考題突破探究，方法總結(jié)強(qiáng)化

［摘? 要］ 圓錐曲線最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的典型題，探索問(wèn)題解法，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行拓展強(qiáng)化十分必要. 文章以2022年高考浙江卷的“圓錐曲線最值壓軸題”為例，開展過(guò)程探究，總結(jié)破題方法，結(jié)合實(shí)例解析強(qiáng)化，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出幾點(diǎn)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；最值；函數(shù)；不等式；幾何

圓錐曲線最值問(wèn)題在高考中十分常見(jiàn)，題設(shè)較為靈活，通常以曲線與直線相交為背景構(gòu)建最值問(wèn)題，如參數(shù)最值、線段長(zhǎng)最值和面積最值等. 具體求解時(shí)需要結(jié)合題設(shè)條件探尋關(guān)系，合理構(gòu)建思路，簡(jiǎn)捷運(yùn)算推導(dǎo)最值.

考題再現(xiàn)，考點(diǎn)定位

1. 試題呈現(xiàn)

（2022年高考浙江卷第21題）如圖1，已知橢圓+y2=1. 設(shè)A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q0

，在線段AB上，直線PA，PB分別交直線y=-x+3于C，D兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

（2）求

CD

的最小值.

2. 考點(diǎn)定位

本題為圓錐曲線綜合題，以橢圓與直線相交為背景，題設(shè)兩問(wèn)分別求距離和線段最值，屬于圓錐曲線最值問(wèn)題. 問(wèn)題突破需要厘清兩點(diǎn)，一是橢圓與直線的位置關(guān)系，二是圖像中的動(dòng)靜要素，包括點(diǎn)、直線和曲線.

點(diǎn)與線段的關(guān)系：點(diǎn)Q在y軸上，為線段OP的中點(diǎn).

直線與直線的位置關(guān)系：①直線PA與PB有公共點(diǎn)P；②直線PA，PB分別交直線y=-x+3于C，D兩點(diǎn).

直線與橢圓的位置關(guān)系：①動(dòng)直線AB與橢圓相交于點(diǎn)A和B（異于點(diǎn)P）；②直線PA和PB與橢圓分別相交于點(diǎn)P，A和點(diǎn)P，B；③定直線y=-x+3與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，為相離關(guān)系.

思路突破，分步解析

題設(shè)兩問(wèn)均為最值問(wèn)題，分別求P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值和

CD

的最小值，實(shí)則均求線段最值，求解時(shí)可采用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合題設(shè)條件構(gòu)建求解思路. 整體分兩步構(gòu)建：第一步，探尋題設(shè)條件，將線段最值轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的最值；第二步，結(jié)合參數(shù)取值確定線段最值. 下面采用分步探究的方式具體分析.

1. 突破第（1）問(wèn)

第一步，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)建距離.

已知橢圓+y2=1，可設(shè)M（2cosθ，sinθ）是橢圓上的任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)P（0，1），由兩點(diǎn)之間的距離公式可得

PM

2=12cos2θ+（1-sinθ）2=13-11sin2θ-2sinθ.

第二步，整合分析，確定最值.

對(duì)上述式子進(jìn)行變形，可得

PM

2= -11sinθ

+2+≤，分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=-時(shí)取等號(hào)，所以

PM

的最大值為.

2. 突破第（2）問(wèn)

第一步，設(shè)定直線，聯(lián)立方程.

直線AB與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A（x，y）和B（x，y），直線AB的方程為y=kx+，與橢圓方程+y2=1聯(lián)立并消除y，整理得k2

+x2+kx-=0，可得x+x= -，xx=-.

第二步，探究點(diǎn)坐標(biāo)，求解線段長(zhǎng).

結(jié)合點(diǎn)P和A的坐標(biāo)，可知直線PA的方程為y=x+1，因?yàn)橹本€PA與直線y=-x+3相交于點(diǎn)C，所以x==，同理可得x==，則

CD

=

x

-x=

-.

第三步，整合式子，探求最值.

整理上式，可得

CD

=2·

=·= ·≥，分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)等號(hào)成立，所以CD的最小值為.

