基于教材解讀 促進(jìn)思想轉(zhuǎn)化
——例談“排列組合”問題中的數(shù)學(xué)思想滲透

廣西都安縣安陽鎮(zhèn)第二中心小學(xué)（530700）韋玉甜

“數(shù)學(xué)廣角”是人教版教材特別設(shè)置的課程，這類課程看似與數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)不大、專業(yè)性不強(qiáng)，但能將一些平時(shí)難以顧及和滲透的數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)集中地展示出來，學(xué)生通過一些解決問題的方法，感受到數(shù)學(xué)思想方法的魅力，體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)用性。

“排列組合”內(nèi)容也被編入“數(shù)學(xué)廣角”，分設(shè)在二、三年級(jí)教材中，在二年級(jí)的部分在新舊教材中都編排在上冊，在三年級(jí)的部分在舊版教材中編排在上冊，在新版教材中則改到下冊。仔細(xì)對比新舊兩版教材，筆者發(fā)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)層次和呈現(xiàn)方式都有了大幅調(diào)整，主要體現(xiàn)在例題和練習(xí)題上。那么調(diào)整了哪些？哪些維持原樣？調(diào)整的原因是什么？教師該如何調(diào)整教學(xué)思路應(yīng)對這種變化？下面是筆者的一些思考。

一、新舊教材的差異

舊版教材給二年級(jí)的“排列組合”內(nèi)容編寫了3道例題，例1是初級(jí)的排列，例2是基礎(chǔ)的推理，例3是常規(guī)的推理。而新版教材縮減成2道例題。例1要求研究“數(shù)清從1、2、3中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，不準(zhǔn)重復(fù)計(jì)算”，這是一個(gè)基礎(chǔ)的排列問題。例2則在第一題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加大思維難度，讓學(xué)生從5、7、9中任選2個(gè)數(shù)字，與例1不同的是要求出選出的兩數(shù)之和，按照和的種類來統(tǒng)計(jì)組合數(shù)，兩數(shù)之和與兩數(shù)的字碼順序無關(guān)，屬于典型的組合問題。三年級(jí)的這部分內(nèi)容有3道例題，但是新舊教材中例題的次序卻做了調(diào)整，舊版教材是“組合問題—排列問題—組合問題”，新版教材改成“排列問題—組合問題—組合問題”，這樣調(diào)整是為了體現(xiàn)排列組合的邏輯性和系統(tǒng)性。

舊版教材的例1，先出示一張拼擺字卡的插圖，提問“用1、2能擺成幾個(gè)兩位數(shù)”，然后升級(jí)到3個(gè)數(shù)字，問“用1、2、3能擺出幾個(gè)兩位數(shù)呢”，例題雖然充分考慮到了讓學(xué)生動(dòng)手操作，也讓學(xué)生交流展示，卻淡化了邏輯思維過程，沒有將有序排列放到顯眼位置。而新版教材則有所不同，例1直接要求用1、2、3三張字卡組成兩位數(shù)，每張字卡只能用一次，意味著兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字不能相同，求出組成兩位數(shù)的個(gè)數(shù)?？紤]到學(xué)生已具備豐富的有序思考經(jīng)驗(yàn)，例題增強(qiáng)了思維含量，三選二拼擺數(shù)字比拼擺兩個(gè)數(shù)字更具挑戰(zhàn)性，更能訓(xùn)練思維活躍度。

根據(jù)例題要求，學(xué)生不但知道要選2個(gè)數(shù)字，還知道數(shù)字不能重復(fù)，避免了誤解，使得思維集中在排列問題上。教材展示了兩名學(xué)生的探究過程：擺數(shù)卡雜亂查找；借助數(shù)位表，按先后順序逐一挑選數(shù)字，交換順序，有序排查。還展示了學(xué)生組內(nèi)交流展示的情形，“隨機(jī)拼擺有點(diǎn)混亂”“我按表格填數(shù)，井井有條”等討論反映了學(xué)生對自己探究過程的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。學(xué)生通過對比兩種方法的優(yōu)劣，自行歸納出有序思考省時(shí)省力。最后的提示語“怎樣做才能不重不漏”，將對有序思考的關(guān)注和討論推向高峰。全班學(xué)生聚焦這個(gè)問題，再次回顧整個(gè)探究過程，切身體會(huì)到有序思考的優(yōu)越性。另外，在全班討論的氛圍中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)有序思考不是一種個(gè)人習(xí)慣，而是一種共識(shí)。

