讓推理意識(shí)無痕發(fā)展
——《三角形的分類》教學(xué)的實(shí)踐與思考

□楊慧

《三角形的分類》是人教版教材四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生通過操作、觀察、比較、歸類等活動(dòng)，經(jīng)歷給三角形分類的過程，辨認(rèn)和識(shí)別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，知道這些三角形的特點(diǎn)。其中，既包含圖形認(rèn)識(shí)和概念建構(gòu)的雙基目標(biāo)，又蘊(yùn)含發(fā)展空間觀念的能力目標(biāo)。分類是一種科學(xué)的思維方法，根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)的不同，通常可以分為基于形式的分類與基于性質(zhì)的分類。三角形按角分類，是基于顯性的外在形式的分類。本課的教學(xué)在學(xué)生初步掌握三角形內(nèi)角和是180度的基礎(chǔ)上，關(guān)注如何在分類過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的內(nèi)在本質(zhì)。

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）通過動(dòng)手操作，經(jīng)歷給三角形分類的過程，辨認(rèn)和識(shí)別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，知道這些三角形的特點(diǎn)。

（2）通過觀察、畫圖、計(jì)算等活動(dòng)，培養(yǎng)空間觀念和歸納推理能力。

（3）通過比較、歸類等活動(dòng)，滲透分類思想和集合思想。

【課堂實(shí)踐】

一、分類交流，建構(gòu)概念

理解三角形按角分類的分類結(jié)果不難，學(xué)生預(yù)學(xué)后就能大致明白。教學(xué)時(shí)，教師在學(xué)生暴露自身“原始概念”的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)教材上的“標(biāo)準(zhǔn)概念”，以此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生通過思考和分析，理解如此分類的原因，并建構(gòu)相關(guān)的概念，在感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)性的同時(shí)，錘煉推理意識(shí)。

師：同學(xué)們，今天我們一起來研究三角形的分類，研究的內(nèi)容是按角分。昨天我們進(jìn)行了預(yù)學(xué)，有關(guān)知識(shí)想必大家已經(jīng)知道了不少?，F(xiàn)在黑板上有六個(gè)三角形（如圖1），哪位小老師能上臺(tái)來分一分、講一講？

圖1

生：圖①和圖⑥是直角三角形，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)直角兩個(gè)銳角；圖③和圖⑤是鈍角三角形，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)鈍角兩個(gè)銳角；圖②和圖④是銳角三角形，因?yàn)樗鼈兊娜齻€(gè)角都是銳角。

（其他學(xué)生都表示同意）

師：這名同學(xué)在表達(dá)的時(shí)候，既能說出結(jié)果，又能說出理由，非常棒。我現(xiàn)在把他說的寫在黑板上。（結(jié)合學(xué)生的分類，板書簡(jiǎn)要記錄）

師：我們來看看課本上是怎么描述這三類三角形的。（課件出示圖2）仔細(xì)觀察并比較，課本上說的和剛剛這個(gè)同學(xué)說的有什么不同？

圖2

生：課本中銳角三角形的描述和同學(xué)說的一樣，但鈍角三角形和直角三角形，課本上只說了其中的一個(gè)角，沒有說兩個(gè)銳角。

師：你們一定產(chǎn)生疑惑了吧。課本在直角三角形和鈍角三角形的概念中，為什么不說明它們都“有兩個(gè)銳角”？（學(xué)生安靜思考）

生：三角形的內(nèi)角和是180°，直角是90°，那么直角三角形中另外兩個(gè)角的和也是90°，所以直角三角形中另外那兩個(gè)角肯定都是銳角。同樣，鈍角是大于90°的，三角形中如果有一個(gè)鈍角，那么另外兩個(gè)角的和就會(huì)小于90°，它們只能是銳角。既然都一定是銳角，也就不需要再特地說明了。

（學(xué)生清晰的表達(dá)，得到了同學(xué)們熱烈的掌聲）

師：這名同學(xué)通過推理，分析了原因。同學(xué)們，數(shù)學(xué)表達(dá)就是要既嚴(yán)謹(jǐn)又簡(jiǎn)潔。

二、質(zhì)疑問難，說理求證

在學(xué)生知道了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的概念后，教師適時(shí)拋出“有沒有第四類三角形存在”這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過不同的方法來證明“三角形只有三類”這個(gè)結(jié)論的正確性。這個(gè)說理的過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷調(diào)整、完善的過程，也是其推理意識(shí)不斷增強(qiáng)、發(fā)展的過程。

