廣義模糊函數(shù)空間的稠密性和閉包表示

楊寒彪，林文輝，文釗穎，金迎迎，楊 琳

(1 五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020；2 廣州番禺職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共課教學(xué)部，廣東 廣州 529000;3 江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 化學(xué)材料系，廣東 江門 529000)

令(P,≤)是一個(gè)偏序集，d是P上的一個(gè)度量。若(P,≤,d)由d導(dǎo)出的拓?fù)渑c(P,≤)的拓?fù)湟恢拢瑒t稱(P,≤,d)是一個(gè)偏序度量空間。

對于一個(gè)緊度量空間(X,d)，以及一個(gè)緊偏序度量空間(P,≤,d)，令C(X,P)是所有從X到P的連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的集合。本文認(rèn)為連續(xù)函數(shù)f∈C(X,P)是一種廣義的模糊函數(shù)。?f∈C(X,P)，令

↓f={(x,p)∈X×P:p≤f(x)}，

稱為f的超圖?！齠是X×P里的閉集。令Cld(X×P)是X×P所有帶有Hausdorff度量非空閉集構(gòu)成的一個(gè)族，則?A、B∈Cld(X×P)，

dH(A,B)=min{δ:A?Bd(B,δ),

B?Bd(A,δ)}。

其中d((x,p),(x′,p′))=max{d(x,p),d(x′,p′)。因此，(Cld(X×P),dH)是一個(gè)緊度量空間。?A?C(X,P)，

↓A={↓f:f∈A}

是(Cld(X×P),dH)的一個(gè)子空間,空間↓A可以被視為一個(gè)函數(shù)空間。更一般地，對于一個(gè)拓?fù)淇臻gX(不必是緊的或可度量的)和一個(gè)拓?fù)淦蚣疨，假定T是Cld(X×P)的一個(gè)拓?fù)湟约癆是從X到P所有映射(不需要一定是連續(xù)的)的集合的一個(gè)子集，其中?f∈A，↓f∈Cld(X×P)。因此，作為(Cld(X×P),T)的一個(gè)子空間，我們能得到一個(gè)函數(shù)空間↓AT,即本文中的廣義模糊函數(shù)空間。

文獻(xiàn)[1-18]都討論過空間↓AT。特別地，文獻(xiàn)[8]給出了帶有Fell拓?fù)涞乃羞B續(xù)函數(shù)↓CF(X,R)可度量化的充要條件，其中R是帶有通常拓?fù)浜托虻膶?shí)數(shù)集。此外，許多研究為了確定這些空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使用了無限維拓?fù)渥鳛楣ぞ?。例如，著名的Curtis-Schori-West超空間定理指出：↓USCdH(X,{0,1}){0}同胚于希爾伯特立方體Q=[-1,1]ω(記作↓USCdH(X,{0,1}){0}≈Q)當(dāng)且僅當(dāng)X是Peano連續(xù)統(tǒng)，其中{0,1}是帶有離散拓?fù)涞膬牲c(diǎn)集且0≤1，USC(X,{0,1})是所有X到{0,1}的上半連續(xù)函數(shù)集合，0是值域恒為0的函數(shù)[4,11]。Sakai等[10]證明了↓USCF(X,{0,1})≈Q當(dāng)且僅當(dāng)X是一個(gè)局部緊、局部連通以及沒有緊分量的一個(gè)可分可度量空間。文獻(xiàn)[19-27]給出了對所有可度量函數(shù)空間↓CF(X,I)，其中X是可度量的，I=[0,1]使用通常的拓?fù)浜托颉＞唧w結(jié)論是：對一個(gè)可度量空間X，帶有Fell拓?fù)涞暮瘮?shù)空間↓CF(X,I)可度量當(dāng)且僅當(dāng)X是一個(gè)局部緊可分可度量空間。此外，還有以下對同胚：

(↓USCF(X,I),↓CF(X,I))≈

其中:X0是X里所有離散點(diǎn)的集合;Σ={(xn∈Q):sup|xn|<1};c0={(xn∈Σ):limxn=0}。文獻(xiàn)[18,20,23-24]證明若X是一個(gè)k空間且↓C(X,I)是可度量的，則

