“實(shí)際問題與方程（1）”教法新探

江蘇淮安市周恩來紅軍小學(xué)（223200）孫曉平

關(guān)于方程的應(yīng)用，教材設(shè)計(jì)了形如“a±x=b”的方程應(yīng)用題，對(duì)于這類運(yùn)用算術(shù)法可以一步到位的應(yīng)用題，是否有必要用方程來解，或者說用方程來解是否真的更加先進(jìn)和便捷，仍存在較大爭(zhēng)議。一步計(jì)算就可以解決的問題被強(qiáng)令用方程來解題，對(duì)已經(jīng)用慣了算術(shù)法的學(xué)生來說，會(huì)感覺有些多此一舉，不但要寫出煩瑣的“解”與“設(shè)”，還要將直截了當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換成間接的方程表達(dá)，把簡單的問題復(fù)雜化了。這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)方程產(chǎn)生排斥心理，更談不上形成主動(dòng)應(yīng)用意識(shí)了。學(xué)生遇到類似的題目常常會(huì)猶豫不決，詢問老師如何在方程和算術(shù)方法中取舍，因?yàn)樵谒麄冃哪恐蟹匠滩⒉皇且环N解題的技能和工具，反而是一種選擇上的負(fù)擔(dān)，用方程解題并不是出于本意而是迫于無奈。之所以會(huì)出現(xiàn)這種尷尬的局面，其主因在于學(xué)生沒有領(lǐng)會(huì)到方程的原理和優(yōu)勢(shì)所在。鑒于此，在設(shè)計(jì)與執(zhí)教“實(shí)際問題與方程（1）”這一課時(shí)，筆者進(jìn)行了大刀闊斧的改進(jìn)與革新。

一、探尋本質(zhì)，初步體驗(yàn)方程思想

師：果園里，陽桃樹有45棵，比水蜜桃樹多30棵，水蜜桃樹有多少棵？

（學(xué)生獨(dú)立解題，并述說解題思路）

師（隱藏問題，提取條件）：果園里，陽桃樹有45棵，比水蜜桃樹多30棵。

師：陽桃樹和水蜜桃樹的棵數(shù)是什么關(guān)系？

生1：陽桃樹比水蜜桃樹多出30棵。

師：沒錯(cuò)，你能想辦法用一個(gè)式子表示這兩種果樹之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

生2：45-x=30。

生3：x+30=45。

生4：45-30=x。

師：水蜜桃樹的棵數(shù)是未知的，因此可用一個(gè)字母代替，以上三個(gè)式子均能準(zhǔn)確地表示出水蜜桃樹和陽桃樹的棵數(shù)關(guān)系。但是，若是非要挑一個(gè)最好的式子，你覺得哪一個(gè)式子與題目的表述最吻合、最直接？

生5：生2的式子，因?yàn)檫@個(gè)式子是按照題干的語序來呈現(xiàn)其關(guān)系的，即“陽桃樹的數(shù)量-水蜜桃樹的數(shù)量=相差的30棵”。

