滲透數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)策略

陜 西 安 康 市 教 學(xué) 研 究 室（725000）李志

陜西安康市旬陽(yáng)縣城關(guān)第二小學(xué)（725700）涂幾會(huì)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，具體的數(shù)字、算式、四則運(yùn)算的意義、運(yùn)算定律、方程、典型的數(shù)量關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型，從廣義的角度看，數(shù)學(xué)概念、原理和數(shù)學(xué)理論體系都是數(shù)學(xué)模型。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過(guò)程，才能較好地掌握新知識(shí)、形成新思想、積累操作經(jīng)驗(yàn)、提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。如何滲透數(shù)學(xué)模型思想呢？筆者認(rèn)為有以下幾個(gè)策略。

一、巧設(shè)情境，尋找模型的原型

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科?！薄敖?shù)學(xué)模型是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睂?duì)于這兩句話，筆者有自己的理解。第一，數(shù)學(xué)模型源于現(xiàn)實(shí)生活。第二，數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)生活情境與具體事物的高度壓縮、去偽存真、深度抽象后呈現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。第三，數(shù)學(xué)模型可以服務(wù)于生活，是解決生活問(wèn)題的有效工具。由此可見(jiàn)，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想時(shí)離不開(kāi)生活情境，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生活情境，帶領(lǐng)學(xué)生尋找模型的原型。

1.語(yǔ)言敘述

教師若是口頭敘述生活中的情境，在敘述之前，要求學(xué)生認(rèn)真傾聽(tīng)后把重要的數(shù)學(xué)信息寫(xiě)在紙上。例如，吳正憲老師在教學(xué)“小數(shù)的除法”時(shí)，就繪聲繪色地講述：“有4名同學(xué)聚餐，聚餐結(jié)束后李強(qiáng)去付款，給了收銀員100元，收銀員找補(bǔ)3元。4名同學(xué)要平攤聚餐費(fèi)用，另外3人分別要給李強(qiáng)多少元？”吳老師以口述的方式呈現(xiàn)生活情境，再引導(dǎo)學(xué)生將生活情境轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，尋找模型的生活原型。

2.趣味故事

趣味童話故事能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，因此，教師可以編創(chuàng)學(xué)生熟悉且感興趣的數(shù)學(xué)故事，再引導(dǎo)學(xué)生將故事中的情境轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，唐僧師徒的故事、阿凡提的故事等，都是學(xué)生熟悉的故事。

3.圖表圖片

例如，關(guān)于正反比例的知識(shí)的情境可以用圖表呈現(xiàn)，這利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量的變化規(guī)律。又如，“乘法分配率”一課中，用圖片呈現(xiàn)“有一群人去植樹(shù)，每組中的4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹(shù)，2人抬水、澆水，一共有25組，一共有多少人去植樹(shù)”的情境。

4.操作演示

例如，給每名學(xué)生一根長(zhǎng)31.4分米的繩子，讓他們?nèi)ゲ賵?chǎng)圈地，看看誰(shuí)圈出的面積最大，然后生成數(shù)學(xué)問(wèn)題：周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓，哪個(gè)圖形的面積最大？

5.設(shè)計(jì)游戲

例如，教學(xué)“鴿巢原理”一課時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)“搶凳子”的游戲：讓4名學(xué)生搶3張凳子，總會(huì)有2名學(xué)生搶1張凳子。

二、巧設(shè)活動(dòng)，助力模型的建構(gòu)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是生動(dòng)活潑且富有個(gè)性的，學(xué)生應(yīng)該有足夠的時(shí)間去開(kāi)展猜想、推理、觀察、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、驗(yàn)證等活動(dòng)。在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一系列有效的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生能夠充分、自主地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。教師在設(shè)置學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程，又要展示數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過(guò)程，使得學(xué)生親身經(jīng)歷“模型的抽象—模型的應(yīng)用與拓展”的過(guò)程。教師還要設(shè)置想一想、算一算、比一比、做一做、畫(huà)一畫(huà)等多種活動(dòng)，使學(xué)生的聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)、觸覺(jué)等多種感官協(xié)同作用，學(xué)生才能理解研究對(duì)象的本質(zhì)屬性，提取研究對(duì)象的特征以及各種關(guān)系，并將其逐步抽象成數(shù)學(xué)模型。