↓CUB(Si)={↓f∈C(X×T):maxf(X)∈

Si{vi}}。

此外，所有↓CUB(Si)都是可縮空間。

顯然，⊥是(T,?)的最小元同時(shí)是(T,≤)的最大元，?t1、t2∈T有t1?t2當(dāng)且僅當(dāng)t2≤t1，令除⊥之外的其他端點(diǎn)為(T,≤)的最小元。

樹突(dendrite)是一個(gè)不包含簡單閉曲線的Peano連續(xù)統(tǒng)。不同于樹，樹突在每一個(gè)頂點(diǎn)上可以有可數(shù)條邊。文獻(xiàn)[17]證明了如下結(jié)果：令X是只含有限個(gè)孤立點(diǎn)的有限緊可數(shù)空間，Y是一個(gè)有T上端點(diǎn)v的樹突。對于偏序?，有如下對同胚：

(Q,c0),

本文中，廣義模糊函數(shù)空間↓C(X,(T,≤))和一般的模糊函數(shù)空間↓C(X,I)有很大區(qū)別。雖然值域都是緊的,但廣義模糊函數(shù)空間的值域?yàn)橛邢迾鋾r(shí)，其上賦予的是偏序；而I=[0,1]的自然序顯然是全序。這給拓?fù)湫再|(zhì)帶來很大變化，甚至有限樹的不同偏序方向≤和?都會(huì)對拓?fù)湫再|(zhì)帶來影響。例如，由文獻(xiàn)[24]知，實(shí)際上↓C(X,(T,≤))是不連通的,而↓C(X,(Y,?))≈c0是連通的。

令E是(T,≤)的邊，其中E的上頂點(diǎn)vE在(T,≤)中。令

本文中所有枝S均如上定義。因此,視有限樹(T,≤)為以上定義的枝，并且這些枝的交為空，其中一個(gè)包含最大元⊥的枝等距同構(gòu)于[0,1]，其他枝等距同構(gòu)于[0,1)。

2 定義和預(yù)備知識(shí)

本文中，X=[0,1]=I,T=(T,≤)是有限樹，頂點(diǎn)為k階意味著這個(gè)頂點(diǎn)與k個(gè)枝相交。每一個(gè)T中每一個(gè)非端點(diǎn)的頂點(diǎn)的階都大于等于3。把↓C(X,(T,≤))寫作↓C(X,T)。記|A|為集合A的基數(shù)，|AS|為其中枝的個(gè)數(shù)，由于本文討論的是有限樹，因此|AS|有限。

我們定義一些本文所需的概念。

定義1?A∈Cld(X×T)，定義一個(gè)集值函數(shù)A:X→Cld*(T)，

A(x)={t∈T:(x,t)∈A}∈Cld*(T),

其中Cld*(T)=Cld(T)∪{?}。?A?T，若?a∈A使得a等于A的上確界∨A，把a(bǔ)稱作A的最大元，并記作maxA。令a(x)是A(x)的最大元。當(dāng)A?X×T，則maxA=maxp(A)，其中p:X×T→T為投影函數(shù)。

定義2V(A)為A?T中所有的頂點(diǎn)，Sv為T內(nèi)所有以v為上頂點(diǎn)的枝構(gòu)成的族,Vv是Sv內(nèi)所有枝的下頂點(diǎn)構(gòu)成的集合。對T內(nèi)的頂點(diǎn)v，u∈Vv，令T[v,u]=[u,v]∪↓u。

對任意T上的枝Si，i≤|TS|，令Si的上頂點(diǎn)為vi，利用以上定義可以定義本文中非常重要的幾個(gè)閉集族。

定義3A={A∈Cld(X×T):?x∈X,A(x)≠?,A(x)存在唯一的最大元a(x)，當(dāng)a(x)不是頂點(diǎn)時(shí)，A(x)=↓a(x)；當(dāng)a(x)是頂點(diǎn)時(shí)，A(x)=↓a(x)或?qū)δ硞€(gè)u∈Va(x)，有A(x)=T[a(x),u]}。

由文獻(xiàn)[27]中的引理7，對任意連通緊集A?T，maxA存在。特別地，?f∈C(X,T)，maxf(X)存在。

實(shí)際上，由定理2的閉包表示，A(x)最大元a(x)存在性和maxA存在性不證自明。

注1在A的定義中，條件“對某個(gè)u∈Va(x),A(x)=T[a(x),u]”是必需的。舉例，令X=I，T={0}×I∪[-1,1]×{0}，端點(diǎn)t=(0,1)是T的最大元，t1=(-1,0)和t2=(1,0)是T的最小元。定義X×T中的閉集A如下：

A={0}×([-1,0]×{0})∪{(x,(t,0))|

x∈(0,1],t≤cosx-1}?

