合理整合 凸顯本質(zhì)

［摘? 要］ 作業(yè)除了鞏固知識(shí)與技能外，其在發(fā)展學(xué)生思維能力、提高解決問(wèn)題能力等方面也發(fā)揮著不可估量的作用. 要發(fā)揮作業(yè)的價(jià)值，教師在作業(yè)講評(píng)時(shí)就要改變傳統(tǒng)的“就題論題”，善于挖掘題目背后的本質(zhì)，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué). 對(duì)于作業(yè)講評(píng)，文章把作業(yè)中的錯(cuò)題設(shè)計(jì)成了微專(zhuān)題，以此提高作業(yè)講評(píng)效率，提高作業(yè)講評(píng)質(zhì)量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

［關(guān)鍵詞］ 作業(yè)講評(píng)；微專(zhuān)題；講評(píng)效率

數(shù)學(xué)作業(yè)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它可以讓教師更好地了解教學(xué)，讓學(xué)生更好地了解自己. 那么談及數(shù)學(xué)作業(yè)就必須要談作業(yè)講評(píng)，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中是不可或缺的一部分，有效的講評(píng)可以幫助學(xué)生理清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，讓學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué). 在傳統(tǒng)教學(xué)中，大多數(shù)教師習(xí)慣就題評(píng)講，將已有經(jīng)驗(yàn)通過(guò)講授的方式傳給學(xué)生，學(xué)生根據(jù)教師給出的答案對(duì)照訂正，這樣雖然能夠讓學(xué)生改正錯(cuò)誤，讓學(xué)生積累一些經(jīng)驗(yàn)和方法，但是并沒(méi)有從根本上解決問(wèn)題，沒(méi)有幫助學(xué)生找到真正的錯(cuò)因，也沒(méi)有形成解題策略，學(xué)生解題時(shí)依然會(huì)“一錯(cuò)再錯(cuò)”. 為了改變這一現(xiàn)象，筆者在教學(xué)中做了許多嘗試，發(fā)現(xiàn)若將問(wèn)題歸類(lèi)，以基本方法為主線(xiàn)，以微專(zhuān)題的形式進(jìn)行作業(yè)講評(píng)，不僅可以幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，而且可以讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)方法，有助于提高作業(yè)講評(píng)效率. 本文以“構(gòu)造原函數(shù)”的作業(yè)講評(píng)為例，談幾點(diǎn)作業(yè)講評(píng)實(shí)踐與思考.

作業(yè)整理

構(gòu)造原函數(shù)在解題中，如在解決函數(shù)、不等式、數(shù)列等問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用. 在實(shí)際教學(xué)中，教師可將分散于各章節(jié)中的作業(yè)進(jìn)行整理，為微專(zhuān)題的作業(yè)講評(píng)提供素材. 以微專(zhuān)題的方式呈現(xiàn)作業(yè)講評(píng)，既有利于學(xué)生對(duì)構(gòu)造原函數(shù)這一數(shù)學(xué)方法的理解，又有利于學(xué)生個(gè)體認(rèn)知體系的建構(gòu)和完善.

例1 已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=2，f′（x）<1，則不等式f（x2）

例2 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0］時(shí)，恒有xf′（x）

的實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.

例3 已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且=ax（a>0且a≠1），f′（x）g（x）

例4 定義在0，上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且恒有f（x）

與f的大小.

例5 設(shè)定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足0

以上問(wèn)題屬于同一類(lèi)型，解題時(shí)都需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù). 對(duì)于如何構(gòu)造原函數(shù)一直是教學(xué)的重難點(diǎn)，教學(xué)中對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題教師重點(diǎn)講解過(guò)，但學(xué)生每次作業(yè)時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，可見(jiàn)學(xué)習(xí)中存在“會(huì)而不懂”的情況. 基于此，教學(xué)中應(yīng)著眼于整體，整合相似或相關(guān)的問(wèn)題，以微專(zhuān)題的方式進(jìn)行系統(tǒng)講解，達(dá)到“會(huì)一題通一類(lèi)”的效果，切實(shí)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

微專(zhuān)題講評(píng)