方法總結(jié)，探究拓展

1. 方法總結(jié)

上述為典型的圓錐曲線最值問(wèn)題的解答思路，主要探求線段最值，其中第（1）問(wèn)利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)并構(gòu)建線段函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值；第（2）問(wèn)則采用圓錐曲線常見(jiàn)的破解思路，聯(lián)立方程推導(dǎo)參數(shù)關(guān)系，將線段長(zhǎng)表示為關(guān)于斜率參數(shù)的式子，后續(xù)使用柯西不等式求最值. 雖然兩問(wèn)求最值的方法有較大差異，但均為圓錐曲線求最值常用的代數(shù)法.

實(shí)際上，求解圓錐曲線最值問(wèn)題，常用的方法有兩種，一是幾何法，二是代數(shù)法. 兩種方法也是基于圓錐曲線“數(shù)”“形”屬性所構(gòu)建的. 幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)，以及平面幾何中的定理、性質(zhì)進(jìn)行思路構(gòu)建的方法，側(cè)重圓錐曲線的特性分析. 而代數(shù)法，則側(cè)重將最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為某個(gè)（某些）變量的函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及基本不等式法等求解，代數(shù)法的“數(shù)”屬性鮮明.

2. 拓展探究

圓錐曲線最值問(wèn)題的破解方法主要有上述兩種，但是求解時(shí)需要根據(jù)具體情形選用具體方法.

示例1 幾何法求面積最值.

已知橢圓C：+=1（a>b>0）過(guò)點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)N為橢圓上的任意一點(diǎn)，求△AMN面積的最大值.

分析：本題第（2）問(wèn)探究三角形面積的最大值，需要先構(gòu)建三角形面積模型再求最值. 對(duì)于△AMN，其中點(diǎn)A和M為定點(diǎn)，點(diǎn)N為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則可以AM為底、N為頂點(diǎn)構(gòu)建三角形面積模型，后續(xù)只需求點(diǎn)N到直線AM的最大距離即可.

過(guò)程與解：（1）由題意可知直線AM的方程為y-3=（x-2），即x-2y=-4，當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，所以a=4. 點(diǎn)M為橢圓上的一點(diǎn)，代入橢圓方程解得b2=12. 所以橢圓C的方程為+=1.

（2）可視△AMN以AM為底，N為頂點(diǎn)，則其面積可表示為S=AM·d（d表示點(diǎn)N到直線AM的距離）. 設(shè)與直線AM平行的直線l的方程為x-2y=m，如圖2所示，當(dāng)直線l與橢圓相切，且與橢圓的切點(diǎn)為N時(shí)，直線l到直線AM的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)△AMN的面積可取得最大值.

x-2y=m，整理得16y2+12my+3m2-48=0，所以Δ=144m2-4×16（3m2-48）=0，即m2=64，解得m=±8，即與直線AM最遠(yuǎn)的直線的方程為x-2y=8. 點(diǎn)N到直線AM的距離為兩平行線之間的距離，即d==，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得AM=3，所以△AMN面積的最大值為S=AM·d=×3×=18.

評(píng)析：上述第（2）問(wèn)求解△AMN面積最大值采用的是幾何法. 首先構(gòu)建三角形面積模型，將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，即求橢圓上動(dòng)點(diǎn)N到定直線AM的最大距離；其次通過(guò)平行線間距離的分析，確定直線與橢圓相切的切點(diǎn)為所求的動(dòng)點(diǎn)N，從而推導(dǎo)出△AMN面積的最大值.

示例2 函數(shù)法求面積最值.

（2021年高考全國(guó)乙卷理數(shù)第21題）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

（1）求p的值；

（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

分析：本題第（2）問(wèn)為三角形面積最值問(wèn)題，同樣需要構(gòu)建三角形面積模型，但題目中三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置均不確定，因此需要設(shè)定坐標(biāo)，將三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定最值.

過(guò)程與解：（1）由題意可知M（0，-4），F(xiàn)

0，

，☉M的半徑r=1，所以MF-r=4，即+4-1=4，解得p=2.

（2）可視△PAB以AB為底，P為頂點(diǎn)，則其面積可表示為S=AB·d（d表示點(diǎn)P到直線AB的距離）.

由第（1）問(wèn)可知拋物線的方程為x2=4y，由題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)A（x，y）和B（x，y），直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立x2=4y，

y=kx+b，整理得x2-4kx-4b=0，則Δ=16k2+16b>0，由韋達(dá)定理可得x+x=4k，xx=-4b，則

AB

=

x

-x=·=4·.

因?yàn)閤2=4y，即y=，所以y′=，所以拋物線在點(diǎn)A處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)A處的切線方程為y=（x-x），即y=x-，同理可得拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為y=x-.