X×([-1,0]×{0})。

?n>2，n∈N，令fn:X→[1,0]×{0}T，映射定義如下：

因此,↓fn(x)X×([1,0]×{0}),↓fn∈↓C(X,T)，以及當(dāng)n→∞時(shí)，函數(shù)列(↓fn)n∈N→A∈Cld(X×T)。然而,有A∈A。

我們定義如下關(guān)于端點(diǎn)的概念。

定義4?A?(T,≤),定義

M(A)={m∈T:m是T的最小元且存在某個(gè)

a∈A使得m≤a}。

顯然，?m1、m2∈M(T,≤)，m1與m2不可比較。

由文獻(xiàn)[27]中的引理2，有如下引理。

引理1對有限樹T，以及前文定義的度量d和偏序≤，⊥是其最大元，有如下結(jié)果。

1)(T,≤)是一拓?fù)渖习敫?，?t1、t2∈T，上確界t1∨t2存在，且上確界函數(shù)∨：T×T→T是連續(xù)的。此外，對每個(gè)非空A?T，上確界∨A存在。

2)?t1、t2、s1、s2∈T,d(t1∨t2,s1∨s2)≤max{d(t1∨t2),d(s1∨s2)}。

5)?a、b、c∈T，若a

6)?a、b∈T，a,b是可比較的，當(dāng)且僅當(dāng)↓a∩↓b≠?當(dāng)且僅當(dāng)M(a)∩M(b)≠?。

7)?t∈↓t1和t′∈↓t2，若t1、t2在T中是不可比較的，則t、t′不可比較。

引理2取v∈V(T)，ti∈T[v,ui]，其中i=1,2,ui∈Vv,u1≠u2，則t1∨t2=v。

證明取任意的t

3 廣義模糊函數(shù)空間的稠密性

容易得到如下引理。

引理3若t1、t2∈T不可比較，則t1∨t2是T上的一個(gè)頂點(diǎn)。若t1、t2∈T可比較，則t1∨t2=t1或t1∨t2=t2。

引理4?A∈A，v∈V(T)，令A(yù)k=A∩[X×T[v,uk]]，其中u1、u2∈Vv，k=1,2。令p:X×T→X是投影映射。若?x∈X都有a(x)

證明假定?(x,t1)∈A1,(x,t2)∈A2，這里t1∈T[v,u1],t2∈T[v,u2]。由引理2，顯然v=t1∨t2。由A的定義知(x,v)∈A，導(dǎo)出矛盾。

引理5?A∈A，(x,t)、(x′,t′)∈A，其中x

Ak={(y,t)|y∈[x,x′],t≤a(y),a(y)∈

T[v,uk]},其中{u1,u2,…,un}=V。

由于?y∈[x,x′],a(y)≠v，對1≤k≠k′≤n。令

A′={(y,t):y∈[x,x′],t∈A(y),

a(y)和v不可比較}=

A|[x,x′]={(y,t):y∈[x,x′],t∈A(y)}=

A′∪A1∪A2∪…∪Ak…∪An。

令投影函數(shù)p:X×T→X使得p(A|[x,x′])=[x,x′]。由引理4，?1≤k≠k′≤n,p(A′)∩p(Ak)=?,p(Ak)∩p(Ak′)=?。此外，{p(A′),p(A1),p(A2),…,p(An)}是一族閉集，其中有至少2個(gè)集合是非空的，p(A′)∪p(A1)∪p(A2)∪…∪p(An)=[x,x′]=p(A|[x,x′])是連通的。矛盾。

由引理1的6)、引理5，得到定理1。

定理1對任意T上的枝Si，廣義模糊函數(shù)子空間↓CUB(Si)在閉集族AUB(Si)上稠密，其中i≤|TS|。

{x(a,s)|(a,s)∈F}∪{0,1}=

記Si的上頂點(diǎn)為v′，maxA=a，取(x′,a(x′))=(x′,a)∈A，有以下兩種情況。

這個(gè)新的有限序列{(xi,ti)}0≤i≤n有

(1)

