從畫(huà)數(shù)學(xué)到思維化
——以發(fā)展低年段學(xué)生的“幾何直觀”為例

江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)分校 馮麗萍

一、現(xiàn)狀

1.教師缺乏“畫(huà)數(shù)學(xué)”的培養(yǎng)意識(shí)

“掌握測(cè)量、識(shí)圖和畫(huà)圖的技能”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。而掌握技能需要階段性和連續(xù)性地練習(xí)和鞏固，光憑課堂上的教學(xué)是不夠的。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)計(jì)了許多貼近生活的情景圖，教師可借助直觀的事物或操作幫助學(xué)生理解知識(shí)。對(duì)比“畫(huà)數(shù)學(xué)”的畫(huà)圖技能目標(biāo)，多數(shù)教師停留在正確畫(huà)出幾何圖形的標(biāo)準(zhǔn)，沒(méi)有充分挖掘“畫(huà)圖”背后的思維價(jià)值。如低年段教材中的示意圖，學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，從借助表象到形成抽象過(guò)程中，教材中也相繼呈現(xiàn)從可視化到思維化的解題要求，可教師往往以示范畫(huà)為主，并沒(méi)有讓每個(gè)學(xué)生嘗試并學(xué)會(huì)繪制，受課時(shí)因素與教學(xué)方法的限制，很難有效培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)示意圖的能力等。

2.學(xué)生缺乏“畫(huà)數(shù)學(xué)”的運(yùn)用意識(shí)

在小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于明確要求的“畫(huà)圖”掌握相對(duì)較好，可對(duì)于一些抽象知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)存在較大難度，導(dǎo)致理解知識(shí)點(diǎn)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的偏差。學(xué)生沒(méi)有“我要畫(huà)”的意識(shí)，因而教師常講常演，學(xué)生常練常錯(cuò)，已經(jīng)形成錯(cuò)誤的思維定式。采訪發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生不會(huì)用畫(huà)圖準(zhǔn)確表達(dá)題意，有的學(xué)生想不到用畫(huà)圖的方式去解決問(wèn)題，從而沒(méi)有路徑去有效地開(kāi)展思維活動(dòng)。

二、研究意義

（一）多維理解畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的意義

1.學(xué)科特點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)在幾何教學(xué)、數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算、問(wèn)題解決和認(rèn)識(shí)的深化方面要用到圖形。圖形的應(yīng)用，尤其是直接動(dòng)手畫(huà)圖有助于學(xué)生更好地理解題意，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系。圖形的使用十分利于學(xué)生元認(rèn)知能力的提升，從而更有效地解決問(wèn)題。而數(shù)學(xué)中的“畫(huà)圖”不只是指由抽象向具體的回歸，也與抽象分析密切相關(guān)，包括我們應(yīng)如何通過(guò)適當(dāng)?shù)某橄蠼?gòu)出一種新的圖形、一種與簡(jiǎn)單的直觀圖完全不同的抽象圖形。

2.課標(biāo)指向

課標(biāo)指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。所以，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形直觀地表征各種思想方法，經(jīng)歷從“畫(huà)數(shù)學(xué)”到“思想化”逐步抽象的過(guò)程，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，進(jìn)而在探索解決問(wèn)題的思路中，更好地掌握“數(shù)形結(jié)合”“假設(shè)”等數(shù)學(xué)思想。

（二）充分認(rèn)識(shí)畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)兒童幾何直觀發(fā)展的啟示

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，對(duì)標(biāo)的關(guān)鍵能力是直觀感知、空間觀念和幾何直觀，幾何直觀的表現(xiàn)水平有以下三點(diǎn)：水平一是能用圖形表示數(shù)或簡(jiǎn)單情境中的數(shù)量關(guān)系；水平二是能用圖形表達(dá)和分析稍復(fù)雜問(wèn)題情境中的數(shù)量關(guān)系；水平三是能用圖形表達(dá)和分析非常規(guī)情境中的數(shù)量關(guān)系。有學(xué)者指出：“任何表征都能夠表達(dá)部分但不是全部的信息，凸顯其中的一些方面而隱藏另一些，所以說(shuō)，單一的表征形式不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解。”所以，引導(dǎo)學(xué)生掌握“畫(huà)數(shù)學(xué)”的能力，可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、教學(xué)策略

