抽象函數(shù)的幾類常見問題及其解法

李佳坤

(云南省曲靖一中沾益清源學(xué)校，云南曲靖，655000)

什么是抽象函數(shù)呢？抽象函數(shù)就是指沒有具體的函數(shù)解析式但知道某些性質(zhì)的函數(shù)，但因為其具有強(qiáng)烈的抽象性、復(fù)雜性導(dǎo)致很多學(xué)生在遇到這類型的問題時思路混亂，對與其性質(zhì)有關(guān)的問題更是無從下手，為了幫助同學(xué)們弄懂抽象函數(shù)的相關(guān)問題，本文對此作些探討.

1 抽象函數(shù)的定義域問題

抽象函數(shù)的定義域問題，等價于復(fù)合函數(shù)定義域問題，可以細(xì)分為三種類型，但其主要形式為利用已知函數(shù)f(x)的定義域，求解函數(shù)f[g(x)]的定義域或者已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域.求解抽象函數(shù)定義域的主要思路為：① 根據(jù)實際問題分析函數(shù)f(x)或f[g(x)]的定義域；② 利用復(fù)合函數(shù)的定義域進(jìn)行求解，例如f(x)的定義域等于g(x)的值域，解出g(x)中自變量的取值范圍，即等價所求的定義域.

例1當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域等于[1，2]，試確定函數(shù)f(x+1)的定義域.

剖析本題已知原函數(shù)的定義域，則直接可得函數(shù)f(x+1)為[1，2]進(jìn)而解得f(x+1)的定義域為[0，1].

解析因為f(x)的定義域等于[1，2]，

所以：1≤x+1≤2，

解之得：0≤x≤1，

因此，函數(shù)f(x+1)的定義域等于[0，1].

剖析本題已知函數(shù)y=f(x)的定義域，則根據(jù)f(x)中x與f(log2x)中l(wèi)og2x的意義相同即可得到log2x的取值范圍，進(jìn)而解得函數(shù)f(log2x)的定義域.

2 抽象函數(shù)的值域問題

抽象函數(shù)的值域問題，利用函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則的關(guān)系求解，對應(yīng)法則和函數(shù)的定義域相同，則該函數(shù)的值域也一定相互對應(yīng)(因為自變量的變化只影響函數(shù)圖象的橫向取值范圍，并不影響縱向取值范圍).求解抽象函數(shù)值域的主要思路為：① 根據(jù)實際問題分析原函數(shù)的值域；② 分析原函數(shù)與所求函數(shù)之間的定義域?qū)?yīng)法則是否一致，相對應(yīng)時，原函數(shù)的值域即等于所求函數(shù)的值域.

例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域為[-1，1]，則函數(shù)y=f(3x+2)的值域為.

剖析根據(jù)函數(shù)y=f(3x+2)和y=f(x+1)中的定義域?qū)?yīng)法則完全相同，就可以直接得到函數(shù)y=f(3x+2)的值域.

解析由題意可得：y=f(x+1)的值域為[-1，1]，

∴y=f(3x+2)的值域也為[-1，1].

拓展訓(xùn)練2：若函數(shù)y=f(x+2)的值域是[-2，2]，則函數(shù)y=f(5x+3)的值域為.

剖析本題根據(jù)題意已知原函數(shù)值域為[-2，2]，且函數(shù)y=f(x)與y=f(5x+3)的對應(yīng)法則相同，故函數(shù)y=f(5x+3)的值域不變.

解析由題意可得函數(shù)y=f(x+2)的值域是[-2，2]，

將y=f(x+2)向右平移兩個單位，即得y=f(x)的圖象，值域是[-2，2]，

要得到函數(shù)y=f(5x+3)，需要先將函數(shù)y=f(x)擴(kuò)大到原來的5倍，

即y=f(5x)，

再將y=f(5x)的圖象向左平移三個單位，

即得y=f(5x+3)的圖象，

∵函數(shù)y=f(5x+3)與函數(shù)y=f(x+2)的定義域?qū)?yīng)法則相等，

因此，函數(shù)y=f(5x+3)的值域也是[-2，2].

