì)之間的差異。在此基礎(chǔ)上,從運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本知識(shí)出發(fā),進(jìn)一步推導(dǎo)了牽連速度與牽連加速度之間的統(tǒng)一關(guān)系,明確了牽連點(diǎn)隨動(dòng)點(diǎn)發(fā)生改變而導(dǎo)致的牽連速度的變化對(duì)牽連速度導(dǎo)數(shù)的影響。筆者及所在教學(xué)組將本文研究?jī)?nèi)容應(yīng)用于課堂教學(xué)實(shí)踐后,在“理論力學(xué)”課程中點(diǎn)的加速度合成定理內(nèi)容的教學(xué)效果有明顯提升。學(xué)員普遍反映更容易理解和掌握該節(jié)的知識(shí)要點(diǎn),尤其是對(duì)其中牽連速度的導(dǎo)數(shù)和牽連加速度的內(nèi)在含義更加明晰。此外,本文的研究也可讓學(xué)員意識(shí)到對(duì)力學(xué)重要概念的理解和探索要從源頭出發(fā),有助于培養(yǎng)學(xué)員縝密的邏輯思維能力與創(chuàng)新思維能力。

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