巧用同構(gòu)思想妙解一類指對(duì)混合壓軸題

福建省永春第一中學(xué) (362601)

劉文哲 張隆億

對(duì)方程或不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，使其左側(cè)和右側(cè)具有相同的結(jié)構(gòu)形式，再通過(guò)構(gòu)造單調(diào)函數(shù)處理.對(duì)于具有混合指數(shù)對(duì)數(shù)的問(wèn)題，通常可以通過(guò)指數(shù)和對(duì)數(shù)的相互變換實(shí)現(xiàn)局部同構(gòu).問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)最值，這大大降低了計(jì)算和求解(證明)的難度.它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的有效媒介，受到高考命題者的青睞.本文提出了指數(shù)與對(duì)數(shù)等式(不等式)的同構(gòu)方法，并對(duì)含指數(shù)對(duì)數(shù)壓軸問(wèn)題的同構(gòu)解法進(jìn)行了梳理.

一、同構(gòu)的常見(jiàn)方法

1 利用x=lnex，x=elnx(x>0)進(jìn)行冪指、冪對(duì)轉(zhuǎn)換同構(gòu)

2 對(duì)等式、不等式兩邊取指數(shù)、對(duì)數(shù)進(jìn)行同構(gòu)

2.1 積型aea1)?a+lna

二、常見(jiàn)命題手法

1 命題手法1：運(yùn)用同構(gòu)思想，轉(zhuǎn)化為h(m(x))形式的式子.

對(duì)函數(shù)式同構(gòu)轉(zhuǎn)化，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=h(x)，將涉及函數(shù)式h(m(x))問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)函數(shù)y=h(x)，y=m(x)的最值，達(dá)到簡(jiǎn)化難度的目的.這類試題通常以參數(shù)范圍和不等式證明等形式進(jìn)行考查.

2 命題手法2：運(yùn)用同構(gòu)思想，轉(zhuǎn)化為h(m(x1))=h(n(x2))形式的等式.

對(duì)等式兩邊同構(gòu)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)y=h(x)，等式可以轉(zhuǎn)化為h(m(x1))=h(n(x2)).若函數(shù)y=h(x)是單調(diào)的，等式可簡(jiǎn)化為m(x1)=n(x2)，從而簡(jiǎn)化等式，化繁為簡(jiǎn).試題常以化簡(jiǎn)求值，變量的最值等形式進(jìn)行考查.

例2 (2021孝感期末)若x0為函數(shù)f(x)=e2lnx+x-2+lnx-2的一個(gè)零點(diǎn)，則e2-x0+lnx0的值為.

解析：根據(jù)題意，令f(x)=0，得e2lnx+x-2=2-lnx，兩邊取對(duì)數(shù)可得2lnx+x-2=ln(2-lnx)，即lnx+x-(2-lnx)=ln(2-lnx)，得到lnx+x=ln(2-lnx)+(2-lnx)，設(shè)h(x)=x+lnx，x∈(0,+∞)，則h(x)=h(2-lnx).結(jié)合h(x)的單調(diào)性可得x=2-lnx，由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得x0=2-lnx0，所以e2-x0+lnx0=elnx0=x0+2-x0=2.

3 命題手法3：運(yùn)用同構(gòu)思想，轉(zhuǎn)化為含有h(m(x1))及h(n(x2))的不等式

對(duì)不等式的兩邊進(jìn)行同構(gòu)變換，構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=h(x)，將原不等式可以轉(zhuǎn)化為含有h(m(x1))及h(n(x2))的不等式，以達(dá)到簡(jiǎn)化不等式結(jié)構(gòu)的目的.試題通常以不等式證明和參數(shù)范圍等形式進(jìn)行考查.

3.1 若函數(shù)y=h(x)是單調(diào)的，則不等式h(m(x1))n(x2))，從而大大簡(jiǎn)化不等式.測(cè)試題通常以不等式的證明或參數(shù)的范圍等形式出現(xiàn).

例4 (2020山東21節(jié)選)若aex-1-lnx+lna≥1，試求實(shí)數(shù)a的范圍.

解析：將aex-1進(jìn)行同構(gòu)變形為ex-1+lna，則不等式aex-1-lnx+lna≥1可整理為ex-1+lna+lna-1≥lnx，兩邊同加x可得ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x，即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.令h(x)=ex+x，則h(x-1+lna)≥h(x)，可由函數(shù)h(x)單調(diào)性，得x-1+lna≥x，即lna≥lnx-x+1.利用導(dǎo)數(shù)工具可得函數(shù)y=lnx-x+1的最大值為0，所以a的取值范圍為[1,+∞).

例5 若函數(shù)f(x)=lnx-x+1，函數(shù)g(x)=axex-4x，a>0，證明：g(x)-2f(x)≥2(lna-ln2).

解析：由axex=ex+lnx+lna可知要證的不等式axex-2x-2lnx-2lna≥2-2ln2可化為ex+lnx+lna-2(x+lnx+lna)≥eln2-2ln2.設(shè)h(x)=ex-2x，則h(x+lnx+lna)≥h(ln2).該不等式證明等同于證明函數(shù)h(x)的最小值h(ln2)，利用函數(shù)h(x)的單調(diào)性加于驗(yàn)證即可.

3.2 結(jié)合轉(zhuǎn)化后不等式h(m(x1))+h(n(x2))<0，不等式的證明可h(x)<0推出.含有雙元x1、x2不等式證明，可化歸為函數(shù)y=h(x)的值域求解，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

3.3 結(jié)合m(x1)n(x2))及h(m(x1))

例7 (2022泉州質(zhì)檢二)已知函數(shù)f(x)=ax-ex，?x∈(1,+∞)，f(x)

解析1：由alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1，得f(x)f(x)對(duì)一切x∈(1,+∞)恒成立.結(jié)合切線不等式及x∈(1,+∞)，得1

簡(jiǎn)而言之，能直接使用同構(gòu)的混合指數(shù)和對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)試題不多.在許多情況下，需要用指數(shù)和對(duì)數(shù)同構(gòu)技巧，嘗試轉(zhuǎn)換為三種常見(jiàn)的同構(gòu)形式.解決這類含有指數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)試題的關(guān)鍵是同構(gòu)變換，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)范圍，化難為易，突破解題的障礙點(diǎn).這類含指數(shù)對(duì)數(shù)壓軸題同構(gòu)解法事實(shí)上就是數(shù)學(xué)建模中建模、解模的過(guò)程.在這類導(dǎo)數(shù)壓軸題求解過(guò)程中引入了建模方法，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題建立不同的數(shù)學(xué)解模型，讓學(xué)生從多個(gè)角度學(xué)習(xí)，尋找不同的問(wèn)題解決方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，使他們?cè)诿鎸?duì)復(fù)雜的函數(shù)和導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)能夠有章可循，一方面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模技能，另一方面使學(xué)生養(yǎng)成有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決問(wèn)題的習(xí)慣，往往能達(dá)到事半功倍的效果.