用好幾何模型提升數(shù)學(xué)能力

章蓓蓓，朱雅莉

(合肥市五十中學(xué)新校 望岳校區(qū)，合肥 230031)

解題是一項技術(shù)，解題教學(xué)是一門藝術(shù)，尤其是初中幾何教學(xué)。教師只是自己掌握知識點(diǎn)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要用最簡練的語言、最科學(xué)的途徑把解題思路教授給學(xué)生。初中幾何因?yàn)樗婕爸R點(diǎn)相對模塊化，所以大多數(shù)教師都愿意將幾何問題模型化。只要反復(fù)訓(xùn)練，即便是數(shù)學(xué)水平很一般的學(xué)生，都能在自己所理解的范圍內(nèi)解答一二。筆者及所在課題團(tuán)隊歷時一年觀摩了若干節(jié)關(guān)于模型教學(xué)的公開課，歸納整理后用于自己的教學(xué)實(shí)踐，并獲得一些反思[1]。

模型從哪里來？憑想象生編硬造？肯定不是。初中幾何最終被歸納出來的幾大模型，其實(shí)原型都在教材當(dāng)中。只是以某個題目為基礎(chǔ)，不斷改編和拓展，最終形成各種常見的模型。以一個模型為例，圍繞該模型論述一個幾何模型的提煉與教學(xué)應(yīng)用，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

一、從課本中提煉幾何模型

(一)抽取模型

如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF=45°。求證：EF=BE+DF。(上?？萍汲霭嫔纭冻踔袛?shù)學(xué)同步練習(xí)》八年級下冊第87頁第18題)

模型抽?。喝粽叫沃?，∠EAF是∠BAD的一半，則有EF=BE+DF。方法是將△ADF順時針旋轉(zhuǎn)90°，AD邊與AB邊重合，如圖2。此時可得∠BAH=∠DAF，所以∠EAH=45°=∠EAF，由此可證△EAH≌△EAF，問題得證。

以上這一套證法已相對固定，學(xué)生只要在正方形里看到有一個從頂點(diǎn)發(fā)出的角，度數(shù)是45°，那么必然有如上線段間的等量關(guān)系。這個模型稱為半角模型。在上述問題中，只要知道正方形ABCD的邊長，則應(yīng)用此模型的結(jié)論可迅速求出△CEF的周長。

(二)變式強(qiáng)化

接下來嘗試兩個方向上的條件弱化。

條件弱化的一個方向是半角不完全在原角的內(nèi)部。

類似于上一題的解題思路，這里可以將△BAE旋轉(zhuǎn)至AB邊與AD邊重合，具體過程不再贅述。

在這個變式中，教師可進(jìn)行第二次提煉，得到更一般的半角模型結(jié)論：在四邊形ABCD中，有兩鄰邊相等，且與這兩邊相關(guān)的一對對角互補(bǔ)，如果從兩等邊所夾角的頂點(diǎn)(例如A點(diǎn))出發(fā)的角占這個內(nèi)角的一半，那么這個半角的兩邊與四邊形另外兩邊(或兩邊延長線)交點(diǎn)之間所連的線段與某兩條線段之間存在和或差的關(guān)系。

條件弱化的另一個方向是將四邊形改為三角形。

如圖5，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D、E在斜邊AB上，且∠DCE=45°，猜想線段AD、DE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并證明。

該變式題的基本思路依然是將△BCE旋轉(zhuǎn)至△ACH，即CB邊與CA邊重合。只不過此時線段AD與AH并不在一條直線上，變成了AD、AH與DH形成了一個直角三角形，所探求的線段間數(shù)量關(guān)系也變成了AD2+BE2=DE2。

由此可以看到，題中雖然沒有四邊形的條件，但有共端點(diǎn)的等線段和共頂點(diǎn)的倍半角，基本思路并沒有變。

至此，半角模型經(jīng)歷了“抽取—論證—變式—完善”的過程，形成了比較成熟的模型結(jié)構(gòu)，也形成了相對穩(wěn)固的解題策略。

二、幾何模型教學(xué)注意點(diǎn)

