基于時(shí)域有限差分法的光子晶體波導(dǎo)微腔耦合研究

郝玉良

（閩南理工學(xué)院 光電與機(jī)電工程學(xué)院，福建 泉州 362700）

光子晶體（photonic crystal）是指介電常數(shù)（折射率）在空間呈周期性排列構(gòu)成的晶體結(jié)構(gòu)［1］. 光子晶體的主要特征在于具有帶隙結(jié)構(gòu)，在帶隙中的光波是無(wú)法傳播的，主要是結(jié)構(gòu)中沒(méi)有任何態(tài)存在［2］. 然而，光子晶體中的光波可以在波導(dǎo)與諧振腔中傳播，尤其是在波導(dǎo)彎曲處能夠?qū)崿F(xiàn)零損耗傳播［3］，基于此在制作光子器件方面得到了廣泛的應(yīng)用，如光開(kāi)關(guān)［4］、濾波器［5］、波分復(fù)用器［6］等方面. 因此，當(dāng)下深入研究光子晶體中波導(dǎo)與微腔的耦合是十分必要的. 錢(qián)琛江等人通過(guò)調(diào)整幾何參數(shù)控制微腔與波導(dǎo)之間的耦合，構(gòu)建了二維平板光電子晶體的開(kāi)關(guān)［7］. 吳立恒等人通過(guò)改變微諧振器中心缺陷柱半徑大小，增加了諧振器與波導(dǎo)之間耦合工作特性［8］. 高永鋒等人通過(guò)改變輸出波導(dǎo)和耦合區(qū)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了高透射率的分束器［9］.

筆者基于時(shí)域有限差分法分析光子晶體中線缺陷和點(diǎn)缺陷的性質(zhì)，在改變耦合腔中點(diǎn)缺陷介質(zhì)柱參數(shù)的條件下，通過(guò)光子晶體耦合的透過(guò)譜，基于二維光子晶體結(jié)構(gòu)的多端濾波器，分析了微腔壁厚、微腔大小、微腔位置、微腔形狀和微腔折射率對(duì)耦合效率的影響，并進(jìn)行了光子晶體濾波器的設(shè)計(jì)與模擬.

1 時(shí)域有限差分法概述

時(shí)域有限差分法是由有限差分法發(fā)展出來(lái)的直接由麥克斯韋旋度方程組對(duì)電磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的數(shù)值分析方法［10］. 麥克斯韋旋度方程為：

其中，E為電場(chǎng)強(qiáng)度，V/m；D為電通量密度，C/m2；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，A/m；B為磁通量密度，Wb/m2；J為電流密度，A/m2；Jm為磁流密度，V/m2. 各向同性線性介質(zhì)中本構(gòu)關(guān)系為［11］：

其中，∈表示介質(zhì)介電系數(shù)，F(xiàn)/m；μ表示磁導(dǎo)系數(shù)，H/m；σ為電導(dǎo)率，S/m；σm為磁導(dǎo)率，Ω/m.σ和σm分別表示介質(zhì)的電損耗和磁損耗. 真空中σ=0，σm=0，以及∈=∈0=8.85×1012F/m，μ=μ0=4π×10-7H/m. 在直角坐標(biāo)系中，式（1）和式（2）分別寫(xiě)為式（3）和式（4）.

令f（x，y，z，t）代表E或H在直角坐標(biāo)系中的某一分量，在時(shí)間和空間域中的離散表示為：

2 結(jié)果分析

2.1 光子晶體介質(zhì)柱半徑與晶格常數(shù)的確定

筆者研究的是TM波［12］，光子晶體介質(zhì)為Si（相對(duì)介電常數(shù)為11.56），方形格，柱子在空氣中，半徑為0.2a，格子的周期是13×16，晶格常數(shù)為a=516.02 nm. 通過(guò)計(jì)算光子晶體介質(zhì)柱的半徑分別為1.3a、1.7a、2.0a、2.3a、2.5a、2.7a、3.0a時(shí)光子晶體相對(duì)帶寬. 利用每個(gè)透過(guò)譜的帶隙寬度除以中心頻率得到相對(duì)帶寬，比較這7組數(shù)據(jù)的相對(duì)帶寬，最終得到最大的相對(duì)帶寬，此時(shí)的半徑r即光子晶體的最佳半徑，結(jié)果如圖1所示. 由圖1可知，當(dāng)r=2.3a，其帶隙最寬，故r=2.3a是最佳半徑.