師：我們把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三類，那么有沒有第四類三角形呢？

生：沒有了。

師：能用充分的理由來說明自己的觀點(diǎn)嗎？可以想一想，畫一畫，說一說。（組織同桌討論）

生：老師，我到黑板上來畫一畫。如果三條線段組成兩個(gè)直角，是不可能圍成一個(gè)三角形的；組成一個(gè)直角、一個(gè)鈍角也不行；組成兩個(gè)鈍角就更不可能圍成三角形了。因此只有這三種情況（如圖3）。

圖3

師：畫圖是個(gè)好方法，它讓大家非常直觀地理解你的觀點(diǎn)。

生：我們也可以通過計(jì)算來證明，三角形內(nèi)角和是180°。如果三個(gè)角中有兩個(gè)角是直角，那第三個(gè)角就是0°了；如果有一個(gè)直角和一個(gè)鈍角，那第三個(gè)角就是負(fù)數(shù)了……

師：你是通過計(jì)算進(jìn)行推理的，也非常不錯(cuò)！所以，三角形按角分的確只有三種情況，我們可以用這樣的集合圖來表示。（課件出示圖4）

圖4

三、利用“負(fù)遷移”，引發(fā)新思考

教師利用學(xué)生思維的“負(fù)遷移”——有一個(gè)銳角的三角形叫銳角三角形，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形的角（尤其是銳角）展開更深入的思考。學(xué)生通過對(duì)三類三角形中各個(gè)角的對(duì)比分析和歸納，得出“三角形中至少有兩個(gè)銳角”，進(jìn)而形成確定三角形的類型“要看兩個(gè)銳角外第三個(gè)角”的經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)展了理性的思維方式。

師：現(xiàn)在我們知道了有一個(gè)直角的三角形叫什么？

生（齊答）：直角三角形。

師：有一個(gè)鈍角的三角形叫什么？

生（齊答）：鈍角三角形。

師：有一個(gè)銳角的三角形叫什么？

生（齊答）：銳角三角形。

（教師有意停頓，很多學(xué)生突然發(fā)現(xiàn)答案不對(duì)，紛紛舉起了手）

師：怎么了，出什么問題了嗎？

生：因?yàn)槿我馊切沃卸加袖J角，所以有一個(gè)銳角不能確定是什么三角形，有三個(gè)銳角才能確定是銳角三角形。

師：這樣?。≌?qǐng)大家觀察板書，并比較，你們有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

（教師組織學(xué)生觀察、討論和交流）

生：每種三角形都至少有兩個(gè)銳角，判斷三角形時(shí)，光看兩個(gè)銳角還不夠，還要看第三個(gè)角，兩個(gè)銳角外的第三個(gè)是什么角就是什么三角形。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，通過板書引導(dǎo)學(xué)生更清晰地理解分類標(biāo)準(zhǔn)）

師：現(xiàn)在，誰(shuí)能完整地說說我們的發(fā)現(xiàn)。

生：每種三角形至少有兩個(gè)銳角，所以要再看第三個(gè)角。第三個(gè)角是銳角的就是銳角三角形，第三個(gè)角是直角的就是直角三角形，第三個(gè)角是鈍角的就是鈍角三角形。

四、利用幾何畫板，掌握新判斷方法

從“需要知道三個(gè)角的度數(shù)”到“只需要知道一個(gè)角的度數(shù)”，再到“關(guān)鍵要看最大角的度數(shù)”，這是學(xué)生深刻理解三角形本質(zhì)、提升思維能力的過程。教師以幾何畫板為載體，引導(dǎo)學(xué)生觀察、想象、分析，直觀地感知三個(gè)角的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使學(xué)生的推理意識(shí)和空間觀念得到同步發(fā)展。

