探尋“大概念”，重塑數(shù)學(xué)教學(xué)新樣態(tài)

湖北武漢市光谷第六小學(xué)（430074）胡小鐵

談及概念，相信每一位小學(xué)數(shù)學(xué)教師都不陌生，因為概念是數(shù)學(xué)知識體系最基本的組成部分，也是日常教學(xué)中教師最為重視的知識點之一。可以說基于概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)知識體系建立的重要基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須加強概念的教學(xué)，只有這樣才能幫助學(xué)生夯實數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，雖然說這是大家所公認(rèn)的常識，但在具體實施過程中，概念教學(xué)又常常容易被教師所忽視，這里固然有應(yīng)試原因，同時也有教師的意識原因。多數(shù)教師都知道概念是數(shù)學(xué)知識中最基本的環(huán)節(jié)，在練習(xí)的時候不可能直接考察某一個數(shù)學(xué)概念，因此在教學(xué)的時候就會對概念的教學(xué)有一些淡化。除此之外還有一個原因，那就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識概念繁多，如果在每一個概念的教學(xué)上都花費大量的精力，那么就會擠占數(shù)學(xué)知識運用的時間與空間。

面對這樣的矛盾，能否找到一個行之有效的方法，讓數(shù)學(xué)概念的教學(xué)體現(xiàn)出其應(yīng)有的地位呢？這里可以借鑒一個簡單的思路，那就是抓大放小，即在數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中將關(guān)鍵的概念挑選出來，對其進行精耕細(xì)作，豐富這些概念的教學(xué)過程，讓這些概念在學(xué)生理解整個數(shù)學(xué)知識體系的過程中發(fā)揮提綱挈領(lǐng)的作用。這一思路在近年來的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中已經(jīng)有所體現(xiàn)，也就是所謂的“大概念”教學(xué)。

近年來，以“大概念”為核心的教學(xué)引起了人們的普遍關(guān)注?！按蟾拍睢迸c日常教學(xué)中提及的數(shù)學(xué)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別。站在教師教學(xué)的角度來看，“大概念”又稱為“大觀念”“核心概念”“核心觀念”等。從定義的角度來看，所謂“大概念”，是指能反映學(xué)科本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、功能的中心概念。站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，“大概念”與數(shù)學(xué)概念有著密切的關(guān)系，通俗地講，“大概念”就是能夠讓諸多數(shù)學(xué)概念形成有機聯(lián)系，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中起到牽一發(fā)而動全身的概念。一般來說，“大概念”具有較強的適用性、廣泛的遷移性以及強大的解釋力等。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于探尋“大概念”，提取“大概念”，應(yīng)用“大概念”。其中，探尋“大概念”是“大概念”教學(xué)的前提，提取“大概念”是“大概念”發(fā)揮作用的關(guān)鍵，應(yīng)用“大概念”是“大概念”顯示作用的終極目標(biāo)。教師充分發(fā)揮“大概念”的功能、作用，可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“大概念”建構(gòu)數(shù)學(xué)新知、關(guān)聯(lián)知識結(jié)構(gòu)、突破知識重難點等，讓“大概念”教學(xué)重塑數(shù)學(xué)教學(xué)的新樣態(tài)。

一、應(yīng)用“大概念”建構(gòu)新知

借助于“大概念”實施教學(xué)，不僅僅是為了讓學(xué)生建立起一個概念體系，更是讓學(xué)生在“大概念”的指引下認(rèn)識數(shù)學(xué)概念及其聯(lián)系的過程，體驗數(shù)學(xué)學(xué)科魅力，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。站在整個數(shù)學(xué)知識體系的角度看“大概念”，可以發(fā)現(xiàn)“大概念”是撬動學(xué)生自主學(xué)習(xí)、智能學(xué)習(xí)的一個重要支點。數(shù)學(xué)教學(xué)有一個基本追求，那就是讓學(xué)生獲得一個有意義的學(xué)習(xí)體驗，這個體驗應(yīng)當(dāng)圍繞“大概念”來進行。“大概念”是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的關(guān)鍵點，把握了“大概念”教學(xué)，也就把握了數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)。學(xué)生借助于“大概念”，往往能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中舉一反三、觸類旁通。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘“大概念”的功能，積極地遷移“大概念”，以有效啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)新知。

當(dāng)下，數(shù)學(xué)教學(xué)碎片化、零散化的弊端比較突出，解決這些問題并非依靠延長學(xué)生的學(xué)習(xí)時間，而是要圍繞“大概念”展開數(shù)學(xué)教學(xué)，即以“大概念”為核心，促進學(xué)生自主建構(gòu)新知。很多數(shù)學(xué)知識有著類似的結(jié)構(gòu)，“大概念”往往位于結(jié)構(gòu)的中心，對結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