3 抽象函數(shù)的周期性問題

例3f(x)是一個R上的奇函數(shù)，且恒有f(x-4)=-f(x)成立，已知該函數(shù)在區(qū)間[0，2]內(nèi)是單調(diào)遞增，如果在固定區(qū)間[-8，8]內(nèi)方程f(x)=m(m>0)上有四個不等根x1、x2、x3、x4，那么x1+x2+x3+x4=.

剖析本題的關(guān)鍵在于利用周期和對稱軸表示出x1、x2、x3、x4任意兩數(shù)之間的和，函數(shù)f(x)的周期為8且對稱軸為x=2，且在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞增，如圖1所示，則有x1+x2=-12，x3+x4=4，繼而求解.

解析由題意得，f(x)是奇函數(shù)，且恒有f(x-4)=-f(x)，

∴f(x-4)=f(-x)，

∴函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2對稱，且f(0)=0，

又∵f(x-4)=-f(x)可知：f(x-8)=f(x)，

∴函數(shù)f(x)的周期為8，

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]中單調(diào)遞增，

∴f(x)在區(qū)間[-2，0]上也單調(diào)遞增，

如圖1所示，

圖1

∴當(dāng)方程f(x)=m(m>0)上有四個不等根x1、x2、x3、x4時，令x1

根據(jù)函數(shù)的對稱性可得：x1+x2=-12，x3+x4=4，

綜上所述，x1+x2+x3+x4=-8.

剖析首先解題時要對所給條件進(jìn)行分析，將問題中所給的偶函數(shù)性質(zhì)以及對稱性質(zhì)用具體解析式表示，則有f(x)=f(2-x)和f(x)=f(-x)，此時可得到f(2-x)=f(x)=f(-x).通過替換變量的方式，將其關(guān)系等式轉(zhuǎn)化為f(x+T)=f(x)的形式，即可求出問題的周期性，也能證明f(x)是周期函數(shù).

解析∵y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

∴f(x)=f(2-x)，

又∵f(x)是一個偶函數(shù)，即f(x)=f(-x)，

則有f(-x)=f(2-x)，x∈R，

用x替換上式中的-x替換即得：f(x)=(x+2)，

綜上可知，f(x)是周期函數(shù)，且周期等于2.

4 奇偶性問題

抽象函數(shù)的奇偶性相關(guān)問題在考題中也經(jīng)常出現(xiàn)，通常以選擇題形式進(jìn)行命題.求解抽象函數(shù)奇偶性，應(yīng)牢牢把握奇偶函數(shù)的定義，從而進(jìn)行解題.解題的思路具體為：① 對問題所給的關(guān)系等式進(jìn)行分析，將變量替換為相反數(shù)，得到與問題所求函數(shù)對應(yīng)的具體解析式；② 若f(-x)=-f(x),函數(shù)則為奇函數(shù)；若f(-x)=f(x),函數(shù)則為偶函數(shù)，判斷所求函數(shù)的奇偶性質(zhì)；③ 根據(jù)所求函數(shù)對應(yīng)的具體奇偶性，求出問題所求的值的大小.

例4已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，則f(1)+g(1)=( ).

A.-3 B.-1 C.1 D.3

剖析本題主要考查函數(shù)奇偶性的理解和運用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的特點對原f(x)、g(x)變形，得到與其等價的函數(shù)，結(jié)合已知條件代入x=1即可正確求解.

解析由題意可得：f(x)=f(-x)，g(x)=-g(-x)，

∴f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)，

∵f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1，

∴f(1)+g(1)=1.

拓展訓(xùn)練4：已知函數(shù)g(x)、f(x)都是奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=af(x)+bg(x)+4(a、b∈R)，且F(-1)=5，則F(1)=.

A． -5 B.-1 C.3 D.4

剖析由于問題對函數(shù)具體值進(jìn)行求解，則應(yīng)求出F(x)=af(x)+bg(x)+4的奇偶性質(zhì).解析式中包含有常數(shù)4使求解復(fù)雜化，故將af(x)+bg(x)提取構(gòu)造函數(shù)h(x)，判斷h(-x)與h(x)的關(guān)系，得到對應(yīng)奇偶性質(zhì).結(jié)合F(-1)=5即可得到h(-1)的值，根據(jù)奇偶性質(zhì)得到h(1)的大小，即可求出F(1)=h(1)+4的具體值的大小.