若ti和ti+1不可比較，令vi=ti∨ti+1。

由公式(1)有dH(A,↓f)<ε。

4 廣義模糊函數(shù)空間的閉包

由定理1，得到引理6。

證明注意到M(u)是有限集合，由A的定義，?t∈M(u)，使得對無窮多個(gè)n，有t∈An(xn)。同樣地，?t′∈M(u′)，使得對無窮多個(gè)n，有t′∈An(xn)。因此,t∨t′=u∨u′=v。不失一般性，假定對所有奇數(shù)有t∈An(xn)，對所有偶數(shù)有t′∈An(xn)。

(2)

由引理6，易得如下引理。

引理7?A∈A，v∈V(T)，u、u′是Vv中2個(gè)不同的頂點(diǎn)，t、t′∈T，x≤x′∈X。如果A(x)?↓t,t∈T[v,u]，A(x′)?↓t′,t′∈T[v,u′],其中t∨t′=v，t和t′都不是頂點(diǎn)，則?x*∈[x,x′]，使得↓v?A(x*)。

由文獻(xiàn)[28]，有如下引理。

引理8對任意緊連通序列(An)n∈N∈Cld(X×T)，當(dāng)n→∞時(shí)，An→A，A是連通的。

由文獻(xiàn)[27]中的引理7，有如下引理。

引理9對任意緊連通集合A?T，maxA存在。特別地，?f∈C(X,T),maxf(X)存在。

為證A(X)有最大值，需要以下引理。

引理10對收斂列(An)n∈N∈A，若當(dāng)n→∞，An→A∈Cld(X×T)，則?x∈X，A(x)≠?。

證明?x∈X和n∈N，取tn∈An(x)≠?。由于T是緊的，可以取子列{tnk}在k→∞時(shí)收斂于某個(gè)t∈T。由于當(dāng)n→∞時(shí)，dH(An,A)→0，則當(dāng)k→∞,

dH((x,t),Ank)≤d((x,t),(x,tnk))=

d(t,tnk)→0,

由于A和Ank都是緊集，(x,t)∈A，因此A(x)≠?。

下面的引理可以提供連通性方面的證明工具。

引理11令(An)n∈N是A中的收斂序列，當(dāng)n→∞時(shí)，An→A∈Cld(X×T)。?x0∈X以及任意非頂點(diǎn)t0∈A(x0)，↓t0?A(x0)。

證明為了證明↓t0?A(x0)，只需驗(yàn)證?t′∈↓t0{t0},t′∈A(x0)。由于t0不是一個(gè)頂點(diǎn)，?ε>0使得B(t0,ε)內(nèi)沒有頂點(diǎn)且?t∈B(t0,ε)均有t′

由引理1的2)及引理3、6、9、10、11可得如下引理。

引理12令(An)n∈N是A中的收斂序列，且當(dāng)n→∞時(shí)，An→A∈Cld(X×T)。那么，?x∈X,A(x)有最大元a(x)。

證明由引理10知A(x)≠?。?x∈X，為了證明A(x)有最大元a(x)，由引理9，需要證明A(x)在T里是連通的。由引理11，只需證?t、t′∈A(x)，t∨t′∈A(x)。

以下引理揭示了An收斂和an(xn)收斂的關(guān)系。

引理13(An)n∈N∈A為一個(gè)收斂到A∈Cld(X×T)的收斂序列。對任意的收斂序列xn→x∈X，當(dāng)n→∞時(shí)，an(xn)→a(x)，其中an(xn)是An(xn)的最大元，a(x)是A(x)的最大元。

證明我們將證明an(xn)→a(x)。為此，對每個(gè)子列ank(xnk)，因?yàn)锳n→A，所以存在子列anki(xnki),使得當(dāng)i→∞時(shí)(xnki,anki(xnki))→(x,a*(x))。因?yàn)閍*(x)∈A(x)，所以a*(x)≤a(x)。另一方面，存在一個(gè)收斂序列tnki∈Anki(xnki),使得當(dāng)i→∞時(shí)tnki→a(x)。因?yàn)閠nki≤anki(xnki)，所以a(x)≤a*(x)。因此，anki(xnki)→a*(x)=a(x)。

