同構(gòu)對(duì)偶巧化簡(jiǎn) 數(shù)形結(jié)合感直觀
——以2022年新高考Ⅰ卷第22題為例

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué) (510630)

羅 麗

2022年新高考Ⅰ卷試題更加開放靈活，優(yōu)化了情境設(shè)計(jì)，適當(dāng)增加了應(yīng)用性和創(chuàng)新性的試題，體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全方位考察.高考命題加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察，22題考察函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.該題構(gòu)思新穎，結(jié)構(gòu)精巧，本文從多層次、多角度給出解答與推廣.

1 試題再現(xiàn)

(2022年新高考卷Ⅰ第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

分析：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程.第一問用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最小值，然后列出方程求得a的值.第二問求函數(shù)的零點(diǎn)，可作出曲線函數(shù)y=f(x)，y=g(x)和直線y=b的大致圖象，結(jié)合圖象分析，分別求出三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式后，證明其成等差數(shù)列即可.本題第二問獨(dú)具匠心，結(jié)合方程的根與等差數(shù)列的知識(shí)，考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想以及推理論證能力和運(yùn)算能力，巧妙運(yùn)用函數(shù)同構(gòu)法可以快速得出結(jié)論.

2 多解探究

(法一)分離出lna解方程(*)式.

(法二)簡(jiǎn)單變形解方程(*)式.

(2)(法一)代數(shù)“同構(gòu)”法.

圖1

下面需證明2x2=x1+x3.

注意到f(lnx)=g(x),x>0，因此有f(lnx2)=g(x2)=f(x1)，且lnx2,x1小于零，由函數(shù)f(x)(x<0)的單調(diào)性得x1=lnx2.又f(x)=g(ex),因此有f(x2)=g(ex2)=g(x3)，且ex2,x3都大于1，由函數(shù)g(x)(x>1)的單調(diào)性得x3=ex2.根據(jù)x2滿足(△)式，則有2x2=ex2+lnx2=x3+x1，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

(法二)幾何法“對(duì)偶”性質(zhì).

圖2

(法三)幾何矩形的性質(zhì).

交點(diǎn)情況和圖象與解法二一樣，下面需證明.根據(jù)對(duì)稱性，直線AC垂直于y=x，直線BD垂直于y=x，又直線AB和直線CD與直線y=x平行，則四邊形ABCD為矩形.根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分，則有x2+x3=2x2=x1+x4.

特別地，因?yàn)閤2=x3，則直線BC垂直x軸，三角形ABC為等腰直角三角形，那么四邊形ABCD為正方形.對(duì)角線BC與AD交于點(diǎn)E，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)E在y=x上.

點(diǎn)評(píng)：本題第二問用了三種方法求解，法一利用了函數(shù)“同構(gòu)”特點(diǎn)，“同構(gòu)”即結(jié)構(gòu)相同，根據(jù)f(lnx)=g(x),x>0和f(x)=g(ex)，可以得到x1、x2和x3的數(shù)量關(guān)系，證明出等差數(shù)列的關(guān)系.法二利用“對(duì)偶”性質(zhì)，充分考慮圖象的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合的方法證明.法三在法二的基礎(chǔ)上利用矩形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行說明，巧妙地將方程的解轉(zhuǎn)化為幾何圖象的關(guān)系.根據(jù)法三的方法，易將問題拓展到有四個(gè)交點(diǎn)的情形，并進(jìn)行類似的證明.

3 變式拓展

吳康教授對(duì)此題拓展到有四個(gè)交點(diǎn)的情形，我們也用三種方法進(jìn)行證明.

探究1 證明存在直線y=c，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)為n1,n2,n3,n4,則n1+n4=n2+n3或n2-n1=n4-n3.

解法一：代數(shù)“同構(gòu)”法.

圖3

可以做出直線與兩條曲線的圖象如圖3.