師：要判斷這是一個(gè)什么三角形，需要知道幾個(gè)角的度數(shù)？（課件出示圖5）

圖5

生（齊呼）：三個(gè)。

（有學(xué)生大喊“看一個(gè)也行”）

師：有人說看一個(gè)角也行，這有什么道理嗎？

生：在這個(gè)三角形中，∠S最大，有點(diǎn)像直角，也有點(diǎn)像銳角，所以只要確定∠S就可以了。

師：好，現(xiàn)在我們來測(cè)量一下∠S的度數(shù)。（課件顯示∠S=87°）它是什么三角形？

生（齊答）：銳角三角形。

師：為什么？

生：因?yàn)檫@個(gè)角最大，而且是銳角，那另外兩個(gè)角一定也是銳角，所以它是銳角三角形。

師：想象一下，如果現(xiàn)在向右拖動(dòng)S點(diǎn)，這個(gè)角會(huì)發(fā)生什么變化？

生：∠S會(huì)變小。

師：我們來試一下，看看是不是這樣。

（課件動(dòng)態(tài)演示過程，結(jié)果如圖6）

圖6

師：現(xiàn)在是什么三角形？

生：鈍角三角形。

師：∠S明明只有19°了，這個(gè)三角形怎么會(huì)是鈍角三角形呢？

生：因?yàn)椤蟁變成鈍角了。

（課件分別顯示∠Q、∠R的度數(shù)，其中∠R為101°）

師：現(xiàn)在關(guān)于如何判斷一個(gè)三角形的類別，你們有什么新的想法？

生：關(guān)鍵要看三角形中最大的那個(gè)角。如果最大的角是直角，它就是直角三角形；如果最大的角是鈍角，它就是鈍角三角形；如果最大的角是銳角，它就是銳角三角形。

【教學(xué)反思】

本設(shè)計(jì)的主要特點(diǎn)如下。

（1）當(dāng)學(xué)生按角對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，教師設(shè)計(jì)了“有沒有第四類三角形存在”這個(gè)問題，讓學(xué)生用畫圖、計(jì)算等不同的方法來說明思考過程，引導(dǎo)學(xué)生理解概念本質(zhì)，感悟分類思想。

（2）學(xué)生在分類過程中，往往關(guān)注每類三角形的獨(dú)特之處，而忽視它們的共性部分。針對(duì)這一現(xiàn)象，教師設(shè)計(jì)了找一找“直角三角形的另外兩個(gè)角”“鈍角三角形的另外兩個(gè)角”等練習(xí)，讓學(xué)生既對(duì)直觀的現(xiàn)象進(jìn)行觀察與歸納，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和來分析和解釋。

（3）發(fā)展學(xué)生的空間觀念，離不開動(dòng)態(tài)想象。教師在學(xué)生對(duì)三角形進(jìn)行靜態(tài)探究時(shí)，運(yùn)用幾何畫板，展示三角形的動(dòng)態(tài)變化過程，讓“推理”和“驗(yàn)證”結(jié)合，清晰呈現(xiàn)學(xué)生思維的發(fā)展變化。

教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的分析和解決過程，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。本課圍繞四個(gè)主題設(shè)計(jì)教學(xué)。前兩個(gè)主題是：“直角三角形和鈍角三角形的另外兩個(gè)角一定是銳角嗎？”與“除了這三類，還存在第四類三角形嗎？”這兩個(gè)主題的解決，其實(shí)都用到了推理。教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、討論，學(xué)生會(huì)主動(dòng)地利用“三角形內(nèi)角和等于180°”進(jìn)行思考和說理。學(xué)生的說理過程實(shí)際上就是推理過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生既解決了問題，又感受了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。第三個(gè)主題是：“一個(gè)三角形中至少有幾個(gè)銳角？”看似簡(jiǎn)單的一個(gè)問題恰恰是本節(jié)課的難點(diǎn)。通過觀察、比較，學(xué)生感悟到三角形的分類由第三個(gè)角來確定，他們理解問題的方式也從直觀感知發(fā)展為抽象推理。第四個(gè)主題是：“判斷三角形的類型需要知道哪些角的度數(shù)？”從需要知道三個(gè)角到只需知道一個(gè)角，從看特殊角到看最大角，在教師的不斷追問下，學(xué)生的思考不斷深入，最終實(shí)現(xiàn)概念理解。在以上解決問題的過程中，通過多種方法的碰撞、多樣思維的分享，學(xué)生的推理意識(shí)在無形中得到發(fā)展。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要特別注意挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)教學(xué)的過程和形式，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升。