養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)教學設計探索

張 昆

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院， 安徽 淮北 235000)

修訂義務教育數(shù)學課程標準所形成的“預審稿”(以下簡稱“預審稿”)結合《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》，提出的6項具體的數(shù)學核心素養(yǎng)，再依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出的10個關鍵性“核心詞”，抽繹出16項數(shù)學核心素養(yǎng)作為義務教育數(shù)學學科課程目標，其中“數(shù)感”被列為其中的第1項[1]。為了探究通過教學設計及課堂實施，幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”這項核心素養(yǎng)，這里首先從“預審稿”中關于這項“數(shù)感”核心素養(yǎng)的內涵說起。

一、辨識“預審稿”中“數(shù)感”數(shù)學核心素養(yǎng)概念的內涵

關于“數(shù)感”這項數(shù)學核心素養(yǎng)要素的概念內涵，“預審稿”選擇使用具體文字將其敘述與解釋為：“數(shù)感主要是指對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系以及運算結果的直觀感悟。能夠在真實的情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序；能夠在簡單的真實情境中進行合理估算，作出合理判斷；能夠初步體會事物背后簡單的規(guī)律，能用數(shù)表達這樣的規(guī)律。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗基礎。建立數(shù)感有助于學生理解數(shù)的意義和數(shù)量關系，初步感受到數(shù)學表達的簡潔與精確，增強好奇心，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣。”(“預審稿”頁10)

從這段文字中，能夠認識到其中的三個不同層次的內容與意義：首先，“數(shù)感主要是指對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系以及運算結果的直觀感悟”，這句話其實界定了“數(shù)感”這項數(shù)學核心素養(yǎng)概念的內涵；其次，隨后出現(xiàn)的五個“能夠”所限制的內容，主要指的是“數(shù)感”這項核心素養(yǎng)在具體數(shù)學知識內容中的作用及其具體體現(xiàn)；最后，提出的內容是關于“數(shù)感”這項核心素養(yǎng)在學生學習數(shù)學知識中所能發(fā)揮的功能，也就是“數(shù)感”這項核心素養(yǎng)的教育教學價值之所在。

從“數(shù)感”這項數(shù)學核心素養(yǎng)的界定中，可以清晰地認識到，“數(shù)感”核心素養(yǎng)的作用方式是“直觀感悟”；作用對象的范圍，在于“數(shù)與數(shù)量”“數(shù)量關系”與“運算結果”等數(shù)學內容；“數(shù)感”的教學功能，在于“增強學生學習數(shù)學的好奇心，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣”。由此認識到，“預審稿”對于“數(shù)感”核心素養(yǎng)概念已經(jīng)非常明確。雖然如此，筆者認為，還有很大的必要對于解釋“數(shù)感”概念中的“直觀感悟”內涵加以具體說明，才能幫助廣大一線數(shù)學教師比較徹底地理解作為義務教育課程目標核心素養(yǎng)之一的“數(shù)感”的本質內涵。

筆者在閱讀丹齊克的名著《數(shù)·科學的語言》時，偶然發(fā)現(xiàn)了丹齊克為了揭示一種關于人類感知數(shù)的心理活動內容，引入了“數(shù)覺”(著重號為引者所加——筆者注，下同)這一概念加以表達。現(xiàn)將其相關內容摘錄到這里來：“人類在長期進化的蒙昧時期，就已經(jīng)具有一種才能。對于這種才能，因為沒有更恰當?shù)拿?，我姑且叫它為?shù)覺。由于人有了這種才能，當在一個小的集合里邊，增加或者減去一樣東西的時候，盡管他未曾直接知道增減，他也能夠辨認到其中有所變化?！盵2]很顯然，丹齊克將這種人類感覺到物件數(shù)量上的變化界定了“數(shù)覺”這一概念的內涵。

另外，為了幫助讀者理解與把握“數(shù)覺”概念的內涵，在《數(shù)·科學的語言》這本書中，丹齊克對“數(shù)覺”內涵予以具體例釋，現(xiàn)將其解釋的大意摘要地敘述。其一，大多數(shù)人或許具有這樣的體驗，當你上樓梯時，雖然并未計數(shù)已經(jīng)上到了幾層樓，可是你的兩條腿會告訴你，知道已經(jīng)到了四層樓還是五層樓，這是人的勞累程度提供的信息。其二，一瞥餐桌上所擺的食具你就可能知道它比平常多，這是擺列的圖形傳出的信息。其三，桌上擺出了五粒豆：若均勻排成一直線，彼此相當接近，乍看就不容易看出究竟是四粒、五粒、還是六粒；若排列疏密不勻，則較容易“猜中”；若排成梅花狀，則你大概能“猜中”。這種由于這些經(jīng)驗，都可能會幫助人們形成了具體情境中的“數(shù)覺”。