活動(dòng)四：學(xué)生交流，觀察作品，看看有什么相同之處與不同之處。

活動(dòng)五：如果不用長(zhǎng)方形做道具，你還能說(shuō)出

1 4的意義嗎？

三、巧用抽象，經(jīng)歷建模的過(guò)程

數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)生活或具體事物被高度抽象的產(chǎn)物，沒(méi)有抽象就沒(méi)有數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)是一種思維活動(dòng)，它具有層次性。一般來(lái)說(shuō)，抽象出數(shù)學(xué)模型有三個(gè)階段：第一階段，抽象簡(jiǎn)約情境，根據(jù)事物的內(nèi)在關(guān)系與本質(zhì)特征，將復(fù)雜的情境簡(jiǎn)單化、條理化、數(shù)學(xué)化；第二階段，符號(hào)抽象，去掉內(nèi)容的情境化外衣，利用具體的數(shù)學(xué)符號(hào)、字母、關(guān)系式、圖表等抽象出內(nèi)容本質(zhì)；第三階段，建構(gòu)模型，通過(guò)假設(shè)和推理建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并能夠理解數(shù)學(xué)模型具有的一般意義。教師在課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的形成與發(fā)展過(guò)程這三個(gè)階段，這樣，數(shù)學(xué)模型在學(xué)生的眼中才是有生命力的，學(xué)生才能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的問(wèn)題。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師出示題目：某公司老板定制了5套服裝，1套衣服中的1件上衣100元、1條褲子80元，一共花了多少元？

抽象數(shù)學(xué)模型的過(guò)程：

（1）怎么求總價(jià)？（上衣單價(jià)×5+褲子單價(jià)×5）

（2）還能怎么求總價(jià)？有更簡(jiǎn)潔的算式嗎？［（上衣單價(jià)+褲子單價(jià)）×5=上衣單價(jià)×5+褲子單價(jià)×5］

（3）能不能用一個(gè)等式表示這一類的等式？［（a+b）×c=ac+bc］

又如，在教學(xué)“加減法的意義和各部分之間的關(guān)系”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生將教材中的情境圖轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題“哈爾濱到拉薩的距離是多少”。

抽象數(shù)學(xué)模型的過(guò)程：

（1）用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)要解決什么問(wèn)題。

（2）畫(huà)線段圖表示題意。

（3）根據(jù)線段圖列式，將直觀的線段圖抽象成具體的數(shù)學(xué)符號(hào)算式，用字母表示加法算式。

四、巧用對(duì)比，探究模型的本質(zhì)

每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，每一個(gè)數(shù)學(xué)模型都有獨(dú)特的屬性與特征，但是這些數(shù)學(xué)模型并不是孤立存在于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，模型與模型之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。在教學(xué)的時(shí)候，教師一定要善用對(duì)比，讓學(xué)生在對(duì)比中明確數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，了解各數(shù)學(xué)模型的區(qū)別，從而牢牢記住數(shù)學(xué)模型。

1.在新課的引入環(huán)節(jié)巧用對(duì)比

學(xué)生都是在掌握已有知識(shí)的基礎(chǔ)上構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的。在引入一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型之前，教師要認(rèn)真研究教材以及學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，清楚學(xué)生已掌握的知識(shí)。新課伊始，可以先復(fù)習(xí)舊知識(shí)，以舊引新。例如，在教學(xué)“小數(shù)乘法”之前，先復(fù)習(xí)整數(shù)乘法，回顧整數(shù)乘法筆算的算法，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)情境列出算式，對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容與學(xué)過(guò)的內(nèi)容的不同點(diǎn)：一個(gè)是整數(shù)乘法，一個(gè)是小數(shù)乘法。教師據(jù)此引出新課，板書(shū)課題，為新的模型建構(gòu)奠定知識(shí)基礎(chǔ)。

