淺談在課堂教學(xué)中如何滲透方程與函數(shù)思想

倪行舟

(福建省福清市?？谥袑W(xué) 350300)

對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，培養(yǎng)學(xué)生建模思想貫穿于整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，是學(xué)習(xí)、理解和運用數(shù)學(xué)知識的重要手段.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“引導(dǎo)學(xué)生在實踐場景當(dāng)中對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行剝離，創(chuàng)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，尋求數(shù)學(xué)問題的結(jié)果，進(jìn)而對數(shù)學(xué)問題予以解決”.因此教師在教學(xué)過程中不能單純或急于追求實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，而要根據(jù)具體的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生建立模型，還要不斷地調(diào)整與創(chuàng)新，逐步培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.

1 創(chuàng)設(shè)符合學(xué)情的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生建模思想

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，因此課堂上必須創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境以促使學(xué)生學(xué)習(xí).教師作為課堂教學(xué)的指導(dǎo)者，要根據(jù)學(xué)生的心理特點和實際情況來制定相應(yīng)的學(xué)習(xí)方案，通過設(shè)計嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)與有趣的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，這是進(jìn)行建模教學(xué)的前提與條件.

基于情境明確數(shù)學(xué)教學(xué)問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建自身的數(shù)學(xué)思維體系.在數(shù)學(xué)教與學(xué)體系中，問題始終是核心，教師的教學(xué)需要將數(shù)學(xué)問題作為切入點.因此教師應(yīng)善于利用教材，設(shè)計符合學(xué)生的學(xué)習(xí)情境，從而引導(dǎo)學(xué)生對建模思想產(chǎn)生興趣.教師在這個過程中需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式與定理的生成過程、原理與方法的獲得過程、函數(shù)與方程模型的建立過程.

對互動合作的教學(xué)機(jī)制與模式進(jìn)行創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生開展交流活動.在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，教師需要為學(xué)生們提供出更多的自我表達(dá)和互動交流的平臺與機(jī)會，使學(xué)生能對自己的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行組織和梳理，并能清楚、準(zhǔn)確地表達(dá)出來.

2 培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力，引導(dǎo)學(xué)生參與建模

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾經(jīng)表示：在數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，數(shù)學(xué)語言始終是知識的有效載體.那么，教師在進(jìn)行實踐教學(xué)工作時，我們需要關(guān)注學(xué)生自身數(shù)學(xué)閱讀能力與素養(yǎng)的形成.課堂上抓住一切時機(jī)讓學(xué)生進(jìn)行閱讀，自己理解，或與同學(xué)進(jìn)行交流，切忌教師包辦代替.還要教給學(xué)生科學(xué)合理的閱讀方法，開始時教師可給予示范，接著讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，帶著學(xué)生進(jìn)行不斷地訓(xùn)練與強(qiáng)化，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生主動閱讀、有效閱讀、科學(xué)閱讀的良好習(xí)慣.

實際問題與方程、不等式、函數(shù)往往相結(jié)合，許多信息是“生活化”而非“數(shù)學(xué)化”的語言，數(shù)據(jù)多、關(guān)系隱蔽等等.因此，在平時的教學(xué)中教師要注重示范，教給學(xué)生提取關(guān)鍵信息的方法，教給學(xué)生如何抓住問題的本質(zhì)，如何有效使用表格或畫圖的方法將問題形象化，建立起直觀形象的數(shù)學(xué)信息.在面對較為復(fù)雜的問題時，指導(dǎo)學(xué)生理順各種數(shù)量關(guān)系，并想方設(shè)法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問題，呈現(xiàn)出問題中數(shù)學(xué)的“原貌”，為問題的解決鋪平道路.