聯(lián)立

y=x-

，

y=x-

，則

x==2k，

y==-b，即點(diǎn)P（2k，-b）. 由于點(diǎn)P在☉M上，則4k2+（4-b）2=1①，且-1≤2k≤1，-1≤4-b≤1，所以-≤k≤，3≤b≤5，滿足要求.

點(diǎn)P到直線AB的距離d=，故△PAB的面積S=AB·d=4. 由①式可得k2=，令t=k2+b，則t=，且3≤b≤5. 因?yàn)閠=在［3，5］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)b=5時(shí)，t取得最大值5，此時(shí)k=0. 所以△PAB面積的最大值為20.

評(píng)析：本題第（2）問(wèn)探究三角形面積最大值，采用的是函數(shù)法，即將三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，然后通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)確定面積最大值. 在函數(shù)分析時(shí)結(jié)合了局部構(gòu)造、導(dǎo)數(shù)分析等方法，充分簡(jiǎn)化了解析過(guò)程.

解后反思，教學(xué)建議

通過(guò)上述對(duì)圓錐曲線最值問(wèn)題的探究，總結(jié)該類問(wèn)題的破解策略，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行拓展強(qiáng)化，其探究思路對(duì)于教學(xué)備考有著參考價(jià)值.

1. 考點(diǎn)定位分析，分步解析突破

圓錐曲線最值問(wèn)題為高考典型題，上述按照“考點(diǎn)定位→分步解析”的策略進(jìn)行了示例突破，“考點(diǎn)定位”中梳理?xiàng)l件，明晰結(jié)構(gòu)；“分步解析”中系統(tǒng)呈現(xiàn)了問(wèn)題的解析過(guò)程、破解思路. 這種探究方式可全方位地解析考題，明確類型問(wèn)題的破解策略. 教學(xué)中建議結(jié)合實(shí)例進(jìn)行過(guò)程探究，讓學(xué)生關(guān)注考題結(jié)構(gòu)、考查重點(diǎn)，通過(guò)過(guò)程分析掌握問(wèn)題的破題思路. 教學(xué)時(shí)要注意設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，讓學(xué)生充分思考，體驗(yàn)過(guò)程.

2. 關(guān)注破題思路，總結(jié)解題策略

“反思總結(jié)”是解題教學(xué)探究的關(guān)鍵一環(huán)，在該環(huán)節(jié)中可以幫助學(xué)生從“解題層面”上升到“思路方法應(yīng)用層面”，從而形成類型問(wèn)題的破解策略. 教學(xué)中教師可從以下三方面進(jìn)行總結(jié)引導(dǎo)：一是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注考題的結(jié)構(gòu)特征，深刻理解問(wèn)題本質(zhì)，包括考題的特殊條件、位置關(guān)系等；二是引導(dǎo)學(xué)生反思解題的思路構(gòu)建，思考類型問(wèn)題的其他破解方法；三是引導(dǎo)學(xué)生反思方法的本質(zhì)內(nèi)容，如上述代數(shù)法的代數(shù)視角和幾何法的幾何視角.

3. 拓展探究強(qiáng)化，提升綜合能力

“拓展強(qiáng)化”有助于學(xué)生深刻理解問(wèn)題及方法，從而完成解題探究的內(nèi)化吸收，該環(huán)節(jié)中需要注意兩點(diǎn)：一是注意方法的解題應(yīng)用，讓學(xué)生感受解題過(guò)程；二是注意全面探索方法，即使用具體實(shí)例來(lái)探索解法. 實(shí)際教學(xué)中可以采用“變式探究”和“拓展探究”兩種方式，對(duì)類型問(wèn)題進(jìn)行合理變式，結(jié)合對(duì)應(yīng)方法進(jìn)行破解，同時(shí)開展方法拓展，深入解讀方法，將解法拓展到其他問(wèn)題的解答中. 教學(xué)時(shí)可合理滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的綜合能力.

寫在最后

在圓錐曲線最值問(wèn)題的教學(xué)探究中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生參與過(guò)程，充分思考，形成自我的解題認(rèn)識(shí). 教師要做好教學(xué)引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從“解題過(guò)程”中提取“方法策略”，從“方法思路”中感悟“數(shù)學(xué)思想”，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

作者簡(jiǎn)介：肖輝（1981—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.