2.在探究新知的過(guò)程中巧用對(duì)比

例如，教學(xué)“方程”時(shí)，教師先出示一些式子“180+100＜300，180+200＞300，x+180=300，120×2＜300，2x＞300，2x=300，120+60=180，2x+80=320”，再引導(dǎo)學(xué)生思考：“你是怎樣將這些式子分類的？”學(xué)生觀察和操作后把這些式子分成兩大類——等式與不等式。最后，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作，將幾個(gè)等式又分成兩類：含有未知數(shù)與不含未知數(shù)的。這個(gè)時(shí)候，教師提問(wèn)：“為什么這樣分？這兩類等式分別有什么特點(diǎn)？”經(jīng)過(guò)探索和交流，學(xué)生認(rèn)識(shí)了方程的特征，歸納出方程的意義，構(gòu)建了方程的模型。在此基礎(chǔ)上教師可以再次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析：“120+60=180是方程嗎？”學(xué)生答道：“不是，它雖然是等式，但不含未知數(shù)?！苯處熡謫?wèn)：“2x＞300是方程嗎？為什么？”學(xué)生答：“不是，它雖然含有未知數(shù)，但不是等式?！苯處熃又鴨?wèn)：“x÷6=2是方程嗎？為什么？”學(xué)生答：“是，因?yàn)樗群形粗獢?shù)，又是等式。”探究新知的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)式子進(jìn)行了三次判斷，第一次的判斷引出了方程的概念，第二次判斷強(qiáng)調(diào)了方程的概念，第三次的判斷加深了學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。通過(guò)三次對(duì)比，學(xué)生牢固地構(gòu)建了方程模型。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，巧用對(duì)比，可以使學(xué)生輕松實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，實(shí)現(xiàn)新知向舊知的轉(zhuǎn)化；巧用對(duì)比，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系，深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)；巧用對(duì)比，可以發(fā)散學(xué)生的思維，令學(xué)生完善知識(shí)體系，牢固地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

五、巧設(shè)練習(xí)，拓展模型的外延

數(shù)學(xué)通過(guò)自己的語(yǔ)言系統(tǒng)及關(guān)系結(jié)構(gòu)建立起描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的有效模型，幫助人們準(zhǔn)確把握客觀世界。如今的數(shù)學(xué)已突破了傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍，向許多知識(shí)領(lǐng)域滲透，各門(mén)學(xué)科也向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，這里的“滲透”“數(shù)學(xué)化”說(shuō)到底就是數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用。數(shù)學(xué)模型思想的滲透是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，數(shù)學(xué)模型建立以后，教師要設(shè)計(jì)層次性練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的能力，并在運(yùn)用的過(guò)程中加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。

1.利用數(shù)學(xué)模型講生活中的事

通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是借用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的事。例如，“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”就是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生建立這個(gè)模型以后，教師可以讓學(xué)生用這個(gè)模型講講生活中的事，如“1本筆記本的價(jià)格是8元，買4本這樣的筆記本要花8×4=32（元）”“1千克蘋(píng)果的價(jià)格是12元，買3千克蘋(píng)果要花12×3=36（元）”。這種生活中的事，學(xué)生講得越多，就越能理解“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”這個(gè)模型。

2.設(shè)置層次化練習(xí)題

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了“按比分配”后，已構(gòu)建了這類問(wèn)題的模型：已知幾個(gè)量的比與幾個(gè)量的和，求幾個(gè)量分別是多少。對(duì)此，教師可出示練習(xí)：（1）一班共有60人，男生與女生的比是3∶2，男、女生各有幾人？（2）三班去植樹(shù)，分成三個(gè)小組，一共要植樹(shù)48棵，第一小組植了13棵，余下的按照2∶3分給第二小組與第三小組，第二、第三小組各植樹(shù)幾棵？（3）用一根長(zhǎng)48厘米的鐵絲做長(zhǎng)方體的框架，長(zhǎng)、寬、高的比是3∶2∶1，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？設(shè)計(jì)本課練習(xí)題時(shí)要緊抓“按比分配”這類問(wèn)題的解題模型。首先，找準(zhǔn)練習(xí)的起點(diǎn)，每道練習(xí)題都讓學(xué)生尋找?guī)讉€(gè)量的和是多少、幾個(gè)量的比是多少，然后按比分配。其次，注意練習(xí)題的梯度，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，有知識(shí)點(diǎn)單一的練習(xí)題，也有綜合性練習(xí)題，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的解題過(guò)程，循序漸進(jìn)，以練習(xí)促進(jìn)學(xué)生建模能力的提升。最后，關(guān)注練習(xí)的針對(duì)性，關(guān)注學(xué)生的弱點(diǎn)，暴露問(wèn)題，集中研討，抓住按比分配的本質(zhì)，如第（2）題中“幾個(gè)量的和是剩下的部分”。

總之，教學(xué)模型思想的滲透是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，教師在教學(xué)的過(guò)程中，要選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷生活情境到數(shù)學(xué)模型再到模型的拓展這樣一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，使得學(xué)生的綜合素養(yǎng)得到提升。

［1］王光明，范文貴.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

［3］吳正憲.吳正憲課堂教學(xué)教學(xué)策略［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.