數(shù)列通項(xiàng)公式求法探秘

?廣東省東莞市第七高級(jí)中學(xué)

馬洪博

1 引言

研究數(shù)列問題，首先要研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式確定后，這個(gè)數(shù)列的所有性質(zhì)都可“浮出水面”.然而，數(shù)列的通項(xiàng)公式，如同函數(shù)的解析式一樣，并非可輕而易舉取得，需具體問題具體分析，并選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ú趴汕蟪?求數(shù)列的通項(xiàng)公式有哪些基本方法？對(duì)此，筆者作了些膚淺的研究，并歸納出下文中的幾種方法.

2 公式法

又因?yàn)閍2=8=3a1+2，所以an+1=3an+2，n∈N*，于是an+1+1=3(an+1)，故數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a1+1=3，公比為3.所以an+1=3×3n-1=3n，故an=3n-1.

3 累加法

當(dāng)已知數(shù)列中出現(xiàn)形如遞推關(guān)系式an-an-1=f(n)(n≥2)時(shí)，一般可采用累加法求其通項(xiàng)公式，具體步驟：先對(duì)遞推關(guān)系式an-an-1=f(n)(n≥2)中的n賦值，從2開始，一直賦值到n，于是共得到n-1個(gè)等式，然后將這n-1個(gè)等式的左右兩邊對(duì)應(yīng)相加，并加以化簡(jiǎn)，再利用已知的首項(xiàng)，就可以求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例2已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2×3n+1，a1=3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

4 累乘法

例3如果數(shù)列{an}滿足an+1=2(n+1)5n×an，且a1=3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是______.

5 歸納法

觀察、歸納、猜想、論證是數(shù)學(xué)研究的一般方法，這種方法也可以用在數(shù)列通項(xiàng)公式的求法上.探究時(shí)需先從特殊到一般，再?gòu)囊话慊氐教厥?而猜想的結(jié)論的論證一般需用到數(shù)學(xué)歸納法.因此，這種解法還需要我們熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理和應(yīng)用.

①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.

根據(jù)(1)(2)可知，猜想對(duì)任何n∈N*都成立.

點(diǎn)評(píng)：先猜后證，是這種方法的基本思路，“猜”考查的是觀察能力與歸納能力，“證”則考查了邏輯推理能力.這種方法較能體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此這類問題備受命題者青睞.

6 總結(jié)

當(dāng)然，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法還有很多，如對(duì)數(shù)變換法、迭代法、換元法和不動(dòng)點(diǎn)法等，但無(wú)論哪種方法都并非憑空產(chǎn)生，只有認(rèn)真審題，抓住題中給出的遞推關(guān)系式的特征，才能發(fā)現(xiàn)與之相匹配的求解思路與解題方法.