“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響

何聲清

“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響

何聲清

（上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

以713名七～九年級(jí)學(xué)生為被試，考查他們持有的“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)古典概率學(xué)習(xí)進(jìn)階的消極影響及作用機(jī)制．結(jié)果表明：學(xué)生的“等可能性偏見(jiàn)”總體上隨著年級(jí)遞增呈消退態(tài)勢(shì)，其中九年級(jí)是一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；男、女生的“等可能性偏見(jiàn)”在程度上無(wú)顯著性差異；“等可能性偏見(jiàn)”與各概率任務(wù)的得分水平均呈顯著性負(fù)相關(guān)；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)階的作用機(jī)制是部分中介效果而非調(diào)節(jié)效果．對(duì)概率教學(xué)的啟示有：遵循學(xué)生概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的規(guī)律，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)任務(wù)和教學(xué)路徑；滲透“概率有相對(duì)大小”這一觀念及發(fā)展構(gòu)建樣本空間的具體策略是消解“等可能性偏見(jiàn)”的兩個(gè)關(guān)鍵舉措．

等可能性偏見(jiàn)；古典概率；樣本空間；學(xué)習(xí)進(jìn)階；中介效應(yīng)；調(diào)節(jié)效應(yīng)

1 問(wèn)題提出

身處大數(shù)據(jù)時(shí)代，概率素養(yǎng)（probability literacy）已然成為公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的一項(xiàng)重要目標(biāo)．在數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，國(guó)際學(xué)生測(cè)評(píng)項(xiàng)目（Program for International Student Assessment，簡(jiǎn)稱PISA）將概率素養(yǎng)作為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)的內(nèi)容維度[1]，第12、13屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（International Congress on Mathematics Education，簡(jiǎn)稱ICME）也將其作為“概率學(xué)與教”專題研討的焦點(diǎn)議題[2-3]．

世界各國(guó)大都在中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中設(shè)置了概率內(nèi)容[4]．中國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在概率內(nèi)容的編排方式上較其實(shí)驗(yàn)稿整體后移[5]，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》則在該部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)上進(jìn)一步凸顯了從“定性認(rèn)識(shí)”向“定量認(rèn)識(shí)”的原則，其設(shè)計(jì)的知識(shí)發(fā)展主線是“感知隨機(jī)性→了解簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果→感知和定性描述可能性的大小→了解事件的概率”[6]．上述發(fā)展主線與學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階規(guī)律基本吻合：實(shí)證研究表明，學(xué)生的概率概念宏觀上是在“感知隨機(jī)性→定性比較概率的大小→構(gòu)建樣本空間（即枚舉事件所有可能的結(jié)果）→概率的計(jì)算”等一系列步次中得以進(jìn)階的[7]．

在初中階段，課程預(yù)設(shè)的發(fā)展主線和學(xué)生實(shí)然的學(xué)習(xí)進(jìn)階都一致地聚焦于概率的定量刻畫(huà)，即“（構(gòu)建）樣本空間→（據(jù)此）概率計(jì)算→（定量地）概率比較”．但事實(shí)上，上述學(xué)習(xí)進(jìn)階并非總是順暢的．學(xué)生在接觸學(xué)校課程的概率知識(shí)之前，已然積累了一定的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，它們不可避免地影響到其對(duì)于概率知識(shí)的學(xué)習(xí)[8]．在大多數(shù)情況下，直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生概率學(xué)習(xí)的影響是抑制性的，因此可稱之為不良直覺(jué)．實(shí)證研究表明，關(guān)于概率的不良直覺(jué)在學(xué)前兒童[9]、小學(xué)生[10]、中學(xué)生[11]、大學(xué)生[12]甚至教師[13]群體中普遍存在．