很顯然，“預審稿”界定的“數(shù)感”這項數(shù)學核心素養(yǎng)的內涵與丹齊克所確定的經(jīng)典的“數(shù)覺”內涵，既存在聯(lián)系，也具有區(qū)別。兩者的區(qū)別的具體表現(xiàn)為：一方面，“預審稿”關于“數(shù)感”數(shù)學核心素養(yǎng)概念的要求比丹齊克確定的“數(shù)覺”概念，從范圍上看要大得多，即除了對于數(shù)與數(shù)量的直接感悟與體驗外(這一意義，可以理解為丹齊克意義上的“數(shù)覺”)，還要求對于數(shù)量關系與運算結果(這兩項內容，超出了丹齊克意義上的“數(shù)覺”的范圍)的直觀感悟。另一方面，從其內涵所限定的質上看也要深入得多，因為“數(shù)感”這一數(shù)學核心素養(yǎng)課程目標，除了包含對于數(shù)與數(shù)量這些要素外，還要求對于數(shù)量關系與運算結果這些要素的直接感悟，這就一定是在受教育者熟練地掌握了十進制計數(shù)與具體數(shù)據(jù)運算以后學段的事情了。否則數(shù)量關系與運算結果便成了無源之水、無本之木。

作為數(shù)學課程目標“數(shù)感”數(shù)學核心素養(yǎng)概念的內涵與丹齊克所界定的“數(shù)覺”概念的內涵也具有內在聯(lián)系。具體地表現(xiàn)為：一方面，丹齊克意義上的“數(shù)覺”是屬于“預審稿”中“數(shù)感”的，即“數(shù)覺”內涵是“數(shù)感”這項數(shù)學核心素養(yǎng)內涵的一項項目性的要素；“數(shù)覺”概念內容是“數(shù)感”概念內涵的一個項目。另一方面，“數(shù)覺”構成了“數(shù)感”這項數(shù)學核心素養(yǎng)中的其他內涵(如“數(shù)量關系”以及“運算結果”)的直接基礎。但是，需要特別注意的是，要想幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”數(shù)學核心素養(yǎng)內涵中的“數(shù)量關系”與“運算結果”這兩個項目性要素，一定需要學生某些數(shù)學能力(或數(shù)學素養(yǎng))的介入，丹齊克意義上的“數(shù)覺”才有可能發(fā)揮相應的作用。這主要是因為，即使是感知某個具體情境中數(shù)量關系，也需要有“數(shù)學抽象”(乃至于使用數(shù)學符號表示等的)能力或素養(yǎng)的介入與輔助，即使是估計“運算結果”而不進行計算，卻也離不開“數(shù)學運算”的知識、技能或素養(yǎng)的介入與輔助。

因此，本研究建議應該將“數(shù)感”這項核心素養(yǎng)的內涵界定為，孩童及其成長為小學生對于使用數(shù)作為判斷客觀對象的思維活動的一項工具，即觀察客觀對象多少或程度(程度對應的應該是“量感”，也構成了“預審稿”的另一項核心素養(yǎng)課程目標，然而，對于孩童或小學生而言，數(shù)與量往往難以準確地區(qū)分開來)的一種心理傾向性，也可以這樣說，“數(shù)感”是對于數(shù)的意識與運用的一種心理傾向性，這種心理傾向性能夠發(fā)展成相關客觀對象之間的量性關系，或者進一步形成感悟或洞察(估計)相關數(shù)字運算的結果。那么，如何通過數(shù)學教學設計及其課堂實施，幫助學習主體養(yǎng)成“數(shù)感”的核心素養(yǎng)的教學目標呢？

二、幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)的教學設計示例

由于“數(shù)感”核心素養(yǎng)概念的基礎性內涵指的是使用數(shù)這一工具觀察客觀對象多少(或者說是對于數(shù)的意識與運用)的一種心理傾向性；在“預審稿”所提供的關于“數(shù)感”概念的內涵中還包括，依據(jù)“數(shù)感”的這種心理傾向性，隨著學生年齡的不斷增長，后來發(fā)展成為考察兩個或幾個客觀對象之間的數(shù)量關系與估計數(shù)據(jù)的具體運算結果。從這種界定“數(shù)感”核心素養(yǎng)內涵中，能夠清楚地認識到，“使用數(shù)觀察客觀對象多少的心理傾向性”是形成“數(shù)量關系”與估計“運算結果”的基礎。