(一)模型的提煉要自然合理

在上述半角模型的第一次提煉中引入得很快，但沒有講透為什么要這樣解題，還有沒有拓展其他解題方法，也沒有講清楚條件和結(jié)果之間的因果邏輯關(guān)系，學(xué)生處于知其然而不知其所以然的狀態(tài)。所以在第一次變式問題環(huán)節(jié)教學(xué)中，學(xué)生會因找不到正方形的條件而受阻。在二次提煉后，正方形已不是必要條件，但學(xué)生在兩次條件弱化的變式中還是會花費(fèi)較多時間研究而不能助于推導(dǎo)。教學(xué)中觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生喜歡套用半角模型條件，一旦條件不具備便會阻斷思路。學(xué)生在沒有對模型結(jié)構(gòu)了然于胸之前，只會硬套模型，存在慣性思維而缺少必要的過程推導(dǎo)。

所以幾何模型教學(xué)首先要遵循“模型提煉自然合理”的原則。教師因?yàn)榫哂胸S富的解題經(jīng)驗(yàn)，易將幾何模型高度提純，存在慣性思維而缺少必要的過程指導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生短時間內(nèi)難于理解接受。學(xué)生既沒有豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，又沒有極速的運(yùn)算能力支撐，對模型的結(jié)構(gòu)理解淺顯，往往只能生搬硬套。因此，教師在模型教學(xué)中要舍得投入時間讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)，碰到典型的幾何模型，鼓勵學(xué)生先去做、去討論多樣的解法，甚至可以讓學(xué)生在遇到解法單一的模型時反復(fù)碰壁。教師在第一次、第二次甚至更多次解題教學(xué)時不要急于過多總結(jié)，當(dāng)學(xué)生對某一類的題目有一定的積累和感悟時，再適時點(diǎn)出這類題目的共性條件和共性結(jié)論，給出最一般的解法，再對模型進(jìn)行定義，這種逐步提煉的方法才能更加有效。一方面，學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的逐步積累能夠讓其意識到這種結(jié)構(gòu)很常見，有時隱藏在復(fù)雜的背景中，此時學(xué)生已經(jīng)有了初步的模型意識。另一方面，學(xué)生經(jīng)過之前多次解題經(jīng)歷的感悟，也會認(rèn)為有必要將之提煉成一個條件與結(jié)論間相對穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，再配以相對成熟的解題策略[2]。

(二)模型的講解要結(jié)構(gòu)清晰

仍以半角模型教學(xué)為例，在前期的鋪墊工作后，某一幾何模型的教學(xué)就可以正式進(jìn)行。教師在作業(yè)講評或試卷講評時不可一帶而過，而是要像講授新課那樣具有儀式感地進(jìn)行一節(jié)完整的課堂教學(xué)。

在模型初步抽取后，一定要反復(fù)淬煉，利用變式弱化條件，變換圖形位置，讓學(xué)生真正理解半角模型的結(jié)構(gòu)特征。仍以前述問題為例，需要模型提煉后的第一次變式例題，在學(xué)生思而無果時，需要引導(dǎo)學(xué)生對比之前的問題，分析旋轉(zhuǎn)完成第一次全等、互補(bǔ)完成三點(diǎn)共線、半角完成第二次全等階段特點(diǎn)，在得出結(jié)論的過程中，分析什么條件還在，什么條件變化，變化的條件是否影響解題。通過對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者的解題過程幾乎完全一樣。究其原因是因?yàn)槿齻€基本條件沒有變。這時再引導(dǎo)學(xué)生反思，問題引入中哪些條件是可以弱化的，而變式題中哪些條件還可以繼續(xù)弱化。只有這樣不斷地追問，組成問題串，讓學(xué)生反復(fù)應(yīng)用、反復(fù)對比、反復(fù)歸納，才能加深對半角模型的理解，同時對解題方法能夠自然內(nèi)化。這時拋出第一類弱化條件的問題，學(xué)生會下意識地尋找三個關(guān)鍵條件，找到后對比解題策略，發(fā)現(xiàn)該問題中的半角不全在兩等邊組成的倍角的內(nèi)部。這時教師稍加引導(dǎo)，將△ABE逆時針旋轉(zhuǎn)，將AB邊貼合到AD邊上。最后拋出另一類弱化條件的問題，讓學(xué)生在對比條件后認(rèn)識到四邊形已不存在，此時AD與BE已不能連接形成一條線段，所以該題的結(jié)論不會再是“a+b=c”型的。那會是什么結(jié)論呢？有了前面的基礎(chǔ)，教師完全可以放手讓學(xué)生自己探究。學(xué)生即便是模仿剛才的解題過程，也不難探索出應(yīng)有的結(jié)論。經(jīng)過這兩個方向的條件弱化，學(xué)生對半角模型的本質(zhì)特征認(rèn)識得更清晰：等邊和半角。這兩個本質(zhì)條件決定了解題思路，其他條件只是影響結(jié)論中線段間的數(shù)量關(guān)系的具體形式。

