基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以指數(shù)函數(shù)概念為例

●高照穎 趙寶江

近幾年高考中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查層出不窮，以解決實(shí)際生活問(wèn)題為主，而高中教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模還停留在應(yīng)試教育階段，用“唯分論”去評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，能做對(duì)題才是重點(diǎn)，沒(méi)有意識(shí)到數(shù)學(xué)價(jià)值，那么如何設(shè)計(jì)有效地融入數(shù)學(xué)建模、真正用數(shù)學(xué)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值魅力的教學(xué)過(guò)程至關(guān)重要，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力，實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，更好地掌握理解新知，將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的眼睛。

一、基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)策略

1.實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，創(chuàng)設(shè)合理情境。問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的脈搏，好的問(wèn)題使得建模教學(xué)活動(dòng)更具活力，學(xué)生參與建模的積極性更強(qiáng)，以問(wèn)題為主線啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的直觀感知、思考分析、巧妙解決與感悟反思，層層遞進(jìn)“螺旋上升”式的建模思維培養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計(jì)以實(shí)際例子進(jìn)行引入，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題背景，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知的渴求，讓學(xué)生全身心地投入到數(shù)學(xué)建模應(yīng)用環(huán)境中，要求教師在情境設(shè)置中選取應(yīng)用性及趣味性強(qiáng)的建模問(wèn)題，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)建?？鞓?lè)與魅力。

2.滲透建模思想，呈現(xiàn)完整建模過(guò)程。建模教學(xué)中要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)是個(gè)比較難駕馭的課題，課堂處理方法相對(duì)靈活，因此教師在教學(xué)中要善于營(yíng)造數(shù)學(xué)建模環(huán)境，呈現(xiàn)完整建模過(guò)程，通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際現(xiàn)象所作的一個(gè)近似刻畫(huà)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模過(guò)程大致有以下幾個(gè)流程：提出問(wèn)題—思考問(wèn)題—闡明符號(hào)—假設(shè)模型—建立模型—求解模型—驗(yàn)證與改進(jìn)等,教師在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，滲透建模思想，呈現(xiàn)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程[2]。

3.創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)流程，深化建模意識(shí)。教學(xué)設(shè)計(jì)分為六步走：創(chuàng)、析、建、練、用、悟。“創(chuàng)”是針對(duì)給出的實(shí)際問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境，初步感知，激發(fā)學(xué)生的求知欲；“析”是分析問(wèn)題，分析實(shí)際問(wèn)題中數(shù)據(jù)之間的邏輯關(guān)系，嘗試運(yùn)用圖像、表格等表示出來(lái)利于分析理解；“建”是建立模型，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題符號(hào)化、精細(xì)化并求解模型；“練”是練習(xí)鞏固，通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題，真正理解并熟練應(yīng)用模型；“用”是學(xué)以致用，能夠運(yùn)用已學(xué)模型解決其他情境中的問(wèn)題，舉一反三，熟練應(yīng)用；“悟”是感悟理解，是基于建模素養(yǎng)下的課堂教學(xué)收獲與反思，感悟數(shù)學(xué)建模的思想方法解決實(shí)際問(wèn)題，深化建模意識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活。

二、基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)案例

選自人教A版新教材，以指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例，根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)五步走，滲透培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

《指數(shù)函數(shù)概念》（一）

步驟一：“創(chuàng)”創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

教師：通過(guò)問(wèn)題敘述，引出本節(jié)課所學(xué)新知情境問(wèn)題1：同學(xué)們，你們領(lǐng)略過(guò)祖國(guó)的哪些大好河山？是北方的萬(wàn)里長(zhǎng)城？還是南方的西湖美景？隨著人民日益增長(zhǎng)的美好生活使得旅游成了人們娛樂(lè)放松的方式之一。那么老師要考考大家，現(xiàn)在有A景區(qū)和B景區(qū)，在2011年起A地區(qū)針對(duì)人群數(shù)提高門(mén)票，而B(niǎo)地區(qū)免費(fèi)觀光游玩。如表1所示，2011年—2015年，不同年份人數(shù)增加情況。

