精準(zhǔn)設(shè)計(jì)題目 提升課堂效率
——以數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和的高三復(fù)習(xí)課為例

?福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)

陳 悅

1 引言

數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和是一個(gè)比較難的問題，學(xué)生往往不能根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法來解決問題.高三的復(fù)習(xí)課是比較緊湊的，帶有明確的目標(biāo).本節(jié)課主要探討數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和的四種類型：(1)相隔一項(xiàng)成等差數(shù)列(或成等比數(shù)列)；(2)通項(xiàng)公式中含有(-1)n；(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式以分段數(shù)列給出；(4)數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和的問題.

復(fù)習(xí)課與習(xí)題課是兩種截然不同的的課型，復(fù)習(xí)課主要是以講解習(xí)題為載體，鞏固知識(shí)和方法，并發(fā)展能力，與新授課不同[1].教學(xué)設(shè)計(jì)主要包括了以下五個(gè)環(huán)節(jié)：回顧知識(shí)要點(diǎn)、分析例題、反饋練習(xí)、鞏固提高以及歸納總結(jié).

2 確定教學(xué)目標(biāo)

第一，通過知識(shí)回顧、例題講解、反饋訓(xùn)練、鞏固提高等一系列教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生能夠基本掌握常見的數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和的方法.例如，分組求和法和并項(xiàng)求和法.第二，數(shù)列分奇偶項(xiàng)的求和問題也會(huì)和其他求和方法相結(jié)合，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的題目條件，選擇最優(yōu)解決問題的方法.第三，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，由特殊到一般，要善于歸納總結(jié)，不僅要能想出來、說出來，還要能準(zhǔn)確規(guī)范地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來.第四，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散，比如相隔一項(xiàng)成等差數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為分奇偶項(xiàng)求和的問題，那么如果是相隔兩項(xiàng)成等差數(shù)列呢？當(dāng)然，最主要的是在教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)滲透化歸與轉(zhuǎn)化以及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神以及分析解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 教學(xué)實(shí)施過程

第一環(huán)節(jié)：知識(shí)回顧.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)本節(jié)課要用到的知識(shí)，以及數(shù)列分奇偶的常見類型.

第二環(huán)節(jié)：例題講解.

例1(2004年北京理第14題)定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為；這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為.

思路分析：根據(jù)數(shù)列的定義，可以得到an+an+1=5，把a(bǔ)1=2代入，容易發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項(xiàng)的值都為2，偶數(shù)項(xiàng)的值都為3，所以a18=3.第二空要求數(shù)列的前n項(xiàng)和，需要對(duì)n進(jìn)行分類討論.

師：好，那數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式要如何表達(dá)？

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=(a1+a3+……+an)+(a2+a4+……+an-1)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Sn=a1+a2+……+an-1+an

=(a1+a3+……+an-1)+(a2+a4+……+an)

例2(2022年漳州市二質(zhì)檢第8題)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，a2=2，a3=3，記bn=an+an+1+an+2，且bn+1-bn=2，求S31.

解析：由bn+1-bn=2，得an+3-an=2.發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}相隔兩項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列.

當(dāng)n=3k-2時(shí)，an=a3k-2=1+2×(k-1)=2k-1,k∈N+；

當(dāng)n=3k-1時(shí)，an=a3k-1=2+2×(k-1)=2k,k∈N+；

當(dāng)n=3k時(shí)，an=a3k=3+2×(k-1)=2k+1,k∈N+.

所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：

這時(shí)候就可以求S31.

設(shè)計(jì)意圖：例1是相隔一項(xiàng)成等差數(shù)列的問題，例2遷移到相隔兩項(xiàng)成等差數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和發(fā)散思維.

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2n+1-2(n∈N+).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)已知bn=(-1)nlog2a2n+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

思路分析：第(1)問比較容易，可以利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，解得an=2n.第(2)問，把a(bǔ)n=2n代入得到bn=(-1)n(2n+1)，再對(duì)數(shù)列求和.

師：同學(xué)們，接下來，怎么處理？

生2：分組求和.對(duì)n進(jìn)行分類討論.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

生3：還可以用并項(xiàng)求和法.下面以n為奇數(shù)為例.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+……+(bn-2+bn-1)+bn.

師：如果我們留下的是首項(xiàng)，可不可以？

Tn=-3+(5-7)+(9-11)+……+(2n-1-2n-1)

最后的結(jié)果也正確，相比較而言，留首項(xiàng)會(huì)比留末項(xiàng)好一些，特別是當(dāng)末項(xiàng)不容易化簡的時(shí)候.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和的兩種常見方法，即分組求和法與并項(xiàng)求和法.如果運(yùn)用并項(xiàng)求和法，討論n為奇數(shù)時(shí)，要考慮剩下的一項(xiàng)，不要遺漏，建議留下首項(xiàng).如果求和結(jié)果是分奇偶的，要記得用分段數(shù)列形式表示.

第三環(huán)節(jié)：反饋訓(xùn)練.

變式1已知cn=(-1)n·2n，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

師：這個(gè)題目，大家可以先對(duì)n分奇偶，再分組求和或者并項(xiàng)求和，做法如下：

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

Sn=-(2+23+……+2n)+(22+24+……+2n-1)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

其實(shí)，我們也可以把數(shù)列{cn}整理成cn=(-2)n，直接代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中，得到

Sn=(-2)+(-2)2+(-2)3+……+(-2)n

師：特別注意，如果cn=(-1)n-1·22n+1怎么辦？

學(xué)生思考，討論.

師：把{cn}變?yōu)閏n=8·(-4)n-1(n∈N+)即可.

師：如果把題目變成cn=cosnπ·2n-1(n∈N+)，那怎么處理？

生4：cn=cosnπ·2n-1看成cn=(-1)n·2n-1.

師：是的，非常正確.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置這個(gè)題，讓學(xué)生感受數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和與等比數(shù)列相結(jié)合時(shí)，可以選擇分奇偶，用分組求和或者是并項(xiàng)求和，當(dāng)然也可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，比較簡潔.注意引導(dǎo)學(xué)生將題目條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的情境進(jìn)行求解.

第四環(huán)節(jié)：鞏固提升.

變式2已知cn=(-1)n·n·2n，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

思路分析：設(shè)置這個(gè)題，讓學(xué)生感受數(shù)列分奇偶項(xiàng)求和與等差乘以等比數(shù)列相結(jié)合時(shí)，要盡量轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，比較簡便.

師：有同學(xué)能解決這個(gè)問題的嗎？

生6：把(-1)n·2n看成(-2)n，利用錯(cuò)位相減法.

Sn=1×(-2)1+2×(-2)2+……+n×(-2)n

①

-2Sn=1×(-2)2+2×(-2)3+……+n×(-2)n+1

②

由①-②，可得

3Sn=1×(-2)1+1×(-2)2+1×(-2)3+……+1×(-2)n-n×(-2)n+1.

師：這個(gè)題目要求{cn}的前2n項(xiàng)和S2n，就不用對(duì)n進(jìn)行分類討論了.

由題意可得，

S2n=c1+c2+……+c2n-1+c2n

=(2+23+……+22n-1)+(32+34+……+32n)

驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí),S2=11=c1+c2，符合題意.

4 結(jié)語

“好的例題教學(xué)就是照亮學(xué)生解題的燈塔.”那么一名好教師，就是自己沉入題海，幫助學(xué)生浮出題海的人.一節(jié)課45分鐘的時(shí)間，應(yīng)該是教師與學(xué)生共同碰撞與促進(jìn)的過程，好的例題與變式，能夠發(fā)展學(xué)生思維，促進(jìn)提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).