“等可能性偏見(jiàn)”（equiprobability bias）是學(xué)生概率認(rèn)知過(guò)程中出現(xiàn)的一種典型不良直覺(jué)．Lecoutre較早地對(duì)古典概率情境下的“等可能性偏見(jiàn)”做了界定：人們傾向于相信隨機(jī)意味著均勻，隨機(jī)事件在本質(zhì)上是等概率的[14]．例如，同時(shí)擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，盡管“朝上點(diǎn)數(shù)之和為11”的概率是“朝上點(diǎn)數(shù)之和為12”的兩倍，然而人們傾向于相信兩者的概率相等．李俊將“等可能性偏見(jiàn)”劃分為3個(gè)子類：假設(shè)一次試驗(yàn)共有個(gè)可能的結(jié)果，第一類迷信“這個(gè)可能的結(jié)果其概率均為1/2”，第二類認(rèn)為“每一結(jié)果的可能性都為1/”，第三類認(rèn)為“理論上相差不大的機(jī)會(huì)在一次試驗(yàn)中是相等的”[15]．更一般地，人們?cè)谌粘Q策中也常暴露出其持有的“等可能性偏見(jiàn)”．例如，人們習(xí)慣性地用“50比50的機(jī)會(huì)”（fifty-fifty chance）這種“看似定量化的語(yǔ)言”描述“賽馬獲勝的概率”“投籃命中的概率”等諸多場(chǎng)景下的概率問(wèn)題[16]．究其原因，認(rèn)為“只有兩種可能的情況，它們非此即彼”（例如“要么獲勝，要么失敗”“要么命中，要么不中”）[12]．事實(shí)上，這非但不是用“定量化的語(yǔ)言”描述概率，而恰恰是“拿不定主意”的內(nèi)心寫(xiě)照[17]．

在“樣本空間→概率計(jì)算→概率比較”的學(xué)習(xí)進(jìn)階中，“等可能性偏見(jiàn)”便是其中的關(guān)鍵抑制性因素．例如新近一項(xiàng)研究表明，在古典概率問(wèn)題情境中，學(xué)生首先須能夠正確地構(gòu)建樣本空間，然后據(jù)此進(jìn)行概率計(jì)算和比較．但如果他們持有“等可能性偏見(jiàn)”這一不良直覺(jué)，即便正確構(gòu)建了樣本空間也無(wú)法保證其能夠規(guī)范地計(jì)算和比較概率[18]．那么，“等可能性偏見(jiàn)”在學(xué)生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階中的作用機(jī)制是什么？其影響效應(yīng)如何？研究將厘清上述兩個(gè)問(wèn)題，據(jù)此為概率教學(xué)的改進(jìn)提供實(shí)證依據(jù)．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 被試

從山東省青島市選取辦學(xué)水平為優(yōu)秀、良好及一般的3類學(xué)校，選取初中生被試合計(jì)713名．分類依據(jù)是：邀請(qǐng)?jiān)撌薪萄袉T從升學(xué)率的角度將該地區(qū)學(xué)校劃分成上述3個(gè)水平，并由該教研員從3個(gè)水平學(xué)校中分別選取一所，從每所學(xué)校分別選取七、八及九年級(jí)學(xué)生為被試．辦學(xué)水平為優(yōu)秀、良好及一般學(xué)校的被試分別為323名（占比45.3%）、244名（占比34.2%）及146名（占比20.5%），七、八及九年級(jí)被試分別為257名（占比36.0%）、229名（占比32.1%）及227名（占比31.8%），男性、女性被試分別為353名（占比49.5%）和357名（占比50.1%），另有3名被試性別信息缺失．更具體地，辦學(xué)水平為優(yōu)秀的學(xué)校中，七、八及九年級(jí)被試分別為114名、102名及107名，男性、女性被試分別為161名和162名；辦學(xué)水平為良好的學(xué)校中，七、八及九年級(jí)被試分別為94名、78名和72名，男性、女性被試分別為126名和118名；辦學(xué)水平為一般的學(xué)校中，七、八及九年級(jí)被試分別為49名、49名和48名，男性、女性被試分別為66名和77名（3名被試性別信息缺失）．以上被試均采用人教版教材，該教材在九年級(jí)上冊(cè)設(shè)置了“概率初步”一章，主要涉及“隨機(jī)事件與概率”“用列舉法求概率”及“用頻率估計(jì)概率”的內(nèi)容．

2.2 測(cè)查材料

2.2.1 古典概率測(cè)試

以“摸球”游戲?yàn)檩d體，測(cè)試包含5個(gè)問(wèn)題（下文用Q表示）．所有問(wèn)題的情境均是：

不透明的盒子里有黑球、白球、綠球若干，各種顏色球大小、重量、質(zhì)地、手感等均相同．搖晃盒子后，從中同時(shí)摸出兩個(gè)球．

每個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)3個(gè)概率任務(wù)（下文用T表示），即樣本空間（T1）、概率比較（T2）、概率計(jì)算（T3）．以Q2為例．

（T1：樣本空間）一共有幾種可能的摸法？請(qǐng)列出它們．

（T2：概率比較）摸到“一黑一白”和“兩個(gè)白球”的可能性哪個(gè)更大？抑或是一樣大？

（T3：概率計(jì)算）摸出“一黑一白”的可能性有多大？

盡管從理論上說(shuō)概率計(jì)算應(yīng)早于概率比較，但結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的知識(shí)發(fā)展主線來(lái)看，在對(duì)概率進(jìn)行定量性地計(jì)算之前，學(xué)生能夠定性地進(jìn)行概率比較，因此將概率計(jì)算放在了任務(wù)序列的最后．