(三)模型的遷移要螺旋漸進(jìn)

通過前面的討論可以看到，幾何模型教學(xué)有其必要性，它就像幾何定理一樣，只要對某幾個條件搭配相對穩(wěn)定的圖形結(jié)構(gòu)理解透徹，每次遇到時便不需要再從頭研究，省時省力。但把握不好度，便成了“套模型教學(xué)”，學(xué)生會死記硬背、生搬硬套。所以幾何模型教學(xué)結(jié)束后，教師不要一味地反復(fù)套用模型練習(xí)，而是要思考如何將模型鞏固遷移。

1.延長模型教學(xué)戰(zhàn)線，追求螺旋式上升

一個模型教學(xué)結(jié)束后只需適當(dāng)練一兩道題，不可過多過急，不要增加學(xué)生負(fù)擔(dān)。然后進(jìn)入正常的課程教學(xué)序列，進(jìn)行正常的學(xué)習(xí)與作業(yè)練習(xí)。一段時間后重溫，讓學(xué)生在潛意識里將該模型與另外遇見的模型作對比學(xué)習(xí)。同時在一段時間里經(jīng)過不同類型題目的沖刷，學(xué)生記憶可能模糊，這時再次講解可以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)記憶。只有經(jīng)過對記憶的反復(fù)提取，才會對這一模型印象深刻。

2.關(guān)注模型之間相互轉(zhuǎn)化，注重動態(tài)化理解

幾何模型不能相互獨(dú)立、靜態(tài)地去看待。例如：

如圖6，在Rt△ABC中，∠A=90°。點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)。點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC邊上的動點(diǎn)，且滿足∠EDF=90°。猜想BE、CF、EF之間滿足怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想。

再如圖7，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC和∠BCD的角平分線的交點(diǎn)E恰好在AB邊上。求證：DC=AD+BC。

這個問題顯然又是另一個常見模型——平分平行等腰模型。但也可以看作是上述的半角模型，因?yàn)橐鬃CEA=EB，且∠DEC是平角AEB的一半，因之也可以用旋轉(zhuǎn)的策略來解決。

3.設(shè)置問題條件靈活多樣，抓住本質(zhì)性特征

以2020年安徽省中考卷第23題的第(3)問為例。

三、模型教學(xué)提升數(shù)學(xué)能力

(一)通過模型的提煉培養(yǎng)抽象、歸納的能力

初中幾何常見的模型在課本中均有原題，只不過課本中的原題難度較小，也沒有太多的變式。教師在第一次教授與模型有關(guān)的原題時，不宜直接提煉出模型，而應(yīng)該帶著學(xué)生應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)知識來“就題解題”，并不需要太多的拓展和延伸。等到習(xí)題或考試中第二次出現(xiàn)與該模型有關(guān)的問題時，教師可使用“先行組織者”原理，讓學(xué)生回憶之前做過的哪些題與該題相似，當(dāng)時是怎么解決的。然后再審視現(xiàn)在問題所給出的條件，推出與之前所做之題有什么相似的結(jié)論。這時要引導(dǎo)學(xué)生不斷抽象，使幾個關(guān)鍵性的條件形成一個穩(wěn)固的結(jié)構(gòu)。再到第三次或第四次遇到這類問題時，則需要正式地推出該模型。所以，教師的教學(xué)目標(biāo)不僅僅是解題，而是有意識地引導(dǎo)學(xué)生自行歸納、建構(gòu)出完整的模型，包括模型的典型條件、典型結(jié)論、典型解題策略，以及解法中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想。