（一）激發(fā)學(xué)生“畫(huà)數(shù)學(xué)”的內(nèi)需力

1.畫(huà)出“看不見(jiàn)”的數(shù)學(xué)信息，突破難點(diǎn)

小學(xué)低年段數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生常通過(guò)數(shù)一數(shù)、擺一擺、撥一撥的方式理解數(shù)量、數(shù)量間的關(guān)系和計(jì)算算理等，但遇到數(shù)量關(guān)系較為抽象的問(wèn)題，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)難度較大。如圖1（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第106頁(yè)思考題），從圖中可以看到“從前往后數(shù)，第5只是小鹿”；而“從后往前數(shù)，第8只是小鹿”中部分小動(dòng)物被大樹(shù)遮住了，無(wú)法通過(guò)數(shù)一數(shù)的方式知道“一共有多少只小動(dòng)物”，這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)畫(huà)圖表示題中的條件及問(wèn)題，如圖2，用小棒表示其他動(dòng)物，用圓圈表示小鹿，我們可以清楚地看到小鹿前面和后面的數(shù)量，突破題中部分條件“看不見(jiàn)”的難點(diǎn)。

圖1

圖2

2.畫(huà)出“易混淆”的數(shù)量關(guān)系，理清思路

低年段數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系涉及“一部分?jǐn)?shù)+另一部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”和“份數(shù)×每份數(shù)=總數(shù)”這兩個(gè)基本模型及其變式，學(xué)生比較容易混淆。如 “一共有21盆花，送給幼兒園一些后還剩7盆，送給幼兒園多少盆？”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第75頁(yè)第8題中的第2小題），有學(xué)生用除法“21÷7=3（盆）”來(lái)解決，原因是學(xué)生不能厘清“平均送給”和“送給一些”之間的區(qū)別，這時(shí)可以嘗試用畫(huà)圖來(lái)整理題意，如圖3，先用大括號(hào)表示一共有21盆花，再用虛線框表示送給幼兒園一些，用小棒表示“還剩7盆”，這樣就可以明顯地看出送走的盆數(shù)是總數(shù)的其中一部分，要用減法求送走的盆數(shù)，而不是把總數(shù)平均分，用除法求出平均分的結(jié)果，從而厘清“易混淆”的數(shù)量關(guān)系。

圖3

3.畫(huà)出“難理解”的思考過(guò)程，抓住關(guān)鍵

劉曉玫學(xué)者研究了我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀能力規(guī)律及水平劃分，其中，二至三年級(jí)適合較少概念并只與空間想象有關(guān)的問(wèn)題情境，屬于水平1——（完全）直觀想象階段。低年段學(xué)生對(duì)一些單一概念的疊加操作，如“鋸木頭”“間隔栽樹(shù)”“來(lái)回一趟”“對(duì)折2次”等理解不到位，往往把“對(duì)折2次”認(rèn)為是“平均分成2份”，這時(shí)教師不僅要通過(guò)實(shí)物演示幫助學(xué)生理解“把一根繩子對(duì)折1次就是把它平均分成2份，把一根繩子對(duì)折2次就是把它平均分成4份”，還需要引導(dǎo)學(xué)生在積累了操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上把對(duì)折的過(guò)程想出來(lái)，把對(duì)折的結(jié)果畫(huà)下來(lái)，如圖4所示，從而抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

