豐富問題情境探尋等量關(guān)系
——《實際問題與方程例1》素養(yǎng)進階習題展評與教學建議

文|葉 青 崔丹青 宋煜陽

一、習題展評

●習題一

1.習題內(nèi)容。

已知九宮格中每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字和都相等，求出x 的值。

（1）列出的方程是________。

（2）求出x 的值為（ ）。

（3）請你把這一結(jié)果當作已知數(shù)進行檢驗。

2.能力指向。

等量關(guān)系的尋找。通過數(shù)形結(jié)合理解題意，建立等量關(guān)系列出方程，培養(yǎng)學生推理意識和驗算反思意識。

3.學情分析。

對城區(qū)小學30 名學生進行了后測。第（1）小題除了個別學生看不懂題意外，絕大多數(shù)學生能結(jié)合圖文信息找出等量關(guān)系，列出方程。方程主要集中在①2.4＋3.4＋2.0＝3.4＋x＋1.8②3.4＋x＋1.8＝7.8③x＋1.8＝2.4＋2.0 這三種，其中方程③在方程①的基礎(chǔ)上運用等式的性質(zhì)進行推理：觀察發(fā)現(xiàn)共用數(shù)字3.4 可以去除，只要另外兩個數(shù)相加的和相等即可，這樣更加簡便。第（2）（3）小題，少部分學生方程正確但求解錯誤，只是把答案抄入，沒有進行計算檢驗，屬于無效驗算。

●習題二

1.習題內(nèi)容。

（1）上述四幅圖中，能用方程x＋30＝180 來解答的有（ ）（填序號）。

（2）明明說：圖②應(yīng)該用方程x－30＝180 來解答，你同意他的想法嗎？為什么？

2.能力指向。

對不同數(shù)量關(guān)系的分析。將方程、角的度量、數(shù)軸以及生活實際相結(jié)合，考查學生綜合運用數(shù)學知識分析數(shù)量關(guān)系的能力，初步形成模型思想。

3.學情分析。

第（1）小題錯誤主要集中在圖①和圖④的判斷上。結(jié)合訪談，沒有選圖①的學生分兩種：一是看不懂題意；二是聚焦于整個周角，認為方程應(yīng)該是2x＋30×2＝360。沒有選圖④的學生題意理解有誤，認為x 表示的是“一段數(shù)是x”而不是一個點上的數(shù)，方程應(yīng)該為3x＝180。

第（2）小題所有參測學生都選擇同意，但在理由表達上有差異。大部分學生能從等量關(guān)系“原價－優(yōu)惠的金額＝現(xiàn)價”說明原因。少部分學生出現(xiàn)如下情況：①認為優(yōu)惠券是減少的錢，所以現(xiàn)價肯定比原價少，求少的用減法；②只提到了求現(xiàn)價用減法。

綜合以上分析，當練習材料把數(shù)與代數(shù)、空間與圖形的有關(guān)元素進行融合，學生對等量關(guān)系的提取產(chǎn)生了一定困難。

●習題三

1.習題內(nèi)容。

共享單車的廣泛使用正不斷改變?nèi)藗兊某鲂蟹绞?。近日某市根?jù)本市情況調(diào)整了共享電單車的計價方式，如下表。

請你根據(jù)兩位同學的對話計算a 和b 的值。

2.能力指向。

真實情境的實踐應(yīng)用?？疾閷W生解決生活實際問題的能力。能在比較中感受方程與算術(shù)思維的區(qū)別，體會順向思維的優(yōu)勢；同時激發(fā)應(yīng)用方程解決問題的興趣，提高應(yīng)用意識。

3.學情分析。

根據(jù)學生解決問題的具體表現(xiàn)，劃分為五個水平層級，如表1。

本題綜合性較強，涉及ax＝b和ax＋b＝c 兩種方程類型。題目信息量比較大，又與分段計費解決問題相結(jié)合，部分學生題目理解存在困難，出現(xiàn)算術(shù)方法與方程方法不能切換的現(xiàn)象。

二、教學建議

1.創(chuàng)設(shè)多樣情境，培養(yǎng)應(yīng)用意識。

教學中，一方面要用好教材資源，將數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等領(lǐng)域知識與方程解決問題有機整合，相互聯(lián)系，圖文并茂；另一方面可以提供一些真實、富有意義的現(xiàn)實題材，引導學生經(jīng)歷“將實際問題抽象成數(shù)學問題→尋找等量關(guān)系→列方程并求解”的過程，感悟方程思想。如習題二通過數(shù)形結(jié)合的方式，將方程與角的度量、數(shù)軸以及生活實際相結(jié)合；習題三中呈現(xiàn)的共享電單車的現(xiàn)實情境，既實現(xiàn)了知識的融合，豐富了呈現(xiàn)的形式，也有利于激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)應(yīng)用意識。

水平層級 具體表現(xiàn)水平0 毫無解題思路，甚至空著沒寫。水平1不能很好地理解題意，數(shù)量關(guān)系不清，無法求出a、b 的值。（如：每分鐘的價錢、時間、總價之間的關(guān)系不清或未進行分段計費。）images/BZ_41_844_1924_1545_2130.png水平2能用方程求出a 的值，但不能求出b 的值，無法與分段計費的知識相關(guān)聯(lián)。images/BZ_41_843_2165_1545_2488.png水平3方程法有一定困難（特別是求b 的值），但能用算術(shù)法解決問題或者未知數(shù)a、b 未參與運算。images/BZ_41_830_2504_1541_2826.png能聯(lián)系分段計費知識，找出等量關(guān)系，列出方程并求解。水平4images/BZ_41_532_2910_1350_3141.png

2.梳理分析策略，尋找等量關(guān)系。

尋找等量關(guān)系是列方程解決問題的關(guān)鍵，應(yīng)對分析等量關(guān)系的策略作必要指導。比如，根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系、公式、性質(zhì)找等量關(guān)系、根據(jù)題目中描述數(shù)量關(guān)系的句子找等量關(guān)系等，在此過程中積累列方程解決實際問題的經(jīng)驗。如根據(jù)“九宮格中每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字和都相等”這一關(guān)鍵句、“平角是180°”這一性質(zhì)、“原價－優(yōu)惠的金額＝現(xiàn)價”這一數(shù)量關(guān)系尋找等量關(guān)系；又如，共享電單車情境中的分段計費問題，抓牢數(shù)量關(guān)系“每分鐘的價錢×時間＝總價”的同時，明確6.1 元由8 分鐘的價格和超出的3分鐘的價格組成。這些策略的梳理有利于提高學生尋找等量關(guān)系列出方程的能力。