例如，教學(xué)“圓柱的體積”（人教版六年級下冊）時，教師可以將傳統(tǒng)的探究式教學(xué)改為驗證式教學(xué)，借助學(xué)生通過“長方體的體積”“正方體的體積”等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)所形成的“大概念”——“底面積×高”，引導(dǎo)學(xué)生積極猜想：圓柱的體積可以怎樣計算？在學(xué)生根據(jù)“底面積×高”猜想的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生展開驗證。在這個過程中，學(xué)生應(yīng)用圖形面積轉(zhuǎn)化的方法，將圓柱沿高切開分成若干等份，再把切開的等份分成相等的兩部分拼成近似的長方體，進而推導(dǎo)出圓柱的體積（如圖1）。這個過程充分發(fā)揮了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、能動性，讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)數(shù)學(xué)新知。

圖1

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般來說有兩個過程，即“學(xué)數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”。“大概念”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的錨點。借助于“大概念”，不僅能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)新知，而且能不斷充實、完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分利用“大概念”促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移、轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷自我更新迭代。

二、應(yīng)用“大概念”組織復(fù)習(xí)

由于“大概念”位于“知識塊”“知識群”的中心，教師在教學(xué)中不僅可以應(yīng)用“大概念”建構(gòu)數(shù)學(xué)新知，還可以應(yīng)用“大概念”組織復(fù)習(xí)，將相關(guān)的知識串接或者并聯(lián)起來。復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識，不是簡單地、機械地將相關(guān)知識拼接、拼湊在一起，而是要以“大概念”為核心，將相關(guān)知識整合起來，形成“1+1＞2”的復(fù)習(xí)效果。

在復(fù)習(xí)的過程中，教師首先要研究所復(fù)習(xí)內(nèi)容的“大概念”是什么，再提取“大概念”。一般來說，“大概念”的提取方式主要有“溯源式提取”“關(guān)聯(lián)式提取”“融合式提取”“掛靠式提取”“貫通式提取”等。以“關(guān)聯(lián)式提取”方式為例，在復(fù)習(xí)“數(shù)的運算”（人教版六年級下冊）時，教師可將學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“分?jǐn)?shù)加減法”等相關(guān)內(nèi)容引入其中，引導(dǎo)學(xué)生將其與“異分母分?jǐn)?shù)加減法”法則進行比較。在這個過程中，用“大概念”——“計數(shù)單位”來進行知識的梳理，能讓學(xué)生深刻認(rèn)識到：只有計數(shù)單位相同才能直接相加減。借助于“大概念”，學(xué)生在梳理、復(fù)習(xí)數(shù)的運算相關(guān)知識時，能深刻認(rèn)識“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“分?jǐn)?shù)加減法”“異分母分?jǐn)?shù)加減法”法則背后的算理?？梢姡按蟾拍睢笔顷P(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識的重要聯(lián)結(jié)點。在復(fù)習(xí)中，用“大概念”組織、勾連相關(guān)數(shù)學(xué)知識，能讓零散、碎片化的數(shù)學(xué)知識得到有效的集結(jié)、規(guī)約，從而讓相關(guān)知識形成有機的結(jié)構(gòu)，如并列關(guān)系結(jié)構(gòu)、種屬關(guān)系結(jié)構(gòu)、交叉關(guān)系結(jié)構(gòu)等。

“大概念”是結(jié)構(gòu)化教學(xué)研究的重要組織表征與表達。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師借助于“大概念”，能引導(dǎo)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上建構(gòu)包攝性更強、更廣、更大的知識結(jié)構(gòu)。正如教育心理學(xué)家皮亞杰所說，一切的知識都是按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來展開的，這種結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是完全開放性的……通過不斷對結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，形成更強的結(jié)構(gòu)，或者說是用更強的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化。在教學(xué)中要充分體現(xiàn)出建構(gòu)的作用與意義，也就意味著要尊重學(xué)生的主體地位。而要讓學(xué)生真正成為建構(gòu)的主體，要保證學(xué)生的主體地位，就一定依賴于具體的學(xué)習(xí)過程。當(dāng)數(shù)學(xué)教學(xué)以”大概念“為導(dǎo)向的時候，學(xué)生就可以以“大概念”為基礎(chǔ)，建構(gòu)起各數(shù)學(xué)概念之間的有機聯(lián)系，從而讓數(shù)學(xué)概念變得整體化，具有關(guān)聯(lián)性。從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來看，因為有了這一關(guān)聯(lián)，所以不同的數(shù)學(xué)概念可以形成一個大的知識組織，從而促進學(xué)生有效記憶，擴大學(xué)生的記憶容量。這對學(xué)生的學(xué)習(xí)來說，不僅意味著知識體系的有效建立，同時也意味著復(fù)習(xí)效率的提高。