對(duì)于同樣的問(wèn)題背景（即“不透明的盒子里有黑球、白球、綠球若干，各種顏色球大小、重量、質(zhì)地、手感等均相同”），如果題意僅要求“從中摸出一個(gè)球”，學(xué)生在3個(gè)任務(wù)上的作答通常會(huì)出現(xiàn)“天花板效應(yīng)”[19]，因此研究不再涉及．鑒于未做標(biāo)記的情況下難以辨別被試是否真正理解樣本空間[20]，研究在題目配圖中對(duì)球做了序號(hào)標(biāo)記．事實(shí)上，現(xiàn)行教材在設(shè)計(jì)“概率初步”內(nèi)容時(shí)也進(jìn)行了類似處理[21]，因此這對(duì)學(xué)生而言并不陌生．

所有問(wèn)題均采取選擇題的方式，正確作答記1分，錯(cuò)誤作答記0分．根據(jù)題目關(guān)涉的組合的復(fù)雜度，將問(wèn)題區(qū)分為簡(jiǎn)單、中等、較難3個(gè)水平．需要說(shuō)明的是：第一，這里關(guān)于題目復(fù)雜度的設(shè)計(jì)是基于理論分析得出的（如上所述）；第二，之所以按照當(dāng)前的邏輯設(shè)計(jì)問(wèn)題序列，目的是在確保問(wèn)題結(jié)構(gòu)、設(shè)問(wèn)內(nèi)容、設(shè)問(wèn)方式完全一致的前提下，給被試呈現(xiàn)一個(gè)由易到難的問(wèn)題序列，使其能有更好的作答體驗(yàn)．5個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)思路詳見(jiàn)表1．

表1 古典概率測(cè)試中5個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)思路

2.2.2 “等可能性偏見(jiàn)”調(diào)查問(wèn)卷

根據(jù)有關(guān)直覺(jué)測(cè)量研究的觀點(diǎn)，直覺(jué)在人們決策中既有合理的方面又有樸素的方面，對(duì)于直覺(jué)的測(cè)量宜采用自我報(bào)告偏好的方法獲取被試的“自然傾向”[23]．鑒于此，研究采用5級(jí)Likert量表的形式測(cè)量學(xué)生概率推理中的直覺(jué)程度，由此獲取的數(shù)據(jù)將比“是否持有某種直覺(jué)”的二元結(jié)論更加具體．“等可能性偏見(jiàn)”調(diào)查問(wèn)卷共包含3個(gè)問(wèn)題．根據(jù)問(wèn)題的描述，要求被試結(jié)合自己的實(shí)際情況標(biāo)定認(rèn)可度．編碼“1”至“5”按認(rèn)可度遞增依次表示“完全不同意”至“完全同意”．由于“等可能性偏見(jiàn)”是學(xué)生概率認(rèn)知中的一個(gè)不良直覺(jué)，因此認(rèn)可度越高表示該不良直覺(jué)的程度越深．確保一般性，問(wèn)卷兼顧兩種典型的等可能性偏見(jiàn)．例如：

（“1/2型”）籃球運(yùn)動(dòng)員庫(kù)里的罰球命中率接近90%．在一次正常的罰球前，可以預(yù)測(cè)他命中的概率是1/2，因?yàn)榍蛞催M(jìn)，要么不進(jìn)．

（“1/型”）班主任計(jì)劃根據(jù)抽簽的方式從4位同學(xué)中隨機(jī)挑選兩位打掃衛(wèi)生，這4位同學(xué)中男生、女生各兩名．俗話說(shuō)“男女搭配，干活不累”．老師挑到“男女搭配”的概率為1/3，因?yàn)橐刺舻健皞z男生”，要么挑到“倆女生”，要么挑到“男女搭配”．

需要指出的是，在“1/2型”等可能性偏見(jiàn)的題項(xiàng)中，提及“罰球命中率為90%”這一信息是必要的，目的是給學(xué)生決策提供真實(shí)場(chǎng)景，考察學(xué)生在真實(shí)場(chǎng)景中的直覺(jué)水平．如果沒(méi)有這一信息，考慮到“某位運(yùn)動(dòng)員的罰球命中率為50%”這一情況的存在，將使得學(xué)生在作答時(shí)產(chǎn)生過(guò)多的假設(shè)或糾結(jié)，反而造成測(cè)量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確．因此，認(rèn)為通過(guò)提供這一真實(shí)信息，能夠更準(zhǔn)確反映學(xué)生等可能性偏見(jiàn)這一直覺(jué)的真實(shí)情況，并且避免了題意可能帶來(lái)的理解上的歧義．

