傅里葉級數(shù)的物理具象化課程設(shè)計(jì)

劉 翌

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

“數(shù)學(xué)物理方法”課程旨在講授解決物理問題的有針對性的數(shù)學(xué)方法，以解決普通物理階段尚不需要求解、也未包含在高等數(shù)學(xué)課程中的偏微分方程等，為后繼電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)等專業(yè)課程奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 課程內(nèi)容主要分為兩個(gè)部分[1-6]：復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)物理方程.前者為后者提供解方程所需的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ).

筆者在多次師生溝通交流中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對本課程有一定的直觀感受：大多認(rèn)為復(fù)變函數(shù)是一門“數(shù)學(xué)課”、“缺乏物理”.對于物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，在專業(yè)課程中體現(xiàn)物理場景、運(yùn)用物理規(guī)律、解決物理問題，是保證數(shù)學(xué)與物理知識緊密銜接的必要手段，有助于提升學(xué)生主動(dòng)探索物理問題的積極性，也進(jìn)一步提升了學(xué)生學(xué)習(xí)效果.

復(fù)變函數(shù)的課程內(nèi)容中的傅里葉級數(shù)展開和傅里葉變換既是重要的數(shù)學(xué)工具，也是分析物理量性質(zhì)的常用手段.理解傅里葉分析[7]的思想并能靈活運(yùn)用是此章節(jié)的重要教學(xué)目標(biāo).本文將復(fù)變函數(shù)中傅里葉變換部分內(nèi)容的基礎(chǔ)，即傅里葉級數(shù)展開與具體物理圖像結(jié)合，展示該方法的物理意義，將其定位為物理分析手段，而不僅僅是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算.文中引入生動(dòng)的物理場景，使課程中的物理圖像“具象化”，讓學(xué)生直觀地感受課堂內(nèi)容與具體物理問題的結(jié)合，強(qiáng)化傅里葉級數(shù)展開和傅里葉變換是分析物理量的重要手段的基本思想.

1 引入：課堂實(shí)驗(yàn)

筆者在教學(xué)中逐漸摸索出一種直觀生動(dòng)的“開章”方式，讓學(xué)生先從心理上輕松地接受做傅里葉分析是“日常生活”中常見的操作，是每個(gè)人的“天賦”. 采用課堂演示實(shí)驗(yàn)的方式：使用便攜式的手卷鋼琴(一般可以充電后使用，不受電源限制)現(xiàn)場彈奏演示以下三組聲音.

1) 彈奏中央C的do音，頻率(基頻)為262赫茲，同時(shí)課件演示對應(yīng)波形圖(圖1第一行)；彈奏高八度的do音，對應(yīng)倍頻波形[圖1第二行]；彈奏更高八度的do音，對應(yīng)4倍頻波形(圖一第三行)；然后同時(shí)彈奏這三個(gè)do音，課件顯示三個(gè)波形等幅疊加的波形(圖1中第四行)，呈規(guī)則周期.

圖1 第一組三個(gè)do音及其合奏對應(yīng)的波形.

2) 再次彈奏中央C的do音(圖2第一行)，然后依次彈奏同一個(gè)八度的mi(圖2第二行)和sol音(圖2第三行)，課件同時(shí)顯示對應(yīng)波形；然后合奏這三個(gè)音(C大調(diào)的大三和弦)，顯示等幅疊加波形，也較為規(guī)則(圖2第四行).

圖2 第二組do、mi和sol音及其合奏對應(yīng)的波形.

3) 彈奏三個(gè)相鄰的單音升re(圖3第一行)、mi(圖3第二行)、和fa(圖3第三行)，顯示對應(yīng)波形(頻率相差小)，然后同時(shí)彈奏這三個(gè)音，顯示對應(yīng)等幅疊加波形，在與上兩組相同的區(qū)間內(nèi)完全沒有規(guī)律行為(圖3第四行).

圖3 第三組升re、mi和fa音及其合奏對應(yīng)的波形.