圖1 相對(duì)帶寬與介質(zhì)柱半徑r關(guān)系圖

2.2 二維光子晶體波導(dǎo)與微腔耦合的關(guān)系

2.2.1 微腔最佳壁厚對(duì)耦合效率的影響

為了分析微腔與波導(dǎo)之間的距離（即改變微腔的壁厚）對(duì)耦合效率的影響，比較了微腔壁厚為2層和3層時(shí)的探測(cè)器在x方向和y方向的響應(yīng)透過(guò)譜及其耦合效率（格子的周期是21×27，晶格常數(shù)仍為a=516.02 nm）. 其中實(shí)線表示x方向探測(cè)器，虛線表示y方向探測(cè)器. 耦合效率是指將y方向探測(cè)器的最大透過(guò)率除以x方向探測(cè)器在該點(diǎn)的透過(guò)率. 由圖2可知，波導(dǎo)與微腔在波長(zhǎng)為1 362 nm處發(fā)生耦合，且耦合效率為9.1%. 當(dāng)壁厚增加至3層是耦合效率非常低. 所以，微腔壁厚為2層時(shí)耦合效率最大，故微腔最佳壁厚為2層.

圖2 微腔壁厚對(duì)透過(guò)譜圖的影響

2.2.2 微腔大小對(duì)耦合效率的影響

改變微腔大小，分別算出微腔兩邊寬度和高度增加0.10a、0.18a、0.30a、0.4a、0.5a時(shí)的耦合效率，見(jiàn)圖3.

圖3 微腔大小與耦合效率的關(guān)系圖

圖3 中增加寬度表示微腔左右兩側(cè)向外擴(kuò)張的距離. 隨著微腔寬度的增加，耦合效率先是增加，當(dāng)微腔左右寬度增加0.4a時(shí)，此時(shí)的耦合效率最高，當(dāng)增加寬度超過(guò)0.4a時(shí)，耦合效率又開(kāi)始減小. 故可得：微腔寬度增加0.4a時(shí)，此時(shí)耦合效率最大為50.8%. 隨著微腔高度的增加，耦合效率出現(xiàn)兩處峰值，高度從0到0.1a時(shí)，耦合效率逐漸增大，在0.1a處耦合效率達(dá)到最大，當(dāng)超過(guò)0.1a時(shí)，耦合效率又開(kāi)始減小. 從0.2a到0.3a之間，耦合效率又開(kāi)始增大，在0.3a處耦合效率達(dá)到最大值，當(dāng)超過(guò)0.3a后耦合效率開(kāi)始逐漸減小. 但0.3a處的耦合效率比0.1處耦合效率更大. 故可得：當(dāng)微腔高度增加0.3a時(shí)耦合效率最高為48.8%.

2.2.3 微腔位置對(duì)耦合效率的影響

將微腔分別左移1a、2a，再分別右移1a、2a，比較微腔不同位置處的耦合效率. 由圖4可知，當(dāng)改變微腔位置，使其偏離x方向波導(dǎo)，則耦合效率逐漸降低. 故改變微腔位置不利于提高耦合效率.

圖4 微腔位置與耦合效率關(guān)系圖

2.2.4 微腔形狀對(duì)耦合效率的影響

改變微腔形狀，將微腔形狀改為正方形，分別計(jì)算邊長(zhǎng)為0.05a、0.06a、0.08a 的耦合效率；將微腔形狀改為橢圓形，改變橢圓微腔的半長(zhǎng)軸與半短軸長(zhǎng)度（長(zhǎng)軸是短軸的2倍），長(zhǎng)軸分別為0.05a、0.08a、0.1a、0.12a、0.14a、0.16a、0.18a；將微腔形狀改為圓形，分別計(jì)算微腔半徑為0.05a、0.08a、0.1a、0.12a、0.15a時(shí)的耦合效率，結(jié)果見(jiàn)圖5.