例如：在人教版的七年級上冊教材當(dāng)中有“電話計費”的問題，問題如下：下面表格各處的是兩種不同類型針對移動電話的費用計算模式：

表1

你認(rèn)為選擇哪種計費方式更省錢呢？

A.對數(shù)學(xué)問題展開初步的解析與探索：假設(shè)一個月當(dāng)中移動電話對應(yīng)的主叫時間是t分(t代表的是正整數(shù))．在對兩種不同的模式進(jìn)行比對時，先對如下表格進(jìn)行設(shè)計：

表2

B.對問題的深入探究：借助表格直觀發(fā)現(xiàn)：當(dāng)t大于150且小于350時，建立方程求出界點，即58+0.25(t-150)=88，解得t=270，故t小于270時，選擇方式一省錢；t大于270時，選擇方式二省錢．這類試題重點是“建立方程模型”，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“猜想——探究——驗證”的過程，也就是說教師不要急于呈現(xiàn)問題的結(jié)論，讓學(xué)生體驗建立方程模型解決實際問題的一般過程.

3 設(shè)計層次性的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生主動建模

教學(xué)的過程是學(xué)生對新知識的認(rèn)識過程，同時又是學(xué)生心智的發(fā)展過程，因此必須遵循循序漸進(jìn)、由低到高、螺旋上升的原則.同時還要考慮數(shù)學(xué)問題的設(shè)置要符合學(xué)生的認(rèn)知程度與解決問題的實際水平，特別是學(xué)生對實際問題的分析能力與讀取信息的能力.

例如，進(jìn)行圍欄面積教學(xué)時，先設(shè)計出第一個數(shù)學(xué)問題：如下圖1所示，用32 m長的圍欄，一面靠墻(墻體可利用的最大長度為15m)，圍成長方形的雞舍．設(shè)與住房墻垂直一側(cè)的雞舍長度為xm，面積用Sm2來表示.當(dāng)S=120 m2時，求所圍長方形雞舍的長、寬分別為多少？

圖1 圖2 圖3

分析求長方形的面積首先要表示出長方形的長和寬，由雞舍垂直于住房墻的一邊為xm，利用總長32m的圍欄減去垂直于住房墻的兩邊，就表示出平行墻的一邊的長為(32-2x)m，學(xué)生很容易根據(jù)教師的引導(dǎo)列出一元二次方程：x(32-2x)=120，解得x1=6，x2=10．經(jīng)檢驗當(dāng)x1=6時，32-2x=20>15(不合題意，舍去)；當(dāng)x2=10時，32-2x=12<15(符合題意)，故雞舍的長、寬分別為12m、10m．

教師再次強(qiáng)調(diào)解決圍欄問題首先是用未知數(shù)表示長和寬，然后建立方程模型，就能達(dá)到解決問題的目的.接著，追問：如果圍成中間隔有一道柵欄的長方形雞舍(如圖2)，此時，如何表示長方形雞舍的長和寬．學(xué)生根據(jù)剛才的解題經(jīng)驗很容易表示出雞舍垂直于住房墻的一邊為xm，平行墻的一邊的長為(32-3x)m.

這時,我添加一個條件,當(dāng)S=84 m2時，求雞舍的長、寬各是多少米？

學(xué)生很快地建立方程模型：x(32-3x)=84，并解得x1=6，x2=14/3.經(jīng)檢驗當(dāng)x1=6時，32-3x=14<15(符合題意)；當(dāng)x2=14/3時，32-3x=18>15(不符合題意，舍去)，故雞舍的長、寬分別為14 m、6 m，問題就迎刃而解.

繼續(xù)追問:為方便進(jìn)出，在雞舍的長和寬邊上各留一個1 m的門(如圖3)．此時，又如何表示長方形雞舍的長和寬．

學(xué)生1：先垂直于住房墻的一邊為xm，此時柵欄與留門分別xm與(x-1)m，用總長32m減去垂直于住房墻三邊用的圍欄，即[32-x-x-(x-1)]m，而{[32-x-x-(x-1)]+1}m就是表示平行墻的一邊的長.

學(xué)生2：由前兩個問題知在封閉的圖形中，即不留門時很容易表示雞舍的兩邊，故想象把留的門用材料堵上，留2個門就多準(zhǔn)備這2個門的材料，所以問題就轉(zhuǎn)化用34 m圍欄圍成圖2的雞舍分析即可.此時垂直于住房墻的一邊為xm，平行墻的一邊的長為(34-3x)m．

多好的想法呀，將“留門”問題變成“堵門”問題，很容易解決圍欄“留門”的難題.