以上波形和聽到的聲音之間有“悅目”和“娛耳”的關(guān)聯(lián)：聽到的聲音和諧悅耳的時(shí)候，看到的波形也是規(guī)則的、有明顯周期性的，如三個(gè)do合奏以及C大調(diào)大三和弦；聽到的聲音刺耳難聽的時(shí)候，看到的波形也不具有明確的規(guī)律性，還可以進(jìn)一步推廣到極端情況，即完全無周期性的白噪音.這樣的關(guān)聯(lián)是直觀生動(dòng)的，向?qū)W生提問怎么理解這樣的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生討論，最終將問題歸結(jié)到我們的耳朵是怎么判斷聲音動(dòng)聽還是難聽的，答案是人類的聽覺系統(tǒng)天生會(huì)做傅里葉分析，先暫時(shí)留個(gè)懸念，待本節(jié)課的后面“揭秘”這項(xiàng)“天賦”.

2 展開：以物理圖像為例

本課主要內(nèi)容是傅里葉級數(shù)展開，數(shù)學(xué)概念的講解完成之后舉例做級數(shù)展開.首先是電子線路中常用的方形波的展開.方形波的數(shù)學(xué)表達(dá)可以用符號函數(shù)sgnx代表，不同的函數(shù)取值(1和-1)代表高電位和低電位.積分運(yùn)算確定展開系數(shù)，得到無窮級數(shù)求和的展開表達(dá)式為

圖4 方形波的傅里葉級數(shù)展開示意圖. 黑色線段表示原方形波，不同灰度曲線對應(yīng)級數(shù)展開求和上限N取不同值的結(jié)果.

再舉例全波整流交流電的傅里葉級數(shù)展開.同樣以展開表達(dá)式作圖(如圖5所示).可以發(fā)現(xiàn)只需兩個(gè)正弦波即可大致疊加出原波形的主要行為.

圖5 全波整流交流電的傅里葉級數(shù)展開示意圖. 黑色曲線為原波形，灰色為級數(shù)展開只取基頻和二倍頻的結(jié)果.

這里所舉的例子都是學(xué)生在普通物理階段接觸過的電波信號，重溫這些物理背景使得學(xué)生加強(qiáng)對本課程的專業(yè)認(rèn)知，而不是將復(fù)變函數(shù)單純地作為一門“數(shù)學(xué)課”來上.

3 深入：以物理分析為目的

以上兩個(gè)例子(方形波和全波整流交流電波)給了學(xué)生直接的認(rèn)知：傅里葉級數(shù)展開可以得到周期波形的基礎(chǔ)頻率成分，雖然理論上有無窮多個(gè)，但是一般前若干項(xiàng)就可以很好地重復(fù)原波形.

在此基礎(chǔ)上重新審視和弦實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.首先需要理解聽覺系統(tǒng)的工作方式[8]：我們的耳朵里有一個(gè)重要的部件叫做耳蝸，在耳蝸的螺旋區(qū)域里，不同位置上的神經(jīng)元對應(yīng)不同頻率的聲音刺激發(fā)放神經(jīng)電位脈沖，傳入大腦形成聽覺.因此，耳蝸相當(dāng)于對聽到的聲音做了即時(shí)傅里葉分析，對其中的各個(gè)主要單音成分分別做出神經(jīng)信號響應(yīng)，等同于我們在對方形波與全波整流交流電做傅里葉變換時(shí)得出若干頻率不同的正弦波，這些正弦波能把原波形(大致)描述出來.