若作業(yè)講評(píng)停留于簡(jiǎn)單訂正或直接抄寫(xiě)答案的階段，學(xué)生不可能在講評(píng)中得到更多收獲. 在講評(píng)前，教師應(yīng)該對(duì)解題過(guò)程中存在的問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析，與學(xué)生一起找到錯(cuò)因，從而通過(guò)有針對(duì)性的指導(dǎo)讓學(xué)生“學(xué)懂學(xué)會(huì)”. 根據(jù)學(xué)生的作業(yè)反饋，學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)主要存在以下幾個(gè)問(wèn)題：①審題不清；②目標(biāo)不明；③構(gòu)造無(wú)形；④求解錯(cuò)誤. 針對(duì)以上問(wèn)題，筆者沒(méi)有“就題論題”進(jìn)行講解，而是以微專(zhuān)題的方式進(jìn)行如下講評(píng).

1. 執(zhí)果索因，學(xué)會(huì)審題

師：此類(lèi)題目條件千變?nèi)f化，乍看上去條件和結(jié)論似乎毫無(wú)關(guān)聯(lián)，因此要從問(wèn)題出發(fā)，認(rèn)真觀察，仔細(xì)分析，一定能夠找到解決問(wèn)題的突破口. 結(jié)合以上問(wèn)題大家思考一下，此類(lèi)題目最終要解決的都是什么問(wèn)題呢？（生深思）

生1：大多是解不等式或比較大小等問(wèn)題.

師：很好，那么我們大多依賴(lài)函數(shù)的什么性質(zhì)來(lái)解決以上問(wèn)題呢？

生齊聲答：函數(shù)的單調(diào)性.

師：從已知出發(fā)，你能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性嗎？

生齊聲答：不能.

師：那么我們?cè)撊绾闻袛嗄兀?/p>

生2：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷.

師：非常好，觀察題目不難發(fā)現(xiàn)，它們都含有導(dǎo)函數(shù)，如f′（x）<1，xf′（x）

2. 合理轉(zhuǎn)化，確定目標(biāo)

師：找到核心條件后，如何利用它們來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？（生不語(yǔ)）

師：如何判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性呢？

生3：令f′（x）>0（f′（x）<0），求得的區(qū)間即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（遞減）區(qū)間.

師：說(shuō)得很好，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性. 判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)與何值作比較呢？

生齊聲答：0.

師：那么想使不等式的右邊為0，我們應(yīng)該如何操作呢？

生齊聲答：移項(xiàng).

師：很好，對(duì)于如上條件，我們移項(xiàng)后可得f′（x）-1<0，xf′（x）-f（-x）<0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0，等等. 在解題中，當(dāng)目標(biāo)不明確時(shí)，要根據(jù)已知條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化.

3. 追蹤溯源，構(gòu)造模型

師：移項(xiàng)后，左邊我們可以看作什么？

生4：可以看作某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

師：接下來(lái)我們要做什么呢？

生5：將這個(gè)導(dǎo)函數(shù)還原，得到它的原函數(shù).

師：非常好，這個(gè)還原的過(guò)程就是解題的重點(diǎn)，也是解題的難點(diǎn). 之前我們利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，都是由原函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，而此類(lèi)題目卻恰恰相反，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，有一定難度. 結(jié)合以上題目，該如何構(gòu)造原函數(shù)呢？

此環(huán)節(jié)筆者引導(dǎo)學(xué)生歸納如下常見(jiàn)的函數(shù)模型：

（1）構(gòu)造“+（-）”型函數(shù)

f′（x）±g′（x）>0，構(gòu)造F（x）=f（x）±g（x）. 如f′（x）-1>0，構(gòu)造F（x）=f（x）-x；如f′（x）+x>0，構(gòu)造F（x）=f（x）+x2.

（2）構(gòu)造“×”型函數(shù)

f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，構(gòu)造F（x）=f（x）g（x）. 如xf′（x）+f（x）>0，構(gòu)造F（x）=xf（x）；如cosx·f（x）+sinx·f′（x）>0，構(gòu)造F（x）=sinx·f（x）；如cosx·f′（x）-sinx·f（x）>0，構(gòu)造F（x）=cosx·f（x）.