生6：我覺得生3的式子也不差，不過就是反推一下而已，即“水蜜桃樹的數(shù)量+陽桃樹比水蜜桃樹多出的30棵=陽桃樹的數(shù)量”。

師：相對(duì)而言，生4的式子一步到位算出結(jié)果，與我們的算術(shù)法不謀而合，只不過等號(hào)后面多了個(gè)字母而已。

師：以上的式子在數(shù)學(xué)里有個(gè)專門的稱謂——方程。那么解出這個(gè)方程就可以順利得出什么結(jié)果？

生7：水蜜桃樹的棵數(shù)。

師（小結(jié)）：沒錯(cuò)，剛才我們沒有分析題中的數(shù)量關(guān)系，也沒有進(jìn)行數(shù)量推理，而是將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程，水蜜桃樹和楊桃樹的數(shù)量關(guān)系就蘊(yùn)含在方程里。我們只要求出方程的解，就可以順利解決這個(gè)問題，這就是方程的神奇之處。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生運(yùn)用算術(shù)法解題時(shí)，他們的第一反應(yīng)就是根據(jù)問題逆向搜尋條件，一步步推理，直到將所有的基本條件集齊了，然后再順著線索推導(dǎo)出結(jié)果，其思維經(jīng)歷了一個(gè)正向和逆向的循環(huán)往復(fù)的過程，逆向溯源，正向推導(dǎo)，從而解決問題。這種方法思維復(fù)雜、線索紛繁。而方程思想是先尋找等量關(guān)系，這種等量關(guān)系往往就在字面上，然后根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系建立起抽象的等式，利用含義不特定的數(shù)學(xué)符號(hào)來構(gòu)建方程。因此，方程的內(nèi)涵不在于對(duì)一個(gè)具體情境的刻畫，而是對(duì)某一類數(shù)量關(guān)系的描述，一個(gè)方程可以解決許多個(gè)含有類似數(shù)量關(guān)系的問題，而算術(shù)法解題面對(duì)的只是其中的一個(gè)具體問題。為了揭示方程的抽象性和概括性，教學(xué)從“具體問題”（具體情境中的問題，獨(dú)立解決時(shí)普遍采用算術(shù)法）過渡到“抽象問題”（讓學(xué)生用直接的式子表示數(shù)量關(guān)系）。在對(duì)比中學(xué)生明白，算術(shù)法需要雙向循環(huán)推理，而方程只需要順向推演數(shù)量關(guān)系，按照題目的語意將數(shù)量關(guān)系抽象出來就能得到方程，解方程就能得出最終的結(jié)果。

二、建立模型，初步形成方程思想

【教學(xué)片段1】

師（出示）：張果老種了72棵核桃樹，是種植的水蜜桃樹的3倍。請(qǐng)你用最直白的式子表示兩種果樹之間的數(shù)量關(guān)系。

生1：72÷x=3，3x=72。

師：解出以上兩個(gè)方程，實(shí)際上就等同于求出了什么？

生2：水蜜桃樹的數(shù)量。

師（完整呈現(xiàn)）：張果老種了72棵核桃樹，是水蜜桃樹的3倍。水蜜桃樹有多少棵？

師：韓國制造了128枚洲際導(dǎo)彈，比朝鮮制造的少14枚。用式子表示韓國和朝鮮擁有洲際導(dǎo)彈數(shù)量的關(guān)系。

生3：x-14=128，x-128=14。

師：解出上述兩個(gè)方程，實(shí)際上就等同于求出哪個(gè)量？

生4：朝鮮制造的導(dǎo)彈數(shù)量。

師（完整呈現(xiàn)）：韓國制造了128枚洲際導(dǎo)彈，比朝鮮制造的少14枚。朝鮮制造了多少枚洲際導(dǎo)彈？

師（小結(jié)）：剛才我們?yōu)榱藴?zhǔn)確表示數(shù)量關(guān)系，按照題意列出了含有未知數(shù)的等式，這些等式就是方程。而按照題意列出的方程，就是對(duì)整個(gè)數(shù)量關(guān)系的概括和抽象，因此可以說，方程就是對(duì)某種數(shù)量關(guān)系的抽象表達(dá)。

【設(shè)計(jì)意圖】算術(shù)法是運(yùn)用方程法解題的最大障礙，由于先入為主的刻板印象和定式思維，很多學(xué)生會(huì)固守算術(shù)法不放。為了讓方程思想滲入學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維里，教師特地設(shè)置兩道強(qiáng)化練習(xí)題，讓學(xué)生繼續(xù)用等式來表示數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)方程就是抽象化的等量關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生初步形成方程思想。

【教學(xué)片段2】

師：聯(lián)合軍演中，英國出動(dòng)60艘軍艦，美國的艦船數(shù)量是英國的艦船數(shù)量的2倍多10艘。請(qǐng)你用式子表示出美國和英國出動(dòng)軍艦的數(shù)量關(guān)系。

生：2x+10=60，60-2x=10，60÷2-10=x。

（上述三個(gè)方程中，很明顯前兩個(gè)方程直接表述美英雙方軍艦數(shù)量的關(guān)系，而第三個(gè)式子雖然也有未知數(shù)，但是意圖一步到位地求出英國出動(dòng)軍艦數(shù)量，致使數(shù)量關(guān)系混亂，列式出錯(cuò)）

師：至此，你對(duì)方程是否有了新的看法？

師（小結(jié)）：從第三個(gè)式子來看，如果從結(jié)果出發(fā)，逆推探尋條件再順向推導(dǎo)，過程煩瑣且容易引起思維混亂。而將結(jié)果看作未知數(shù)直接順著題意推演，并抽象出數(shù)量關(guān)系，則方便得多，理解起來也更輕松。