因此，數(shù)學教師在教學設計及其課堂實施時，依據(jù)剛進入小學階段的學生的個性心理特點，培養(yǎng)他們透過數(shù)這一工具，觀察客觀對象的心理傾向性應該置于第一的位置，在此基礎上，數(shù)學教師要考慮到，如何幫助學生將這種“透過數(shù)這一工具觀察客觀對象的心理傾向性”過渡到形成“數(shù)量關系”與估計“運算結果”中去，這就需要數(shù)學教師統(tǒng)籌兼顧，整體安排，形成一種結構性教學的方案，而不能只顧一點、不及其他[3]。這樣才有利于從整體上幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)教學目標。因此，數(shù)學教師在自己具體的教學活動中，必須要將培養(yǎng)學生“對于數(shù)的意識與運用”，即“數(shù)感”核心素養(yǎng)置于基礎性的地位。

在發(fā)生知識認識的諸多設想的方案中，皮亞杰在其名著《兒童心理學》中指出，“在經(jīng)驗主義者看來，發(fā)生知識認識只不過是現(xiàn)實的一種復寫，而理智則也只是單獨從知覺中派生出來的。甚至如偉大的萊布尼茨，他是保衛(wèi)理智而反對感覺主義的，但他仍然采取了這個觀點：他認為即使觀念、判斷和論證的形式不是由‘感覺’產(chǎn)生，而它們的內容則完全是源于感覺”。接著，皮亞杰強調指出：“他們(指‘經(jīng)驗主義者’與‘理智主義者’——引者注)竟忘卻了動作！”[4]

由此可以看出，發(fā)生認識論心理學的發(fā)軔者皮亞杰是關于“經(jīng)驗主義者”與“智力主義者”之間的一個調和主義者，他認為，在學習主體發(fā)生具體知識認識時，既不純粹依靠感覺與知覺，也不純粹依靠理智，而是要依靠操作客觀對象的動作，將感覺或知覺與理智整合起來，從這種操作信息的整合活動中發(fā)生了知識認識。皮亞杰的發(fā)生認識論的理論與實踐的理論，對于剛剛進入校門的小學低年級學生學習數(shù)學知識，特別是形成數(shù)概念的教學活動具有極其重要的指導意義。為了說明如何幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)，這里實錄筆者在小學一年級數(shù)學起始課教學活動的關鍵環(huán)節(jié)：

在小學一年級上學期的開學之初，切合于具體進度的教學內容，筆者據(jù)此曾經(jīng)設計了一個實驗性的幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)的一節(jié)課中的某些關鍵性環(huán)節(jié)：筆者使用20個蘋果作為教具，然后，給張汪同學1個蘋果，給李建軍同學2個蘋果。向全班學生提出了問題，是張汪的蘋果多，還是李建軍的蘋果多？幾乎全體學生立即回答張汪的蘋果多。筆者再給張汪與李建軍各1個蘋果，此時，張汪2個蘋果，李建軍3個蘋果，幾乎所有學生還是判斷李建軍的蘋果多。

接著，筆者將張汪與李建軍的蘋果都收回來了，一次性地給張汪4個蘋果，李建軍3個蘋果，放在筆者的講桌的兩端(兩個同學各在自己的一端)。再問，哪位同學的蘋果多？

這次，學生對于這個問題一段時間的沉默(順便說一句，筆者特別欣賞學生在這種問題面前的沉默，它說明學生正在深度思考)，說明了學生在短時間里對于4個蘋果與3個蘋果這兩個數(shù)分不開了。好在學生沉默了大約100秒，有學生張偉成找到了方法判斷出，張汪的蘋果多，李建軍的蘋果少。張偉成使用的是計數(shù)的方法，即他用3個手指指代了李建軍的3個蘋果，使用4個手指指代張汪的4個蘋果，他發(fā)現(xiàn)了4個手指比3個手指為多，從而據(jù)此作出了正確判斷。