例如，本文開篇所列舉的課本中原題，學(xué)生第一次做印象并不太深，但第二次、第三次做過之后就能自發(fā)地進(jìn)行歸納。這時教師即可給出所有的變式，學(xué)生進(jìn)行深層的抽象和歸納，得出半角模型。它的典型條件是：具有公共端點(diǎn)的兩條等線段，以及從這個頂點(diǎn)出發(fā)的半角。它的典型結(jié)論是與半角的邊相關(guān)的三條線段間具有數(shù)量關(guān)系，它的典型解題策略是通過旋轉(zhuǎn)將剩余兩個角拼接到一起，它所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想是化歸思想。

(二)通過模型的強(qiáng)化培養(yǎng)類比、遷移的能力

在前述半角模型的變式中，要引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行比較：條件是強(qiáng)化了還是弱化了？結(jié)論是否發(fā)生改變？解題策略發(fā)生了怎樣的改變？要引導(dǎo)學(xué)生自主探索出問題的根本性條件，只要這種根本性條件不變，相應(yīng)的解題策略就不會改變。這便是通俗意義上所說的“舉一反三”，其實(shí)也就是類比和遷移的能力。教師在每一個模型的教學(xué)中都應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移的能力。這就要求在模型教學(xué)中，初步提煉出模型結(jié)構(gòu)后，教師不要越俎代庖、講解過多，而是要設(shè)計開放性的問題，采用反問或追問的形式，引導(dǎo)學(xué)生自行類比，主動遷移。

例如前述模型的第一次變式(如圖3)，教師可以問：正方形是必要條件嗎？正方形提供了哪些條件？如果不是正方形可不可以？請你把正方形改成一個合適的四邊形，對這個四邊形提出一些條件，使得結(jié)論仍然成立。到第二次變式(如圖4)，教師在給出圖形前可以提出問題：還有什么條件是多余的？如果按照目前的條件畫圖，可以畫出怎樣不同的圖形，請你畫畫看。再到圖5的問題，教師仍可以追問：一定需要四邊形才能使這種旋轉(zhuǎn)成立嗎？旋轉(zhuǎn)能夠產(chǎn)生的最關(guān)鍵條件是什么？因此條件還可以怎樣精減？請你提出一個問題。

通過連串的反問與追問，以及讓學(xué)生自己提問，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比和遷移，最終自我發(fā)現(xiàn)哪些條件才是半角模型的根本條件。

(三)通過模型的應(yīng)用培養(yǎng)綜合分析的能力

模型教學(xué)并不僅僅是教會學(xué)生解決單一的問題，而是培養(yǎng)學(xué)生抽取模型的能力和應(yīng)用模型的能力。而應(yīng)用模型就是指在不同背景的復(fù)雜圖形中，能夠快速識別哪些條件組成了某一種模型，又或者是哪些條件組成了某種模型的一部分。正如圖6與圖7所對應(yīng)的問題，均是多種模型復(fù)合的問題。學(xué)生如果對模型掌握熟練，便能迅速辨認(rèn)出條件中都有共端點(diǎn)的等線段，都有半角條件，這些都是半角模型的典型條件。當(dāng)然圖6中還涉及了線段垂直平分線的知識，圖7中還涉及了角平分線的知識，需要學(xué)生將模型與其他知識點(diǎn)綜合起來進(jìn)行分析。在模型的應(yīng)用中教師要有意識地將條件和結(jié)論互換，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維與發(fā)散思維，讓學(xué)生進(jìn)行更高層次的綜合分析。

幾何知識的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維具有重要作用，教師在教學(xué)過程中要盡力喚醒學(xué)生的內(nèi)生動力，激發(fā)學(xué)生主動思維、主動建構(gòu)、主動應(yīng)用[3]。幾何教學(xué)仍應(yīng)注重基礎(chǔ)知識與基本結(jié)論，因其更具有普遍性和生長性，是后繼學(xué)習(xí)的必要基石。