【設(shè)計(jì)意圖】方程思想的長處在于：無論條件多么錯(cuò)綜復(fù)雜，只要用一個(gè)等量關(guān)系串聯(lián)起所有的數(shù)量，那么問題就會(huì)變得無比簡單。因此無論什么問題，一旦使用方程，就可以脫離復(fù)雜的情境，只要專注于解方程，問題自然迎刃而解。在分析本題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，當(dāng)學(xué)生根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)直接用算術(shù)法列式時(shí)，會(huì)拿不準(zhǔn)到底是先處理“多10”還是先處理“2倍”關(guān)系。而此時(shí)如果按照題意順推，就會(huì)知道“英國軍艦數(shù)×2+10艘=美國軍艦數(shù)”或者“美國軍艦數(shù)-英國軍艦數(shù)×2=10艘”，用字母代替未知量，方程就會(huì)“浮出水面”。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，由于有交織在一起的數(shù)量關(guān)系，用算術(shù)法需要經(jīng)歷逆向的復(fù)雜推理，而方程則無須推理。通過這樣一比較，方程的優(yōu)勢(shì)不言而喻。

三、嘗試應(yīng)用，建立完整的方程思想

【教學(xué)片段3】

師（出示圖1）：老師碰到兩個(gè)棘手的問題，你能嘗試用新學(xué)的方程替老師分憂嗎？

圖1

（要求：先自選方法獨(dú)立答題，然后展示交流，最后規(guī)范方程解題的標(biāo)準(zhǔn)格式）

（1）解：設(shè)小明去年身高xcm。

1.53 m=153 cm

x+8=153

x+8-8=153-8

x=145

答：小明去年身高145 cm。

（2）解：設(shè)每分鐘浪費(fèi)xkg水。

半小時(shí)=30分

30x=1.8

30x÷30=1.8÷30

x=0.06

答：每分鐘浪費(fèi)0.06 kg水。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對(duì)方程有更加客觀理性的認(rèn)識(shí)，對(duì)方程的優(yōu)勢(shì)有切身體會(huì)，同時(shí)掌握用方程解題的標(biāo)準(zhǔn)格式，并真正從心底里接納和認(rèn)可方程，形成完整的方程思想。

四、課后反思

史寧中教授曾說，以往的方程教學(xué)存在的很大弊病就是南轅北轍：方程的教學(xué)本應(yīng)從具體情境中抽象出方程表達(dá)式，通過解方程來間接解決實(shí)際問題，而不是先定義抽象的方程，再來賦予其實(shí)際意義。本課的教學(xué)可謂撥亂反正。

首先，植入并強(qiáng)化。如果僅僅把方程看作一種解題方法，它有時(shí)還真不是算術(shù)法的“對(duì)手”，因?yàn)樗阈g(shù)法在學(xué)生頭腦中“盤踞”多年，樹大根深，學(xué)生第一時(shí)間往往會(huì)傾向于算術(shù)法。從某種程度上說，方程僅僅是一個(gè)用“=”連接的等量關(guān)系，而算術(shù)法中的“=”則可以直接導(dǎo)出運(yùn)算結(jié)果。因此方程應(yīng)用的教學(xué)重點(diǎn)不在解題，而在于傳遞一種思想：用含有未知數(shù)的等式將題中的等量連接起來，抽象成一個(gè)可以代表任何類似關(guān)系的方程，而解這個(gè)方程就可以解決問題。

其次，比較并內(nèi)化。方程的“解”“設(shè)”等步驟，以及運(yùn)用等式性質(zhì)解方程的過程看似比算術(shù)法麻煩，令學(xué)生望而卻步，但是，方程的思維過程卻是順向的，簡單直白，不易出錯(cuò)，為了這一優(yōu)勢(shì)付出點(diǎn)書寫上的代價(jià)是值得的。教學(xué)中設(shè)計(jì)了“美英聯(lián)合軍演”的情境，足以凸顯方程思想的優(yōu)勢(shì)。最后通過讓學(xué)生自選方法獨(dú)立完成課本“做一做”的第1、2題，檢驗(yàn)學(xué)生是否真正內(nèi)化吸收了方程思想的精髓。

誠然，本課通過三個(gè)應(yīng)用題來構(gòu)建方程模型，讓學(xué)生初步感知方程的優(yōu)越性，培養(yǎng)了學(xué)生的方程意識(shí)。但方程思想的建立是循序漸進(jìn)的積累過程，并非一日之功，教師還應(yīng)在日常教學(xué)中潛移默化地滲透。