圖5 微腔形狀與耦合效率的關(guān)系圖

由圖5可看出，當(dāng)微腔改為正方形時(shí)耦合效率很低，并隨著正方形微腔邊長(zhǎng)的增加耦合效率逐漸減小. 故當(dāng)微腔為正方形時(shí)不利于提高耦合效率. 隨著橢圓微腔半長(zhǎng)軸的增加，耦合效率趨勢(shì)成鋸齒形變化，但隨著半長(zhǎng)軸的增加，每個(gè)峰值也在相應(yīng)的減小. 在橢圓微腔半長(zhǎng)軸為0.05a時(shí)耦合效率最大為28.5%. 隨著圓形微腔半徑的增加，耦合效率逐漸增加，在0.08a處出現(xiàn)最大值，當(dāng)半徑超過(guò)0.08a時(shí)耦合效率逐漸減小. 故在圓形微腔半徑為0.08a時(shí)耦合效率最大為46.7%.

2.2.5 微腔折射率對(duì)耦合效率的影響

分別計(jì)算半徑為2.3a的微腔折射率為1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7時(shí)的耦合效率，結(jié)果見(jiàn)圖6. 由圖6可看出，隨著折射率的增加，耦合效率成鋸齒形變化，出現(xiàn)多個(gè)峰值，但隨著折射率的增加，耦合效率的峰值逐漸減小. 在折射率為1.2時(shí)耦合效率峰值最大. 故可得，微腔折射率為1.2時(shí)的耦合效率最大，為30.7%.

圖6 微腔折射率與耦合效率的關(guān)系圖

2.3 光子晶體濾波器的設(shè)計(jì)與模擬

可見(jiàn)光子晶體點(diǎn)缺陷形成的微腔存在共振頻率，在共振頻率處，微腔和附近的波導(dǎo)耦合最強(qiáng)，波導(dǎo)中頻率在微腔共振頻率附近的光波能量將被加載到微腔里面. 由于微腔可以實(shí)現(xiàn)單波長(zhǎng)的選擇能力，不同微腔可以通過(guò)耦合從而加載不同波長(zhǎng)的信號(hào). 故以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了4個(gè)端口的光子晶體濾波器，相應(yīng)的共振頻率為2.015×1014、2.166×1014、2.045×1014、2.180×1014Hz. 其結(jié)構(gòu)圖與透過(guò)譜圖見(jiàn)圖7.

圖7 四端口光子晶體濾波器結(jié)構(gòu)圖與透過(guò)譜圖

圖7 （a）中0、1、2、3、4分別對(duì)應(yīng)直波導(dǎo)、圓形微腔、橢圓微腔、增加微腔高度、1.2折射率微腔處的端口. 由圖7（b）可看出波導(dǎo)與微腔分別在頻率為2.015×1014、2.166×1014、2.045×1014、2.180×1014Hz處發(fā)生耦合，實(shí)現(xiàn)了單波長(zhǎng)的選擇，不同微腔通過(guò)耦合從而加載不同波長(zhǎng)的信號(hào). 當(dāng)光波頻率滿足上述共振頻率中任意一個(gè)時(shí)，光波將從相應(yīng)端口通過(guò)，當(dāng)光波頻率不在上述共振頻率之列，則將從端口0通過(guò). 當(dāng)然，光源不同，射出的光的強(qiáng)度也不相同，這與光源的強(qiáng)度及其頻率有關(guān)，但無(wú)論其通過(guò)的光是強(qiáng)是弱，都實(shí)現(xiàn)了濾波的功能.

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要使用時(shí)域有限差分方法分析了介質(zhì)柱半徑與帶隙的關(guān)系，r=2.3a是光子晶體最佳半徑，此時(shí)晶格常數(shù)a=516.02 nm. 微腔最佳壁厚為2層，當(dāng)壁厚增加至3層是耦合效率非常低；當(dāng)微腔左右寬度增加0.4a時(shí)，此時(shí)的耦合效率最高，為50.8%，且可得透射光波長(zhǎng)隨微腔寬度的增加而增加. 當(dāng)微腔高度增加0.3a時(shí)耦合效率最高，為48.8%，透射光波長(zhǎng)隨微腔高度的增加而增加. 當(dāng)改變微腔位置，使其錯(cuò)開(kāi)x方向波導(dǎo)，則耦合效率逐漸降低. 當(dāng)微腔改為正方形時(shí)耦合效率很低，透射光波長(zhǎng)隨正方形邊長(zhǎng)增加而增加. 當(dāng)微腔折射率為1.2時(shí)的耦合效率最大，耦合效率為30.7%，透射光的波長(zhǎng)隨著微腔折射率的增加而增加.