相比舊版教材，新版教材更注重實(shí)效，以解決問題為導(dǎo)向，先解釋題意，明確目標(biāo)，讓學(xué)生明白拼擺數(shù)字的要求，除了訓(xùn)練對調(diào)位置進(jìn)行有序思考，還釋放了更多自由發(fā)揮的空間，允許創(chuàng)新方法。如此設(shè)計(jì)，不僅給教師的教學(xué)指明了方向，還讓學(xué)生懂得不斷調(diào)整和摸索方法，通過種種對比和嘗試，逐步找到有序思考的最佳途徑。舊版教材二年級(jí)部分的例1后有兩道習(xí)題，一道是組合問題，一道是分類列舉問題。學(xué)生由例1的排列問題直接躍升到分類問題，難度激增，容易找不到思路。而新版教材將排列和組合分設(shè)兩題，循序漸進(jìn)，形成鮮明對比又緊密關(guān)聯(lián)，并每道例題之后都配備了鞏固習(xí)題，讓學(xué)生先模仿再提升，慢慢吸收消化。

二、聯(lián)系前后，嚴(yán)密對接

教師只有了解課程背景，理解編者用心，對例題的編排用意心知肚明，明確其目標(biāo)和重難點(diǎn)，才能精準(zhǔn)施策，做到穩(wěn)步推進(jìn)、不疾不徐、不偏不倚，實(shí)現(xiàn)前后知識(shí)的完美對接。

二年級(jí)上冊的“排列組合”與一年級(jí)下冊“綜合與實(shí)踐”中的“擺一擺，想一想”有著很深的淵源。“擺一擺，想一想”讓學(xué)生通過在數(shù)位表上擺圓片，研究數(shù)位與數(shù)值的關(guān)系，并通過探究圓片數(shù)量與擺出數(shù)字的個(gè)數(shù)的關(guān)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用有序排列的規(guī)律解決問題，在自主探究中感知有序思考的高效性。整個(gè)過程中，學(xué)生利用數(shù)位表，先是拼擺操作，后是邏輯推導(dǎo)，做到了利用有序思考從直觀操作中抽象出形象思維，從2個(gè)圓片的拼擺入手，然后加大難度變成3個(gè)、4個(gè)，再到憑借前期操作積累的經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)的理論推導(dǎo)出用9個(gè)、10個(gè)、11個(gè)圓片擺出的數(shù)字的個(gè)數(shù)。學(xué)生在整個(gè)思維升級(jí)的過程中正視有序思考的巨大潛能。

有了一年級(jí)的預(yù)熱，學(xué)生到了二年級(jí)再學(xué)排列，重提有序思考就師出有名。舊版教材的例題順序雜亂無序，毫無章法，新版教材調(diào)整后則條理清晰，線索明朗。新版教材例1是“用0、1、3、5能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？”，雖說題意、題型沒變，但是難度增加不少，由3選2變成4選2，學(xué)生原有的有序思考經(jīng)驗(yàn)被調(diào)用，而且無論是用分類計(jì)數(shù)法還是分步計(jì)數(shù)法，首位都不能是0，這就涉及排列中的排除特殊情況，需要學(xué)生隨機(jī)應(yīng)變、靈活處理，生搬硬套不再適用，這就間接刺激和考查學(xué)生掌握知識(shí)的情況，凸顯“排列組合”問題的復(fù)雜性和多變性。例2是服裝搭配題，例3是體育中的數(shù)學(xué)，兩道例題都要求用連線來列舉，本質(zhì)是組合問題。這兩道題要求明顯提高，學(xué)生不但要連線，還要學(xué)會(huì)用圖標(biāo)、符號(hào)表示和記錄自己的思路。

用符號(hào)記錄很受學(xué)生歡迎，因?yàn)檫@種介于直觀操作和抽象思維間的思維方式，兼具直觀和形象的優(yōu)勢。學(xué)生通過畫圖、拼圖、連圖等形式，不僅能迅速篩選出所有組合情況，而且能深切體會(huì)到計(jì)數(shù)時(shí)，如何系統(tǒng)、有序、高效地思考問題。更可貴的是，畫圖、擺圖、連線、觀察等操作性強(qiáng)的推導(dǎo)法，在數(shù)學(xué)中具有很強(qiáng)的通用性。