和弦對應(yīng)的信號是三個(gè)單音疊加而成的波形(如圖1-3所示).這個(gè)聲音在聽覺系統(tǒng)里轉(zhuǎn)換為三個(gè)主要成分的頻率.對于圖1第一組聲音，三個(gè)單音之間有簡單的倍頻關(guān)系，這種聲音在樂理上定義為“樂音”，是人類聽覺系統(tǒng)很自然接受的聲音.圖2第二組C大調(diào)的大三和弦的單音頻率的比例大致為4：5：6，簡單的比例關(guān)系對應(yīng)聽覺神經(jīng)較為“和諧”的脈沖發(fā)放，感官上是聽覺系統(tǒng)“喜歡”的“好聽”的聲音.而圖3三個(gè)相鄰的單音之間有很復(fù)雜的比例關(guān)系，約是119:126:133，相當(dāng)“不和諧”的神經(jīng)脈沖發(fā)放導(dǎo)致聽覺系統(tǒng)“不喜歡”這樣的聲音[8].

對課堂實(shí)驗(yàn)的解釋揭示了人類聽覺系統(tǒng)做傅里葉分析的“天賦”，從而進(jìn)一步形象地展示了傅里葉級數(shù)展開可以確定周期性物理量中“基礎(chǔ)頻率”成分，達(dá)到分析本質(zhì)機(jī)制的目的.

4 拓展：傅里葉變換

對于沒有顯然的周期性的物理量，傅里葉級數(shù)展開需要拓展到傅里葉變換才能施行，其核心思想是將其周期視為無窮大，則“基礎(chǔ)頻率”之間的間隔為無窮小，即連續(xù)頻率，無窮級數(shù)展開轉(zhuǎn)化為無窮積分，即傅里葉變換.為了更直觀地展示出傅里葉變換在分析物理量上的應(yīng)用，這里以光脈沖為例展開討論.

通?？梢杂酶咚狗植紒砟M一段光脈沖信號的包絡(luò)，光強(qiáng)與時(shí)間的關(guān)系可記為

(1)

其中ω0是該脈沖的發(fā)生頻率，常數(shù)σ與脈沖的寬度成正比，對應(yīng)波形如圖6左所示.對此光脈沖作傅里葉變換，得

(2)

其中ω即是光脈沖中包含的光的頻率，對應(yīng)的光強(qiáng)與頻率的關(guān)系如圖6右圖所示.由圖可見，在發(fā)生頻率附近仍有最大光強(qiáng)分布，同樣構(gòu)成高斯型，其寬度與σ成反比.光脈沖的寬度，即脈沖持續(xù)時(shí)間與頻率分布寬度成反比.這是光學(xué)分析中一個(gè)很重要的結(jié)論：光脈沖越窄，光的頻率分布越寬.進(jìn)而推及獲得純單色光的物理極限是無限長的光脈沖.

圖6 光脈沖示意圖(左)與對應(yīng)的頻譜分布(右).

光脈沖信號的傅里葉變換一例揭示了傅里葉變換與傅里葉級數(shù)展開同樣的功用：都是用來提取出物理量“本征頻率”的數(shù)學(xué)手段，都是分析物理量本質(zhì)的常用方式.

5 課堂設(shè)計(jì)小結(jié)

本課的核心思想是借助聲音實(shí)驗(yàn)和電波信號分析這兩個(gè)具體的物理案例，充分展示傅里葉級數(shù)展開這一數(shù)學(xué)工具在物理場景中的應(yīng)用；再將傅里葉級數(shù)展開拓展至傅里葉變換，結(jié)合光脈沖的頻譜分析展現(xiàn)傅里葉變換在研究物理量“本征頻率”上的重要應(yīng)用，將課程內(nèi)容定位于解決物理問題的數(shù)學(xué)工具.由于物理圖像在數(shù)學(xué)知識中具體地體現(xiàn)了出來，給學(xué)生彌補(bǔ)上復(fù)變函數(shù)部分“缺乏的物理”，這種物理圖像的“具象化”使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中加強(qiáng)了本課程是物理專業(yè)課的認(rèn)知，對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情有積極的幫助.傅里葉級數(shù)展開和傅里葉變換在后繼課程中有廣泛的應(yīng)用，不僅僅是一種數(shù)學(xué)計(jì)算，課堂上的直觀物理圖像有利于讓學(xué)生達(dá)到靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的目的.