這一判斷結束后，筆者這一次給張汪7個蘋果，給李建軍8個蘋果，擺放在講桌上他們的各自一端，向班級中的所有學生發(fā)問：張汪的蘋果多，還是李建軍的蘋果多？

由于前面的判斷所獲得的經(jīng)驗，學生首先試著使用手指頭指代蘋果，但是依然不知道這兩位同學擁有的兩堆蘋果的多與少。當筆者使用比較3個蘋果與4個蘋果的一種途徑，從這兩堆之中，各自一個對著一個地拿去3個蘋果之后，由4個蘋果的那一堆中，還剩下1個蘋果，那就說明了4個蘋果的那一堆蘋果多。盡管剛剛進入小學一年級學生，也能比較好地理解并掌握這種方法，判斷出張汪的一堆7個蘋果較少，李建軍的一堆8個蘋果較多。

其實，不同的學生在進入一年級之前，就已經(jīng)不自覺地使用一些不同的方法來判斷兩堆客觀對象“數(shù)目”的多少，對于大多數(shù)不同個性的學生來說，這些都沒有形成可操作的系統(tǒng)性的判斷方法，但即使如此，這些不同的方法都是來源于學生所存在的不同性質或層次的“數(shù)感”的外化。因此，學生進入學校接受教育以后，數(shù)學教師應該將這些方法選擇使用典型的例子，將學生在學前感受或接受的這些方法系統(tǒng)化，這是幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)的一種非常好的方法。

選擇合適的教具鼓勵學生按照一定的順序進行操作，對于幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)是一種基礎性的方法。皮亞杰指出，“兒童整個數(shù)量的構成是同序列密切聯(lián)系著的。我們不能因為小孩口頭上會計數(shù)，就認為已懂得數(shù)量了。在小孩心靈中，數(shù)的計量是長期同成分的空間排列聯(lián)結在一起的。有了被操作而得到的‘序列’以后，就會產(chǎn)生把一組物體按成分區(qū)別的幾種小組，各小組并無任何特殊的空間形式，而且小組本身還可分為更小的小組。這些操作客觀對象的活動及其結果，才是產(chǎn)生數(shù)的現(xiàn)實基礎?！盵5]

因此，按照羅素(皮亞杰也是一樣)的設想，數(shù)是經(jīng)由操作客觀對象將一堆具體的對象形成序列，并通過序列進行分類的結果。但在教學設計及其課堂實施中，數(shù)不是“排列”與“分類”的自然結果，而必須要經(jīng)由數(shù)學教師的教學設計處理，只有這樣，才能幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)。由“數(shù)感”外化為確定的數(shù)的心理途徑在于：“第一，根據(jù)序列與分類所得到的成分相類似的有限的對應(例如，一個模型同它的復制之間的對應，左手的大拇指與食指分別對應著右手的大拇指與食指等)；第二，任意的‘一對一’的對應。第二種形式的對應才能引入數(shù)量，因為它們已經(jīng)包含著數(shù)量上的一致性。但是數(shù)量的起源必須從學生發(fā)生學上加以說明?！盵6]

從這個具體教學實例與理論分析的結果，數(shù)學教師應該認識到，“數(shù)感”的萌生，或者已經(jīng)萌生了“數(shù)感”在教學啟發(fā)下外化為固定的數(shù)學知識，這相繼的兩步都繞不過教師啟發(fā)、鼓勵學生操作外在客觀對象的教學活動。其實，皮亞杰將知識分為兩個大類：一類是科學知識(物理、化學)知識——通過操作發(fā)現(xiàn)關于客觀對象本身的知識；另一類為邏輯數(shù)理知識——通過抽象操作客觀對象的操作活動所形成的知識，這種性質的抽象皮亞杰稱之為“反身抽象”，有時又被翻譯為“反省抽象”而得到的數(shù)學知識。因此，要幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)的教學中，數(shù)學教師需要特別注意操作對象中的操作的作用。

三、結束語

本研究將作為義務教育數(shù)學課程目標的“數(shù)感”核心素養(yǎng)的理解為，孩童及其成長為小學生對于使用數(shù)作為判斷客觀對象多少思維活動的一項工具，即觀察客觀對象多少或程度的一種心理傾向性，也可以這樣說，“數(shù)感”是對于數(shù)的意識與運用的一種心理傾向性。由于數(shù)學知識主要是學習主體通過“反身抽象”獲得的，因此，要幫助學生養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)，就需要選擇合適數(shù)學教具(例如，本文中的蘋果)，有利于數(shù)學教師啟發(fā)學生進行操作，從操作活動本身及其操作對象的綜合中，發(fā)生數(shù)的認識，從這種認識過程中，養(yǎng)成“數(shù)感”核心素養(yǎng)?！?/p>