若有四個(gè)交點(diǎn),則直線y=c的取值有兩種情況，一是直線y=c在直線y=b的上方，此時(shí)c>b(b=ex2-x2=x2-lnx2)，從左到右交點(diǎn)分別假設(shè)為點(diǎn)M，N，R，S，其中點(diǎn)M和R在曲線f(x)上；二是直線y=c在直線y=b的下方且大于兩條曲線的最小值，此時(shí)1

不妨首先討論當(dāng)c>b時(shí)，根據(jù)交點(diǎn)的情況有f(n1)=f(n3)=c，g(n2)=g(n4)=c，n1<00和f(x)=g(ex)，則f(lnn2)=g(n2)=f(n1)，f(n3)=g(en3)=g(n4)，由函數(shù)f(x)(x<0)和g(x)(x>1)的單調(diào)性得，n1=lnn2，n4=3n3.故n2-n1=n2-lnn2=c=en3-n3=n4-n3,即n1+n4=n2+n3.

當(dāng)1

解法二：幾何“對(duì)偶”性質(zhì).

只討論當(dāng)c>b時(shí)的情形，若1

解法三：幾何矩形的性質(zhì).

利用原題解法三的思路，知四邊形ABCD為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分，則有n2+n3=n1+n4.

點(diǎn)評(píng)：將問題拓展到有四個(gè)交點(diǎn)的情形，啟發(fā)學(xué)生類比聯(lián)想，化歸轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能主動(dòng)地提出問題并解決問題.利用幾何法中矩形的性質(zhì)可以挖掘函數(shù)問題的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生多角度思考與深度思維.

探究2 當(dāng)直線與兩條曲線分別有三個(gè)交點(diǎn)和四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，試比較n2+n3與2x2的大小.(四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，中間兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n2,n3；三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，中間點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，x2≈0.527，b≈1.167)

結(jié)論當(dāng)c>b時(shí)，n2+n3>2x2；當(dāng)1

當(dāng)1g(2x2-n2).因?yàn)間(n3)=c=f(n2)，需證明f(n2)>g(2x2-n2).令m(x)=f(x)-g(2x2-x)，需證明m(x)=ex-2x2+ln(2x2-x)>0在(0,x2)上恒成立.因?yàn)閙(x2)=0，且m′(x)<0,x∈(0,x2)，則m(x)>0，0

點(diǎn)評(píng)：類似極值點(diǎn)偏移的做法，構(gòu)造偏差函數(shù)h(x)=f(2x2-x)-g(x)，轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)恒成立的問題.對(duì)于兩個(gè)函數(shù)比較交點(diǎn)的大小，本質(zhì)上考察函數(shù)的對(duì)稱性和增速，可以通過構(gòu)造偏差函數(shù)，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題處理.判斷大小關(guān)系可以由極端情況進(jìn)行推理，當(dāng)c→∞時(shí)，n2→0,n3→∞,顯然有n2+n3>2x2.當(dāng)c→1時(shí)，n2→0,n3→1，則有n2+n3<2x2.

4 觸類旁通

例1 (多選題)已知函數(shù)f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)分別為x1，x2，則下列結(jié)論正確的是( ).

A.x1+x2=2 B.x1lnx2+x2lnx1<0

分析：解決雙變量問題的常規(guī)思路是轉(zhuǎn)化為單變量問題，本題利用對(duì)偶特點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的方法，也可以巧妙得到答案為ABD.

圖4

A選項(xiàng)正確.由f(x)=ex+x-2=0得ex=2-x，由g(x)=lnx+x-2=0得lnx=2-x，作出函數(shù)y=ex，y=lnx，y=2-x的圖象如圖4：

由y=ex的反函數(shù)y=lnx關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=ex與直線y=2-x的交點(diǎn)為(x1，2-x1)，y=lnx與直線y=2-x的交點(diǎn)為(x2，2-x2)，可得x1=2-x2，即x1+x2=2.

在高中教學(xué)中，一題多解并非“炫技”，希望通過不同角度的解答方法啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.一題多變探究式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生提出問題并主動(dòng)研究，能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，厘清同類問題的解題思路，站在命題人的角度看問題.對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的模塊，學(xué)生待突破的難點(diǎn)是如何處理復(fù)雜的計(jì)算問題并將相關(guān)條件轉(zhuǎn)化，教師在教學(xué)中應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)探究類題型越來越受到命題者的重視，這也將加快數(shù)學(xué)教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，使探索發(fā)現(xiàn)成為日常教學(xué)的新常態(tài).