基于直觀想象的后建構(gòu)課堂教學(xué)實(shí)踐研究*
——以“反比例函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題”為例

?江蘇省無(wú)錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校 毛巾鈞

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).其中，利用幾何直觀建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型[1].后建構(gòu)課堂，是指在解構(gòu)學(xué)生已有的知識(shí)，使之被學(xué)生重新認(rèn)知和接受，并在新的認(rèn)知情境下進(jìn)行重組和再構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的課堂.后建構(gòu)教學(xué)是在建構(gòu)主義和后結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下，在新知識(shí)教學(xué)結(jié)束后，幫助學(xué)生建構(gòu)更為完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的課堂教學(xué)[2].

筆者最近觀摩了一節(jié)區(qū)公開(kāi)課“利用幾何直觀解反比例函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題”，對(duì)直觀想象這一核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展有了更深層的理解和體會(huì)，也借此思考并研究后建構(gòu)課堂教學(xué)如何使核心素養(yǎng)的培育真正落地呈現(xiàn)，如何使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有效發(fā)生，如何促進(jìn)高階思維的深層發(fā)展.

2 課堂再現(xiàn)

2.1 課堂引入，回顧知識(shí)

問(wèn)題1由如圖1你能想到什么？

圖1

生：這是反比例函數(shù)的圖象，雙曲線.

問(wèn)題2你能求出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式嗎？

生：不能.

問(wèn)題3如何添加一個(gè)條件，可以求出它的表達(dá)式？

生1：給出一個(gè)具體的點(diǎn)，比如圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3).

教師解釋了所謂“幾何直觀”是指“我們能直接觀察到的有關(guān)圖形(圖象)的信息”，并在以上問(wèn)題串的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課的課題：利用幾何直觀解反比例函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題.在教學(xué)過(guò)程中，教師逐步板書(shū)本節(jié)課復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的主要內(nèi)容，如圖2.

圖2

2.2 回顧結(jié)論，引出模型

教師出示兩個(gè)基本圖形，如圖3和圖4，通過(guò)個(gè)別提問(wèn)，讓學(xué)生回顧與三角形面積有關(guān)的基本結(jié)論.

圖3

圖4

模型1：一點(diǎn)一線.

教師出示兩張變式圖，如圖5和圖6，求陰影部分的面積.

圖5

圖6

在圖5中，大部分學(xué)生能想到通過(guò)平行得到同底等高的兩個(gè)三角形面積相等進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求△OAC的面積.教師引導(dǎo)學(xué)生借助基本結(jié)論小結(jié)歸納此模型“在一條雙曲線上取一個(gè)點(diǎn)，得到的三角形或四邊形的面積問(wèn)題”，并得出解決面積問(wèn)題的方法1：平行線→等積轉(zhuǎn)化→基本圖形.

模型2：兩點(diǎn)一線.

如圖7和圖8，增加有關(guān)圖形面積的具體條件，利用基本圖形解決面積和差問(wèn)題.歸納此模型為：在一條雙曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，得到的三角形和四邊形的面積問(wèn)題.其中四邊形的面積和差問(wèn)題設(shè)置了類比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生類比三角形的面積問(wèn)題自己畫(huà)圖設(shè)問(wèn)并求解.在解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上歸納得出解決面積問(wèn)題的方法2：割補(bǔ)法.

圖7

圖8

模型3：兩點(diǎn)兩線.

如圖9和圖10，教師歸納此模型為：分別在兩條雙曲線上各取二個(gè)點(diǎn)，得到的三角形和四邊形的面積問(wèn)題.其中四邊形的面積問(wèn)題同模型2一樣，設(shè)置了類比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生類比三角形的面積問(wèn)題自己畫(huà)圖設(shè)問(wèn)并求解.

圖9

圖10

2.3 綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題

圖11

圖12

圖13

2.4 總結(jié)歸納，能力提升

教師總結(jié)歸納，如表1

表1 模型歸納表

3 課后思考

3.1 直觀想象引起知識(shí)的發(fā)生

笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，尤其是函數(shù)圖象問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)最為明顯.本節(jié)課全程僅用十幾張圖解決一系列反比例函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題，充分體現(xiàn)了幾何直觀的震撼力.本節(jié)課在引入環(huán)節(jié)，從較為熟悉的一目了然的雙曲線入手，喚起學(xué)生對(duì)舊知的回憶，并在此基礎(chǔ)上引起學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖象中的面積問(wèn)題展開(kāi)深入研究.

3.2 直觀想象促進(jìn)知識(shí)的發(fā)展

通過(guò)直觀想象，學(xué)生進(jìn)一步建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建反比例函數(shù)圖象下面積問(wèn)題的直觀模型，從模型1(一點(diǎn)一線)到模型2(兩點(diǎn)一線)到模型3(兩點(diǎn)兩線)，構(gòu)建一系列模型，均根據(jù)基本圖形來(lái)解決問(wèn)題.形成的若干直觀模型，可促進(jìn)學(xué)生對(duì)反比函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題的掌握，并能總結(jié)歸納計(jì)算面積問(wèn)題的3種方法.

3.3 直觀想象助力知識(shí)的運(yùn)用

在綜合運(yùn)用環(huán)節(jié)，由直觀的基本模型圖再次深入探究，借助幾何直觀理解問(wèn)題，以形助數(shù)，在具體的問(wèn)題情境中形成數(shù)學(xué)直觀從而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.在求解斜三角形的面積問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能夠根據(jù)幾何直觀利用模型結(jié)論，化復(fù)雜圖形為基本圖形，化未知為已知，在知識(shí)的綜合運(yùn)用中進(jìn)一步掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及面積問(wèn)題的求解.