表1 不同年份與A、B景區(qū)旅游人次統(tǒng)計(jì)表

比較A地區(qū)和B地區(qū)人次的變化，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？

情境問(wèn)題2：同學(xué)們，有一種放射性元素叫碳14，生物體死亡后其含量會(huì)按比率衰減（稱(chēng)為衰減率），大概每過(guò)5730年就衰減為原來(lái)含量的1/2。如若按照上述規(guī)律，試問(wèn)其剩余量與死亡年數(shù)的關(guān)系是什么？

學(xué)生：分析給出的兩個(gè)實(shí)例，小組討論，初步感知

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)旅游人數(shù)變化規(guī)律和生物體碳14變化規(guī)律這兩個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生在實(shí)際生活中自主發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生真正用數(shù)學(xué)的意念，初步感知建模實(shí)際問(wèn)題。

步驟二：“析”分析問(wèn)題

教師：提示學(xué)生對(duì)于情境問(wèn)題1，可采用畫(huà)出圖像，觀察會(huì)出現(xiàn)什么規(guī)律？情境1中根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，用matlab軟件分別畫(huà)出A地區(qū)和B地區(qū)旅游人數(shù)變化示意圖（圖略）。

學(xué)生：通過(guò)觀察圖像，可以看出：A地區(qū)人次變化近似直線上升，B地區(qū)人次是非線性變化，年增加量越來(lái)越大。

教師：該怎么用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)B地區(qū)人數(shù)變化規(guī)律呢？我們可以知道用減法可得B地區(qū)人數(shù)的年增加量，用除法可得B地區(qū)人數(shù)的年增長(zhǎng)率。

學(xué)生：嘗試用2002年人數(shù)除以2001年的人數(shù)，再用2003年人數(shù)除以2002，以此類(lèi)推可以得到

驚喜發(fā)現(xiàn)B地區(qū)景區(qū)人數(shù)增長(zhǎng)率近似為一個(gè)常數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：教師啟發(fā)誘導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生投入B地區(qū)人次變化的分析思考，讓學(xué)生在做中學(xué)，自主探究，建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)應(yīng)用已學(xué)的知識(shí)建構(gòu)未知的知識(shí)領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

步驟三：“建”建立模型與求解

教師：增長(zhǎng)率為常數(shù)（大于0且不等于1）的變化方式，叫做指數(shù)增長(zhǎng)．B景區(qū)人數(shù)變化情況如何用數(shù)學(xué)式子表示呢？嘗試列出表格尋找數(shù)據(jù)間的邏輯關(guān)系。

學(xué)生：通過(guò)小組探究列出表格

表2 年份與旅游人數(shù)關(guān)系

設(shè)X年后的游客人數(shù)為2001年的y倍，那么可得數(shù)學(xué)表達(dá)式

y=1.11x（x∈（0，+∞））①，其中指數(shù)X是自變量

教師：學(xué)生們通過(guò)一步步探究得出B地區(qū)人數(shù)變化的函數(shù)模型，這就是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，學(xué)生從對(duì)模型的感性認(rèn)識(shí)上升至理性思考，進(jìn)一步打消學(xué)生對(duì)分析實(shí)際問(wèn)題的畏難心理，對(duì)數(shù)學(xué)建模有初次的感知和信心。

步驟四：“練”練習(xí)鞏固

教師：針對(duì)情境問(wèn)題1，同學(xué)們已經(jīng)嘗試通過(guò)函數(shù)模型①近似表示出B地區(qū)旅游人次變化情況，已經(jīng)初步感知如何運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上，下面就請(qǐng)同學(xué)們自主探究完成情境問(wèn)題2，可采用假設(shè)法并列出表格，觀察數(shù)據(jù)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？嘗試并建立相應(yīng)函數(shù)模型近似表示之間的關(guān)系。

