“玩轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)語言 解題不再困難

?首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院

郭鑫培 閆瑞敏

1 引言

文字語言是數(shù)學(xué)問題最基本的表達(dá)形式，其特點(diǎn)是通俗，有助于理解題意，但有時(shí)敘述較為冗長(zhǎng)、繁瑣.圖形語言的特點(diǎn)是直觀，便于觀察和聯(lián)想，但受制于學(xué)生的空間想象能力和圖形本身的復(fù)雜程度，有時(shí)難以理解.符號(hào)語言簡(jiǎn)潔精煉，表述方便，有助于運(yùn)算，但它的抽象性、概括性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題造成了一定的困難.三種數(shù)學(xué)語言各有所長(zhǎng)，因此我們?cè)诮忸}時(shí)要善于靈活地轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，高效解決問題.

2 數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換

2.1文字語言向圖形語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換

文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言可以更加直觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言可以使數(shù)學(xué)問題量化、符號(hào)化，從而通過代數(shù)運(yùn)算解決問題.

圖1

分析:首先我們通過文字語言理解題意，明確其中的幾何條件，然后將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，從而更加直觀地呈現(xiàn)問題，如圖1所示.再將其中的幾何條件轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，如斜率、垂直關(guān)系、相交關(guān)系等，最終要求證的是三角形面積之比，只需找到圖形中的有關(guān)三角形，利用三角形面積公式(符號(hào)語言)即可求證.

①

又直線BN的方程為

②

聯(lián)立方程①②，解得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為

故△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.

點(diǎn)評(píng)：解析幾何的核心思想是通過代數(shù)方法來解決幾何問題，但我們首先要做的是將題目中的文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，即先將幾何問題呈現(xiàn)出來，否則后續(xù)的所有處理都是空談.

例2如圖2所示，北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) ( ).

圖2

A.3 699塊 B.3 474塊

C.3 402塊 D.3 309塊

分析：首先我們要對(duì)題目中的文字語言進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)換，借助示意圖理解題意，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解決問題.如果將上、中、下三層看作一個(gè)整體，仍滿足每一環(huán)比上一環(huán)多9塊，則這三層每一環(huán)石板數(shù)符合等差數(shù)列模型.再畫出示意圖理解各層石板數(shù)的關(guān)系，最后將“下層比中層多729塊”轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的符號(hào)語言進(jìn)行求解即可.

圖3

解析：由題意可設(shè)每環(huán)中扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為{an},則a1=9,d=9.由每層環(huán)數(shù)相同，設(shè)每層有n環(huán)，每層之間石板數(shù)的關(guān)系如右圖3.

由下層比中層多729塊，結(jié)合示意圖轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，有(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=729,即S3n-2S2n+Sn=729,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可得9n2=729，解得n=9.則三層共有扇面形石板S3n=3 402(塊).故選：C.

點(diǎn)評(píng):面對(duì)文字量較大的題目，要仔細(xì)審題，從中提取關(guān)鍵信息，抓關(guān)鍵點(diǎn)；要善于畫示意圖來理解題意，同時(shí)檢索頭腦中相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換.

2.2 圖形語言向文字語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換

圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言有助于對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解與分析，轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言有助于數(shù)學(xué)問題的解決，以“數(shù)”解“形”.

例3如圖4，牛牛從公園E處出發(fā)，先到F處與麗麗會(huì)合，再一起到位于G處的少年宮參加活動(dòng)，那么牛牛到少年宮可以選擇的最短路徑有多少條[1]？

圖4

分析:本題是一個(gè)計(jì)數(shù)問題，要“完成的一件事”是從E處到G處，分兩步完成，即先從E處到F處，再?gòu)腇處到G處，因此應(yīng)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理.我們先將其中的圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言，即將路線圖中的信息明確化，可以發(fā)現(xiàn)E到F處的最短路徑長(zhǎng)度為以EF為對(duì)角線的矩形周長(zhǎng)的一半，F(xiàn)到G處的最短路徑長(zhǎng)度為以FG為對(duì)角線的矩形周長(zhǎng)的一半，進(jìn)而可以找出每一步的最短路徑條數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算公式(符號(hào)語言)求解即可.

解析：由題意可以知道第一步由E到F處共6條最短路徑，第二步由F到G處，共4條最短路徑.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知牛牛從E處到G處可以選擇的最短路徑條數(shù)共6×4=24.

例4：如圖5是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試通過獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的體積和表面積.(尺寸如圖，單位：cm,π取3.14,結(jié)果取整數(shù).)

圖5

分析：本題是三視圖問題，信息全部蘊(yùn)含在圖形之中，因此將圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言，是理解、分析問題的必要環(huán)節(jié).觀察三視圖，可知該幾何體的上部是一個(gè)直徑為4 cm的球，中部是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為8 cm，4 cm，20 cm的長(zhǎng)方體，下部是一個(gè)棱臺(tái)，其中上底面是邊長(zhǎng)分別為10 cm，8 cm的矩形，下底面是邊長(zhǎng)分別為20 cm，16 cm的矩形，棱臺(tái)的高為2 cm.利用球、長(zhǎng)方體、棱臺(tái)的體積公式(符號(hào)語言)即可求出體積.對(duì)于表面積，可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體和四棱臺(tái)有重合部分，因此計(jì)算表面積時(shí)，不要重復(fù)計(jì)算.

由球、矩形、梯形的面積公式，可得S球=4πR2=16π (cm2),通過計(jì)算可知，

點(diǎn)評(píng)：圖形語言向文字語言的轉(zhuǎn)換，是解決幾何圖形問題的第一步，但往往我們意識(shí)不到.這是因?yàn)樵诮忸}時(shí)，我們常常直接借助符號(hào)語言來定量計(jì)算，忽視了第一步轉(zhuǎn)換對(duì)理解問題的重要性.

2.3 符號(hào)語言向文字語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換

符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為文字語言可以使問題更加簡(jiǎn)明，轉(zhuǎn)換為圖形語言可以使問題更加直觀、具體，以“形”助“數(shù)”.

圖6

當(dāng)k<0時(shí)，不滿足不等式的解集區(qū)間長(zhǎng)度為2；

當(dāng)k=0時(shí)，也不滿足題意.

因此，k>0.

例6已知集合

A={(x,y)|y2=x+1,x,y∈R},

B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0,x,y∈R},

C={(x,y)|y=kx+b,x,y∈R},

是否存在正整數(shù)k和b使得(A∪B)∩C=??若存在，求出k和b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：先將題目中的符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為文字語言，來理解題意.集合A和B所表示的都是拋物線，集合C表示一條直線，而(A∪B)∩C=?表示這條直線和兩條拋物線均不相交，還要注意k和b只取正整數(shù).由此我們根據(jù)題意，將其中的符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，如圖7所示.

圖7

由b∈N*得b=2，則直線方程為y=kx+2.將直線方程分別和兩拋物線方程聯(lián)立，可得兩個(gè)方程組，

綜上所述，存在正整數(shù)k=1和b=2滿足題意.

3 總結(jié)

事實(shí)上，在解題的過程中，往往需要不止一次地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換，我們要知道每一次轉(zhuǎn)換都是為了更好地理解題目，從而有助于解決問題.因此在解題時(shí)，靈活地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，可以大幅提高解題效率.這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，深入理解與把握對(duì)“同一件事”的不同數(shù)學(xué)語言的表達(dá)形式，鍛煉數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力，“玩轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)語言，使解題不再困難.