3.4 直觀想象促成知識(shí)的歸納

本節(jié)課研究反比例函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題是在幾何直觀的大背景下展開(kāi)的，從直觀觀察到方法提煉到思維提升，層層遞進(jìn)，層層落實(shí)，很好地將基本知識(shí)、基本技能、基本方法、基本思想落實(shí)到位.將零散的知識(shí)形成框架結(jié)構(gòu)，方法和思想融合其中，促成學(xué)生對(duì)知識(shí)的歸納和建構(gòu)，真正意義上使得核心素養(yǎng)落地，深度學(xué)習(xí)發(fā)生.

4 后建構(gòu)再探

如何使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地呈現(xiàn)，如何使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有效發(fā)生？借助對(duì)本節(jié)課的思考，筆者從以下三個(gè)方面對(duì)核心素養(yǎng)背景下的后建構(gòu)課堂教學(xué)進(jìn)行再探.

4.1 以素養(yǎng)為指向設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

后建構(gòu)課堂往往承載著對(duì)知識(shí)的回顧與再構(gòu)、鞏固與再生.如，本節(jié)利用幾何直觀解反比例函數(shù)圖象下的面積問(wèn)題，在教學(xué)設(shè)計(jì)中融入直觀想象這一核心素養(yǎng)，更確切地說(shuō)，是將直觀想象這一核心素養(yǎng)貫穿始終.它既是解決函數(shù)圖象中面積問(wèn)題的工具，又是素養(yǎng)的外顯表現(xiàn)，是方法也是目標(biāo)，是一以貫之的內(nèi)線也是重要方法之一.不妨拓展一下，在初中階段有關(guān)函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的專題復(fù)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法，而直觀想象是發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的重要手段，它能夠有效地建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀理解問(wèn)題.函數(shù)問(wèn)題中有關(guān)圖形(圖象)的問(wèn)題，比如圖象的交點(diǎn)、圖象的性質(zhì)、圖形的周長(zhǎng)面積、圖形的存在性等都需要借助直觀想象來(lái)理解并解決問(wèn)題.它既是重要手段，也是理解和解決問(wèn)題的基本素養(yǎng).

4.2 以素養(yǎng)為手段制定教學(xué)模式

核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué)模式大致分為四個(gè)環(huán)節(jié)：(1)知識(shí)梳理，(2)建立模型，(3)模型運(yùn)用，(4)總結(jié)歸納.以本節(jié)課為例，首先梳理反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，最好能形成網(wǎng)絡(luò)框架;其次建立兩個(gè)基本模型并在此基礎(chǔ)上建立三個(gè)變式模型(一點(diǎn)一線、兩點(diǎn)一線、兩點(diǎn)兩線);然后綜合運(yùn)用模型解決復(fù)雜問(wèn)題，即通過(guò)達(dá)成度進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?最后總結(jié)歸納模型的運(yùn)用、方法的掌握、思想的滲透等.整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程經(jīng)歷學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用到知識(shí)建構(gòu)，四個(gè)環(huán)節(jié)相輔相成，呈現(xiàn)直觀想象這一核心素養(yǎng)在解決問(wèn)題中的中心位置.幾何直觀貫穿學(xué)習(xí)過(guò)程的始終，在學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中盡情展開(kāi)，絕不是一點(diǎn)一滴地滲透，而是通過(guò)一系列圖形、一系列模型將幾何直觀這一核心素養(yǎng)充分呈現(xiàn).從圖形入手，以直觀為手段，幫助學(xué)生分析和解決反比例函數(shù)圖象下與比例系數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題.

4.3 以素養(yǎng)為目標(biāo)落實(shí)問(wèn)題的解決

素養(yǎng)的落地呈現(xiàn)最終的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是什么？解決問(wèn)題.直觀想象有助于建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.在本節(jié)課中，如果最終能增加一個(gè)解決問(wèn)題的環(huán)節(jié)，也就能真正使素養(yǎng)落地呈現(xiàn)，比如解決一個(gè)實(shí)際生活中與反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題(諸如八省聯(lián)考中的有關(guān)大興機(jī)場(chǎng)的問(wèn)題).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是為了解決問(wèn)題，尤其是解決具有生活價(jià)值的問(wèn)題.我們需要讓學(xué)生了解怎樣的知識(shí)才是有價(jià)值的.生活和未來(lái)都充滿不確定性，而確定的方法、技能、素養(yǎng)能夠幫助學(xué)生解決這些問(wèn)題，這才是最有價(jià)值和意義的.在核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué)，要走出課堂，走進(jìn)生活.解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，而直觀想象是數(shù)和形的橋梁，數(shù)形結(jié)合形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中解決問(wèn)題從而使得核心素養(yǎng)真正落地呈現(xiàn).

5 結(jié)語(yǔ)

核心素養(yǎng)背景下的后建構(gòu)課堂教學(xué)，在不斷實(shí)踐和積累中彰顯它獨(dú)特的魅力，使得核心素養(yǎng)可觀測(cè)、可評(píng)價(jià)、可呈現(xiàn)、可落地，這樣的課堂教學(xué)要形成的課堂形態(tài)、教學(xué)范式需要持續(xù)地認(rèn)真探索和實(shí)踐，只有這樣六大核心素養(yǎng)才能真正意義上在課堂教學(xué)中落地，才能促進(jìn)學(xué)生的深度、高效學(xué)習(xí)，促進(jìn)思維的高階發(fā)展.