解析設(shè)h(x)=af(x)+bg(x)，

∵h(yuǎn)(-x)=af(-x)+bg(-x)=-(af(x)+bg(x))=-h(x)，

∴函數(shù)h(x)為奇函數(shù)，

又∵F(-1)=5，

∴F(-1)=h(-1)+4=5，

可得h(-1)=1，

故F(1)=h(1)+4=-1+4=3.

5 對稱性問題

抽象函數(shù)對稱性問題的解答，主要圍繞對稱性對應(yīng)的關(guān)系等式展開求解，例如函數(shù)f(x)關(guān)于(a，b)對稱則有等式f(x)+f(2a-x)=2b，運用該關(guān)系等式能求解抽象函數(shù)的對稱性問題.具體的解題思路為：① 對問題所給條件進(jìn)行分析，結(jié)合具體的對稱關(guān)系等式，判斷所求函數(shù)f(x)的具體對稱直線或?qū)ΨQ點；② 利用推導(dǎo)已知的對稱直線或?qū)ΨQ點，求出問題所求的具體值的大小，對問題做出解答.

例5若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x)，則函數(shù)y=f(x-1)與函數(shù)y=f-1(x-1)的圖象為( )

A.關(guān)于直線y=x對稱

B.關(guān)于直線y=x-1對稱

C.關(guān)于直線y=x+1對稱

D.關(guān)于直線y=1對稱.

剖析本題需要根據(jù)已知函數(shù)的函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)為y=f-1(x)的圖象推斷，根據(jù)左加右減原則，得到函數(shù)y=f(x-1)與其反函數(shù)的對稱軸.

解析由題意可得：原函數(shù)y=f(x)和反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

∵函數(shù)y=f(x-1)與函數(shù)y=f-1(x-1)等價于將原函數(shù)y=f(x)及其反函數(shù)為y=f-1(x)的圖象同時向右平移一個單位，

∴它們的對稱軸也對應(yīng)向右平移一個單位，

∴函數(shù)y=f(x-1)與函數(shù)y=f-1(x-1)的對稱軸為y=x-1，

故正確選項為B選項.

拓展訓(xùn)練5：已知函數(shù)y=f(x)對任意的x都滿足f(3+x)=f(3-x)，且方程f(x)=0時有六個不同的解，試確定這六個解相加的值.

剖析對問題已知條件進(jìn)行分析，可發(fā)現(xiàn)關(guān)系等式f(3+x)=f(3-x)可推導(dǎo)出函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=3對稱，此時可利用該對稱軸進(jìn)行解題.由于f(x)=0有6個不同解，可推斷這6個解分別關(guān)于x=3對稱，此時可得到對應(yīng)的關(guān)系等式，根據(jù)關(guān)系等式求出問題所求的最后值即可.

解析∵f(3+x)=f(3-x)對任意x均成立，

∴函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對稱；

又∵f(x)=0時的6個實數(shù)根一定關(guān)于直線x=3成兩兩對稱，

∴x1+x6=6、x2+x5=6、x3+x4=6，

則x1+x6+x2+x5+x3+x4=18.

關(guān)于抽象函數(shù)的問題，求解其周期性、定義域和值域是最基本的問題，除此之外，求解抽象函數(shù)的單調(diào)性問題、抽象函數(shù)的奇偶性問題等等也是?？嫉膯栴}，因為抽象函數(shù)沒有具體的函數(shù)式的特點，所以考查其基本性質(zhì)的題目難度會比其他函數(shù)更復(fù)雜一點.抽象函數(shù)的性質(zhì)都有對應(yīng)的關(guān)系等式，對這些等式的熟悉也是解題要求的一部分.與抽象函數(shù)有關(guān)的考題中，最常考的知識就是抽象函數(shù)的性質(zhì)，因為抽象函數(shù)沒有具體的函數(shù)表達(dá)式，所以其抽象性比其他函數(shù)更強(qiáng)，對學(xué)生的邏輯思維能力要求更高，更能考查學(xué)生的思維嚴(yán)密性.因此同學(xué)們應(yīng)更加需要重視關(guān)于抽象函數(shù)的性質(zhì)問題求解思路的學(xué)習(xí)與形成.