當(dāng)S=96 m2時，求雞舍的長、寬各是多少米？

學(xué)生都能快速地建立方程模型破解“留門”問題.如果課堂教學(xué)時間允許的話，還可以拓展雞舍中間隔有2道柵欄或留更多的門的問題.

上述問題是由淺入深的進(jìn)行，由圍成1個長方形到2個長方形，在升級到“留門”，由封閉長方形到不封閉的長方形，從中歸納出不封閉化為封閉來破題，也讓學(xué)生領(lǐng)略建立方程模型破解“留門問題”全過程,更能拓寬學(xué)生的視野,從而提升學(xué)生思維深度和縝密度.

4 巧用函數(shù)模型，破解最值問題

巧用函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)問題，是初中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是中考的熱點，如何把繁鎖的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是破題的關(guān)鍵.近些年來，在中考的函數(shù)應(yīng)用類題目當(dāng)中，融入了多元化的現(xiàn)實題材元素，結(jié)合實踐生活背景創(chuàng)建數(shù)學(xué)題目，彰顯出數(shù)學(xué)知識的實用價值，因為在高中數(shù)學(xué)體系內(nèi)，函數(shù)占重要地位，函數(shù)思想方法的形成與否會對學(xué)生高中知識學(xué)習(xí)水平產(chǎn)生直接的影響.此外，在中考數(shù)學(xué)應(yīng)用類題目當(dāng)中，函數(shù)應(yīng)用題出現(xiàn)得最多，是中考題的一大亮點，符合時代氣息.因此，在課堂教學(xué)時，對“函數(shù)模型”的滲透是重中之重.

例如，某一公司的主營產(chǎn)品為某種類型的農(nóng)產(chǎn)品，一箱此產(chǎn)品利用零售渠道獲取的利潤金額為70元，利用批發(fā)渠道獲取的利潤金額為40元．公司基于自身的經(jīng)營性質(zhì)作出規(guī)定，在產(chǎn)品總銷售數(shù)量當(dāng)中，零售產(chǎn)品數(shù)量不得超過30%．目前，此企業(yè)需要賣出1000箱此類農(nóng)產(chǎn)品，應(yīng)該怎樣安排零售與批發(fā)的產(chǎn)品數(shù)量，企業(yè)才可以獲取最大化的總利潤？總利潤最大為多少？

解設(shè)該公司利用零售渠道賣出m箱農(nóng)產(chǎn)品，所獲取的總利潤數(shù)額為w元.那么，利用批發(fā)渠道賣出的農(nóng)產(chǎn)品對應(yīng)的數(shù)量則是(1000-m)箱，

因為該企業(yè)利用零售渠道賣出的產(chǎn)品數(shù)量不超過整體數(shù)量的30%，所以m≤300，結(jié)合題意信息可知，w=70m+40(1000-m)=30m+4000，m≤300．又因為30>0，所以w隨著m的增大而增大，所以m=300時，取得最大值49000元，此時1000-m=700．

因此，此企業(yè)通過零售與批發(fā)渠道賣出的產(chǎn)品數(shù)量分別為300箱與700箱時，所獲取的總利潤是最多的，總利潤最大值為49000元．

本題是一道對一次函數(shù)的實踐運用的好題目：創(chuàng)建出一次函數(shù)的模型，運用一次函數(shù)自身的性質(zhì)與自變量對應(yīng)的取值范圍來對最值的數(shù)學(xué)問題予以解決.

總之，數(shù)學(xué)問題中的許多背景素材，都與生活密切相關(guān)，在實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，運用數(shù)學(xué)模型有效剖析問題，是在解決數(shù)學(xué)問題時所運用的一般性思路.其次，在解決幾何問題時時常常用到方程與函數(shù)模型.在開展教學(xué)活動時，教師要認(rèn)識到建模思想的重要性，設(shè)置合理的問題，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，理解其內(nèi)涵.