由引理1的6)及引理6、11、13，得到引理14。

引理14對任意T上的枝Si，對于任意一個(gè)收斂序列(An)n∈N∈AUB(Si)，令A(yù)是(An)n∈N的極限，其中i≤|Ts|。?x∈X，A(x)僅有兩種情況。

情況1A(x)=↓a(x)。

情況2a(x)∈V(T)且對某個(gè)u∈Va(x)∩↓Si，A(x)=T[a(x),u]。

進(jìn)一步，令vi為枝Si的上頂點(diǎn)，?x∈X，則存在某個(gè)u∈Vvi∩↓Si，使得A(x)=T[Vvi,u]；或者a(x)∈↓Si。

證明由引理10，當(dāng)a(x)不是一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，A(x)=↓a(x)；同理，當(dāng)a(x)是一個(gè)3階頂點(diǎn)，A(x)=↓a(x)或存在某個(gè)u∈Va(x)∩↓Si，使得A(x)=T[a(x),u]；同理，當(dāng)a(x)是一個(gè)4階或者4階以上的頂點(diǎn)時(shí)，A(x)=↓a(x)或?qū)δ硞€(gè)u∈Va(x)∩↓Si有A(x)=T[a(x),u]或?qū)δ硞€(gè)UVa(x)∩↓Si有其中1<|U|<|Va(x)∩↓Si|。

下面只需證明“當(dāng)a(x)是一個(gè)4階或者4階以上的頂點(diǎn)時(shí)，對某個(gè)UVa(x)∩↓Si有其中1<|U|<|Va(x)∩↓Si|”這個(gè)情況不存在。假設(shè)當(dāng)a(x)是一個(gè)4階或者4階以上的頂點(diǎn),上面的情況存在。

由引理13，由于當(dāng)n→∞時(shí)，An→A，所以存在收斂于x的序列(xn)?X，使得an(xn)→a(x)∈V(T)，其中an(xn)是An(xn)的最大元。不失一般性，因?yàn)樵诒匾獣r(shí)，可以選擇(An)的子列，所以我們只需考慮An(xn)的3種情況。

情況A?n，An(xn)=↓an(xn)且an(xn)≥a(x)。

情況B?n，對某個(gè)u0∈U，An(xn)?T[a(x),u0]。

情況C?n，對某個(gè)u0∈Va(x)∩↓SiU，An(xn)?T[a(x),u0]。

以下進(jìn)行分情況討論。

情況A由于|U|<|Va(x)∩↓Si|，所以?m∈M(a(x))M(U)。因?yàn)閍n(xn)≥a(x)，有(xn,m)∈An。由于An→A,xn→x，故(xn,m)∈A。但這與m?M(U)和A(x)的定義矛盾。

情況C若u0?U，取m∈M(u0)，則有(xn,m)∈An以及當(dāng)n→∞時(shí)(xn,m)→(x,m)。已知An→A，由此可知(x,m)∈A。但因?yàn)閡0?U，所以(x,m)?A。因此，導(dǎo)出矛盾。

令vi為枝Si的上頂點(diǎn)，u為枝Si的下頂點(diǎn)，假設(shè)有某個(gè)x∈X，使得a(x)?↓Sivi。

那么必然有如下1種情況會(huì)出現(xiàn)：

i)a(x)>Si；

ii)?u′∈Vvi,u′?Si,A(x)=T[Vvi,u′]；

iii)A(x)=↓vi。

情況i)與引理13矛盾；情況ii)下，任取A′∈AUB(Si)，則dH(A,A′)>1，與A是(An)n∈N的極限矛盾；情況iii)下，同理,任取A′∈AUB(Si),則dH(A,A′)>1，與A是(An)n∈N的極限矛盾。證畢。

由引理10、12、14，我們可以證明以下引理。

引理15對任意T上的枝Si，閉集族AUB(Si)在超空間Cld(X×T)中是閉的，其中i≤|Ts|。

由定理1和引理15，我們可以證明以下定理。

證明由定理1，有?Si?T,↓CUB(Si)在AUB(Si)上稠密。由引理15知,?Si?T，閉集族AUB(Si)在超空間Cld(X×T)中是閉的。