兩個(gè)年級(jí)的“排列組合”內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)一致又各有側(cè)重。二年級(jí)側(cè)重于有序枚舉，三年級(jí)則側(cè)重于用符號(hào)表示排列過程，“排列組合”的邏輯和操作規(guī)則逐漸顯現(xiàn)。

三、綜觀全局，變通處理

“排列組合”問題與生活息息相關(guān)，如抽獎(jiǎng)號(hào)碼的設(shè)置、銀行卡密碼的設(shè)置等。但它又是數(shù)學(xué)中一個(gè)難點(diǎn)，沒有相對固定的萬能公式，而且各種變式變化無窮，因此，數(shù)學(xué)思想方法就顯得特別重要，因?yàn)檫@是唯一以不變應(yīng)萬變的法寶。日常教學(xué)中，教師要做到以下三點(diǎn)。

1.始終貫徹有序思考

有序思考不僅表現(xiàn)在例題教學(xué)中，要讓學(xué)生做題時(shí)也不忘有序思考。如搭配問題“讓學(xué)生用紅、黃、藍(lán)三種顏色，給兩個(gè)雞蛋涂色，一共有幾種方案”，它與數(shù)字排列組數(shù)的例題如出一轍，教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去研究，可以選擇從三種顏色中任取兩種來排序再涂色，還可以選擇其中的一個(gè)雞蛋來涂色，可以從紅、黃、藍(lán)中選擇。同理，另一個(gè)雞蛋也可用同樣的方法去研究，實(shí)現(xiàn)有序思考，助推學(xué)習(xí)進(jìn)步。

接下來是給三個(gè)雞蛋涂三種顏色，這就需要應(yīng)用“定位”和“換位”的單邊有序思考。由此案例教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生學(xué)習(xí)情況來看，滲透“排列組合”數(shù)學(xué)思想方法是非常值得推崇之事。因?yàn)樾W(xué)生學(xué)習(xí)和研究“排列組合”是有相應(yīng)基礎(chǔ)的，也有對應(yīng)的思維水平，只要教師能夠引導(dǎo)到位，就能讓有序思考成為學(xué)生研究問題的經(jīng)驗(yàn)、方法和思維模型。隨著學(xué)生對此方法的建構(gòu)變得愈發(fā)清晰，他們就能用好經(jīng)驗(yàn)、用活數(shù)學(xué)思想方法去探究問題，實(shí)現(xiàn)問題突破，也能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類討論

分類也應(yīng)用在組合問題中，它是按照一定標(biāo)準(zhǔn)先分類，不同的類別里又存在許多并列的具體方法，然后將所有方法數(shù)相加。如解答練習(xí)題“有1角、5角和1元硬幣各一枚，可以組成幾種不同的幣值？”，就需要分類計(jì)數(shù)，先按硬幣數(shù)分成1枚、2枚、3枚三大類，如果問的是任選2枚或3枚硬幣，則是組合問題。按照這種分類法，可組成7種幣值：選1枚硬幣，存在1角、5角、1元三種幣值；選2枚硬幣，存在6角、1元1角、1元5角三種幣值；選3枚硬幣，僅存在1元6角一種幣值。

再如服裝的搭配?？伞跋壬虾笙隆?，先選定1件上衣，然后逐一和下裝搭配，每選1件上衣就有3種情況，2件上衣就有6種；也可“先下后上”，先選定1件下裝，然后逐一和上衣搭配，每件下裝有2種情況，3件下裝一共就有6種情況。由此可見，分類討論思想在“排列組合”問題中發(fā)揮著重要作用。

3.自主選擇表達(dá)方式

“排列組合”問題嚴(yán)格來說是高二的重頭戲，早早出現(xiàn)在小學(xué)教材，并不是向小學(xué)生灌輸什么深?yuàn)W概念。從教材的編寫內(nèi)容看，“排列組合”所有的例題都采用連線、列舉、畫圖等多元化策略來研究，關(guān)鍵點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生初步掌握有序思考、分步計(jì)算的數(shù)學(xué)思想方法。在了解多種研究方法后，學(xué)生能夠思路清晰地分析問題，并準(zhǔn)確地描述，能夠由直觀到抽象地表達(dá)計(jì)算結(jié)果，完全不用套“排列組合”的公式。