（3）構(gòu)造“÷”型函數(shù)

>0，構(gòu)造F（x）=. 如xf′（x）-f（x）>0，構(gòu)造F（x）=；如f′（x）-f（x）>0，構(gòu)造F（x）=；如f（x）>f′（x）tanx（切化弦：cosxf（x）-sinxf′（x）>0），構(gòu)造F（x）=（注意x的范圍）.

（4）構(gòu)造“+-×÷”混合型函數(shù)

如f′（x）+f（x）>1，即exf（x）+f′（x）ex-ex>0，構(gòu)造F（x）=exf（x）-ex.

（5）構(gòu)造復(fù)合型函數(shù)

如f′（x）<2f（x），構(gòu)造F（x）=；f′（x）

解題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣從已知出發(fā)，根據(jù)已知探索結(jié)論，然此類(lèi)題目的解答思路正好相反，有一定難度. 為幫助學(xué)生突破這一難關(guān)，在講評(píng)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)和已有經(jīng)驗(yàn)總結(jié)歸納常見(jiàn)的函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí). 以上題目的條件雖然千變?nèi)f化，但是解題思路卻如出一轍. 講評(píng)時(shí)，教師不要急于講解，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)由哪些基本函數(shù)構(gòu)造而成，以此通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化、類(lèi)比聯(lián)想等基本思想方法構(gòu)造出原函數(shù)，順利求解問(wèn)題.

4. 抓住本質(zhì)，正確求解

經(jīng)歷以上過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解決此類(lèi)問(wèn)題的通法，即解不等式或比較代數(shù)式大小時(shí)，先是對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)模型構(gòu)造原函數(shù)，利用原函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式或比較代數(shù)式大小. 不過(guò)在構(gòu)造原函數(shù)時(shí)，由于函數(shù)定義域等方面會(huì)發(fā)生變化，所以在具體操作時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題，需要師生注意. 在以上練習(xí)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生逐一分析，尋找錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，正確求解.

教學(xué)思考

作業(yè)講評(píng)時(shí)，教師切勿“就題論題”，那樣不易于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué). 如在此類(lèi)題目的評(píng)講中，若教師“就題論題”，則很難讓學(xué)生領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的規(guī)律，也無(wú)法找到解題通法，而且“一題一法”式的教學(xué)會(huì)增加學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，容易讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒. 而以微專(zhuān)題的方式進(jìn)行作業(yè)講評(píng)，讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的方法，能夠提升學(xué)生的解題信心，克服學(xué)生的畏難情緒. 另外，通過(guò)有效總結(jié)和歸納，學(xué)生對(duì)構(gòu)造原函數(shù)有了更加深入的了解，通過(guò)合理構(gòu)造原函數(shù)快速解決問(wèn)題.

在傳統(tǒng)教學(xué)中，大多數(shù)教師僅將作業(yè)看作鞏固知識(shí)和技能的武器，忽視了其發(fā)展學(xué)生思維能力、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的價(jià)值. 數(shù)學(xué)作業(yè)在數(shù)學(xué)教學(xué)中是不可或缺的，只有當(dāng)教師對(duì)作業(yè)形成了正確的認(rèn)識(shí)，才能充分發(fā)揮其價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力的提升. 教師設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)應(yīng)該精挑細(xì)選，除了遵循適度適量的原則外，還應(yīng)關(guān)注作業(yè)的層次性、探究性，以此激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 另外，教師批改作業(yè)時(shí)要避免簡(jiǎn)單的“勾差”，應(yīng)對(duì)作業(yè)情況進(jìn)行分析和匯總，既要關(guān)注作業(yè)中存在的問(wèn)題，又要整合優(yōu)質(zhì)的解題方法，充分挖掘題目的本質(zhì)，以此優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在教學(xué)中，匯總作業(yè)中的錯(cuò)誤，以微專(zhuān)題的方式進(jìn)行講評(píng)，不僅可以幫助學(xué)生改正錯(cuò)誤，而且有助于知識(shí)系統(tǒng)化建構(gòu)和完善，讓學(xué)生獲得一般的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的方法，提升教學(xué)品質(zhì).

總之，作業(yè)講評(píng)不是簡(jiǎn)單的糾錯(cuò)，教師要重視對(duì)作業(yè)價(jià)值的挖掘，通過(guò)有效引導(dǎo)和啟發(fā)讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的方法，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.

作者簡(jiǎn)介：賈志錦（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.