圖4

（二）鍛煉學(xué)生“畫(huà)數(shù)學(xué)”的實(shí)踐力

1.豐富“畫(huà)”的經(jīng)驗(yàn)值

很多學(xué)生常用畫(huà)小棒的方式來(lái)表征簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，遇到較為抽象或者與生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生畫(huà)圖的水平還有待提高。教師要喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展實(shí)踐操作活動(dòng)豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)，積極滲透畫(huà)圖技巧。如 “路的兩邊一共插了16面彩旗，平均每邊插多少面彩旗”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第97頁(yè)第17題），學(xué)生對(duì)“路的兩邊”有一定的常識(shí)了解，但理解“16面彩旗”時(shí)想成“每邊都有16面”，用“16＋16=32（面）”來(lái)解決。教師需要引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖還原插旗的過(guò)程，從而更好地理解題意，幫助學(xué)生正確分析數(shù)量關(guān)系。

2.增強(qiáng)“畫(huà)”的理解力

低年段學(xué)生的看圖能力相比畫(huà)圖能力更強(qiáng)，在試卷評(píng)析時(shí)，看圖列式的得分率相比解決實(shí)際問(wèn)題高出許多。教師在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解和善用“大括號(hào)、實(shí)線框、虛線框、豎線、斜線、一一對(duì)應(yīng)符號(hào)、問(wèn)號(hào)”等有特定數(shù)學(xué)含義的構(gòu)圖要素來(lái)表達(dá)題中的有效條件和問(wèn)題，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，促進(jìn)學(xué)生的幾何直觀。如“先估一估是多少，再數(shù)出來(lái)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第83頁(yè)第4題），學(xué)生在數(shù)的時(shí)候需要通過(guò)“滿十個(gè)圈一圈”的方法讓人一眼看出物體的數(shù)量，如圖5，這就需要學(xué)生充分理解“10個(gè)一是1個(gè)十”，進(jìn)而掌握“圈十法”，并運(yùn)用到計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)中。

圖5

3.完善“畫(huà)”的整體性

畫(huà)圖過(guò)程中，教師還要指導(dǎo)學(xué)生完善“畫(huà)”的整體性，如準(zhǔn)確描述題中的有效條件及問(wèn)題，在圖上標(biāo)出數(shù)據(jù)和單位，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合共同表征問(wèn)題的習(xí)慣，還要關(guān)注隱蔽條件的表征，如“同樣多”“每條邊一樣長(zhǎng)”等。

3.提升學(xué)生“畫(huà)數(shù)學(xué)”的思維力

1.有序思考

“畫(huà)數(shù)學(xué)”其實(shí)就是把靜態(tài)的文字和動(dòng)態(tài)的數(shù)據(jù)變化用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程，它能反映學(xué)生的思維狀態(tài)和水平。低年段學(xué)生大都按“從所給條件想起”或者“從所提問(wèn)題想起”兩種有序的思考方式來(lái)解決問(wèn)題，無(wú)論是哪一種，都能建立各個(gè)數(shù)量之間的層級(jí)關(guān)系。如“把24本書(shū)平均分給3個(gè)小組，每個(gè)小組分得多少本？你還能算出平均每人分得多少本嗎”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)第4題），按題目要求先求“每組本數(shù)”，再求“每人本數(shù)”，通過(guò)畫(huà)圖可以幫助學(xué)生理清總數(shù)和份數(shù)分別是多少，如圖6所示。

圖6

2.構(gòu)建模型

“畫(huà)數(shù)學(xué)”的結(jié)果除了理解題意和理清關(guān)系，更有助于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。如“小英做了11朵花，小華比小英多做3朵，小華做了多少朵”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第8頁(yè)例4），根據(jù)題意用圓形表示花朵，先畫(huà)出小英的花朵數(shù)量，再通過(guò)一一對(duì)應(yīng)，把小英做的朵數(shù)加上小華比小英多做的3朵就能求出小華做的朵數(shù)，如圖7所示，從而得出該類問(wèn)題的一般模型：較少的量＋相比多出的部分=較多的量。

圖7

總之，“畫(huà)”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用技能之一，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“畫(huà)”數(shù)學(xué)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。