三、應(yīng)用“大概念”啟迪創(chuàng)新

教育學(xué)家布魯納認(rèn)為，學(xué)科“大概念”應(yīng)當(dāng)能將學(xué)科內(nèi)容精簡為一組命題，也就是學(xué)科的基本骨架。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用“大概念”不僅能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新知以及進行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，而且能引導(dǎo)學(xué)生進行創(chuàng)新。只有通過創(chuàng)新，才能彰顯“大概念”的活力、功能。“大概念”不是數(shù)學(xué)概念的木乃伊，而是學(xué)生進行知識創(chuàng)新的源頭活水、不竭動力。用“大概念”啟迪學(xué)生創(chuàng)新思維，能深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知、理解。

例如，在教學(xué)“多邊形的面積”（人教版五年級上冊）這一單元之后，教師可以借助多媒體課件，引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理知識，讓學(xué)生認(rèn)識到各圖形面積推導(dǎo)的始末，認(rèn)識到圖形的面積是如何應(yīng)用在生活中的。在復(fù)習(xí)的過程中，學(xué)生認(rèn)識到，長方形的面積公式屬于“基礎(chǔ)型公式”，其他的圖形面積公式屬于“導(dǎo)出型公式”，進而把握了圖形面積發(fā)展的脈絡(luò)。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)教師首先呈現(xiàn)“大概念”——梯形的面積公式，再借助多媒體課件引導(dǎo)學(xué)生動態(tài)想象時，學(xué)生提出各種看法，如兩個相同的梯形可以拼成一個平行四邊形，則平行四邊形的底等于梯形的上、下底之和；兩個相同的直角梯形可以拼成長方形或正方形，則長方形的長或正方形的邊長等于梯形的上、下底之和；當(dāng)梯形的上底縮成一個點時，就變成了三角形，則三角形的底等于梯形的上、下底之和?？梢?，借助于“大概念”，能讓學(xué)生對已有知識形成一種創(chuàng)新性的理解，從而讓靜態(tài)圖形的面積動態(tài)化，讓離散的數(shù)學(xué)知識集約化。

又如，當(dāng)學(xué)生擁有了這樣的“大概念”后，在后續(xù)學(xué)習(xí)“圓的面積”這部分知識時，就有學(xué)生進行了大膽的、創(chuàng)新的猜想：“圓的面積是否也能看成梯形的面積來計算呢？”據(jù)此，該名學(xué)生進行化曲為直的動態(tài)想象：先將圓沿直徑為成若干等份，再將其拼成一個近似的梯形。教師則應(yīng)用多媒體課件動態(tài)演示：將圓沿直徑分成20等份，上下拼接成一個近似的梯形（如圖2），梯形的“上底+下底”就是圓周長的一半。在多媒體課件的動態(tài)展示中，全體學(xué)生的思維、想象都被調(diào)動起來，他們積極地應(yīng)用“梯形的面積”進行計算，發(fā)現(xiàn)與直接應(yīng)用圓的面積公式計算的結(jié)果相近，進而有力地證明了該名學(xué)生的這一大膽猜想的合理性。至此，學(xué)生將圓這一曲面圖形與多邊形的面積計算公式整合起來，有效鞏固了這個“大概念”。

圖2

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須高度重視“大概念”的作用，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要能夠在教學(xué)的過程當(dāng)中有效地提取“大概念”，要為“大概念”的教學(xué)設(shè)計一個良好的情境，讓學(xué)生在情境當(dāng)中擁有一個完整的體驗?？紤]到當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而利用“大概念”教學(xué)，正好為學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模創(chuàng)設(shè)一個良好的情境，讓學(xué)生在這樣的情境中經(jīng)歷從一個“大概念”走向一組數(shù)學(xué)概念的過程，進而發(fā)展邏輯推理，形成數(shù)學(xué)建模（廣義的數(shù)學(xué)建模，包括數(shù)學(xué)概念的建立）。因此，“大概念”教學(xué)對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來說，也是有著重要意義的，基于這一點，還需要每一位小學(xué)數(shù)學(xué)教師在實踐的過程當(dāng)中進一步探索與總結(jié)。