以“握手”游戲教學(xué)為例，這是生活中最為常見的現(xiàn)象，但是小學(xué)生對其中的數(shù)學(xué)關(guān)系的理解不是很理性。因此，教師在實(shí)際教學(xué)中就需要從兒童實(shí)際出發(fā)，可以采取現(xiàn)場演示法，幫助學(xué)生了解握手游戲中的一些規(guī)則，感知其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)1號(hào)學(xué)生分別與2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)學(xué)生握手之后，學(xué)生能夠清醒地感知到4個(gè)人握手，1號(hào)學(xué)生握手3次后，后面的人還需要握手的次數(shù)會(huì)減少，2號(hào)學(xué)生再握手2次后，后面的人還需要握手的次數(shù)又會(huì)減少，以此類推。這樣，學(xué)生就很容易悟出排列組合思想方法的應(yīng)用，形成研究該類問題的初步數(shù)學(xué)思維模型，為提高學(xué)習(xí)質(zhì)量奠定基礎(chǔ)，為思維發(fā)展積蓄力量。

四、細(xì)化訓(xùn)練，加速建構(gòu)

筆者以為，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中談起“排列組合”的應(yīng)用，看似不切實(shí)際，但也是有跡可循的。在此，筆者再度結(jié)合小學(xué)教材中的一些例題和練習(xí)，談?wù)勗鯓右龑?dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用這一方法去研究問題，讓小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得更為清晰可見，讓“排列組合”中的數(shù)學(xué)思想方法的積累變得更加扎實(shí)。

1.定位與有序結(jié)合，助力研究深入

以“數(shù)長方形個(gè)數(shù)”教學(xué)為例，在學(xué)習(xí)“長方形認(rèn)識(shí)”之后，教材中就有這類的問題。要幫助學(xué)生較好地研究問題、解決問題，教師就需要在關(guān)注“排列組合”知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生采取有序思考方法，以豐富學(xué)生對“排列組合”中的數(shù)學(xué)思想方法的感知。

比如，引導(dǎo)有序分析，可以從3×2的長方形格開始，讓學(xué)生用有序思考方法，從中悟出：先數(shù)1個(gè)長方形構(gòu)成的長方形，可以數(shù)出6個(gè)長方形；再數(shù)2個(gè)長方形、3個(gè)長方形等構(gòu)成的大長方形。綜合起來，這個(gè)圖形中就一共包含著18個(gè)長方形。以此類推，學(xué)生會(huì)從更多的實(shí)例中探尋到問題內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律以及研究方法。

2.換位與周密分析，助力認(rèn)知建構(gòu)

以“多邊形對角線”教學(xué)為例，教師就需要從“排列組合”這一思想出發(fā)，采取換位思考的策略，引領(lǐng)學(xué)生更為縝密地思考和分析，從中探尋到相應(yīng)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律，為深入探究提供思維支撐和方法保障，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)研究突破，使得學(xué)生數(shù)學(xué)思維得以提升。

教學(xué)中，首先，引導(dǎo)學(xué)生去嘗試，以激活學(xué)生的思維。猜想能夠拓展學(xué)習(xí)視角，讓學(xué)生更有效地進(jìn)入到問題探究之中。其次，搭建交流互動(dòng)平臺(tái)，幫助學(xué)生展示自己，促進(jìn)他們學(xué)習(xí)感知面的拓展和學(xué)習(xí)研究成果的匯聚。比如，學(xué)生采取換位策略，把多邊形分別替換為三角形、四邊形、五邊形等，從具體的多邊形開始研究，為提煉規(guī)律提供研究方向、方法。

總之，在小學(xué)階段的“排列組合”教學(xué)中，教師只要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題用直觀的符號(hào)化方式算出排列數(shù)和組合數(shù)，并能夠初步提煉出思維過程即可，重要的是滲透有序思考和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，這才是小學(xué)階段“排列組合”問題的教學(xué)價(jià)值所在。