同學(xué)：通過(guò)列表找出邏輯關(guān)系：

表3 死亡時(shí)間與體內(nèi)碳14含量的關(guān)系

符號(hào)：x表示死亡年數(shù)，y表示剩余碳14，可得y=（1-p)x，則

教師總結(jié)：更一般的，用字母來(lái)替換兩個(gè)函數(shù)式的底數(shù)，那么函數(shù)可表示為y=ax，其中a＞0，且a≠1，x為自變量。通過(guò)同學(xué)們經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程找到問(wèn)題1和問(wèn)題2的函數(shù)模型，引出本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的什么是指數(shù)函數(shù)：一般地，形如函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)叫指數(shù)函數(shù)，其中是X自變量，定義域?yàn)镽。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生完成問(wèn)題1的數(shù)學(xué)建模，學(xué)生對(duì)指數(shù)模型還停留在初步感知，學(xué)生通過(guò)自主練習(xí)完成問(wèn)題2的建?；顒?dòng)，建構(gòu)知識(shí)，使指數(shù)函數(shù)概念這節(jié)課更具有啟發(fā)性和成長(zhǎng)性，學(xué)生在練習(xí)中提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，感受成功的喜悅。

步驟五：“用”學(xué)以致用

作業(yè)布置：必做題：115頁(yè)練習(xí)3，求1個(gè)月（30天）后，海藻是原來(lái)的多少倍？

選做題：115頁(yè)閱讀與思考，通過(guò)上網(wǎng)查詢，能否給出一個(gè)倍增的指數(shù)函數(shù)模型實(shí)例。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)作業(yè)布置，必做題是對(duì)指數(shù)函數(shù)模型的鞏固應(yīng)用，選做題通過(guò)查閱資料放射性物質(zhì)的衰減，尋找倍增的指數(shù)函數(shù)模型實(shí)例，是對(duì)指數(shù)函數(shù)模型的變式應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和喜愛(ài)，從而循序漸進(jìn)的提升建模素養(yǎng)。

步驟六：“悟”感悟理解

教師引導(dǎo)下學(xué)生總結(jié)：本節(jié)課通過(guò)對(duì)景區(qū)B和放射性元素碳14兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解決，經(jīng)歷從實(shí)際函數(shù)問(wèn)題出發(fā)轉(zhuǎn)化化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題，其次通過(guò)建模輔助工具信息技術(shù)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)圖像，再次通過(guò)演繹推理、數(shù)據(jù)計(jì)算擬合出符合實(shí)際情境的函數(shù)模型并對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行求解，最后回歸于實(shí)際的指數(shù)函數(shù)問(wèn)題中。教學(xué)中由“特殊—一般”得出指數(shù)函數(shù)概念，其中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問(wèn)題的廣泛應(yīng)用。

設(shè)計(jì)意圖：“悟”感悟理解，這一環(huán)節(jié)相當(dāng)于對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的堂課小結(jié)與回顧，不僅僅要求學(xué)生通過(guò)本堂課回顧學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，還歸納總結(jié)在指數(shù)函數(shù)教學(xué)過(guò)程中滲透建模思想，體現(xiàn)完整建模過(guò)程，真正會(huì)用數(shù)學(xué)建模思想，從而在函數(shù)課堂及今后學(xué)習(xí)中潛移默化地提升學(xué)生建模素養(yǎng)，深化學(xué)生用數(shù)學(xué)建模方法解實(shí)際生活問(wèn)題的意識(shí)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

相比于傳統(tǒng)指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)，本教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)流程并融入數(shù)學(xué)建模思想，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)兩個(gè)實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，找到用于近似模擬B地區(qū)人數(shù)變化規(guī)律和死亡生物體內(nèi)碳14變化規(guī)律的指數(shù)函數(shù)模型，通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，拋棄了教師的滿堂灌與專(zhuān)制，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)多角度、多趣味、多形式，實(shí)現(xiàn)了有效的指數(shù)函數(shù)模型教學(xué)。通過(guò)教學(xué)五步走“創(chuàng)—析—建—練—用—悟”，進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建模環(huán)境，加強(qiáng)師生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。不僅在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，而且在課后鼓勵(lì)學(xué)生們利用課余時(shí)間進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)完成選做題，進(jìn)一步理解指數(shù)函數(shù)模型且激發(fā)學(xué)生建模信心，在日常教學(xué)過(guò)程中潛移默化提升學(xué)生建模素養(yǎng)。