2.2.3 驗(yàn)證性因子分析

以“樣本空間”“概率比較”“概率計(jì)算”及“等可能性偏見(jiàn)”4個(gè)測(cè)查內(nèi)容為并行一階變量做多因素斜交模型的驗(yàn)證性因子分析．采用極大似然估計(jì)，得到“樣本空間”的因子載荷分別為0.870、0.830、0.886、0.865及0.856，“概率比較”的因子載荷分別為0.779、0.819、0.823、0.820及0.814，“概率計(jì)算”的因子載荷分別為0.690、0.720、0.539、0.618及0.574，“等可能性偏見(jiàn)”的因子載荷分別為0.359、0.353及0.668，上述路徑系數(shù)均大于0.35且達(dá)顯著（所有<0.001），說(shuō)明各顯變量能有效反映其潛變量的特質(zhì)．

模型的絕對(duì)配適度指標(biāo)=0.059（小于0.08），增值配適度指標(biāo)=0.939，=0.927，=0.955，=0.947，=0.955（均大于0.9），簡(jiǎn)約配適度指標(biāo)=0.791，=0.805（均大于0.5），2/為3.469（小于5），以上指標(biāo)均達(dá)配適標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明模型的配適度良好．

2.3 研究方法

采用調(diào)查法分別收集學(xué)生概率任務(wù)作答數(shù)據(jù)及“等可能性偏見(jiàn)”認(rèn)可度數(shù)據(jù)；采用描述性統(tǒng)計(jì)分析學(xué)生“等可能性偏見(jiàn)”的發(fā)展特征；采用相關(guān)分析初步揭示“等可能性偏見(jiàn)”與概率任務(wù)作答表現(xiàn)的關(guān)系；采用路徑分析探索“等可能性偏見(jiàn)”在學(xué)習(xí)進(jìn)階中的中介效果和調(diào)節(jié)效果．

2.4 模型建構(gòu)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的主線設(shè)計(jì)，古典概率的學(xué)習(xí)進(jìn)階是在“樣本空間→概率計(jì)算→概率比較”這幾個(gè)步次中向前推進(jìn)的[7]．另有實(shí)證研究表明，因受“等可能性偏見(jiàn)”的抑制效果，學(xué)生即便正確地構(gòu)建了樣本空間也無(wú)法保證其能夠規(guī)范地計(jì)算和比較概率[18]．研究中，“樣本空間”任務(wù)主要涉及組合推理和枚舉能力，學(xué)生在該任務(wù)上的表現(xiàn)理論上不受“等可能性偏見(jiàn)”的影響，而在“概率計(jì)算”和“概率比較”任務(wù)上的表現(xiàn)除了受其構(gòu)建樣本空間能力的積極影響外，還受到“等可能性偏見(jiàn)”這一不良直覺(jué)的消極影響．更微觀地，如何刻畫(huà)“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響機(jī)制？綜上分析，有兩種基本假設(shè)是可以預(yù)見(jiàn)的．其一，樣本空間概念的加深能夠消解“等可能性偏見(jiàn)”，并且能夠據(jù)此提升其概率計(jì)算和比較的能力；類似地，概率計(jì)算能力的提升能夠消解“等可能性偏見(jiàn)”，并且能夠據(jù)此提升其概率比較的能力．其二，樣本空間概念的加深能否提升概率計(jì)算和比較的能力取決于其“等可能性偏見(jiàn)”的程度；類似地，概率計(jì)算能力的提升能否提升概率比較的能力取決于其“等可能性偏見(jiàn)”的程度．換言之，有無(wú)可能被試即便在T1中作答正確，但在T2及T3中非但沒(méi)有基于T1的結(jié)果計(jì)算和比較概率，反而訴諸“等可能性偏見(jiàn)”認(rèn)為“二者的概率相等，皆為1/2（或1/）”．

基于第一種假設(shè)，將“等可能性偏見(jiàn)”作為影響概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的中介變量，構(gòu)建如下模型．

模型1．在進(jìn)階序列“樣本空間→概率比較”中，將“等可能性偏見(jiàn)”作為中介變量（）．“樣本空間”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為；“樣本空間”對(duì)“等可能性偏見(jiàn)”的直接作用（→）記為；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為．

模型2．在進(jìn)階序列“樣本空間→概率計(jì)算”中，將“等可能性偏見(jiàn)”作為中介變量（）．“樣本空間”對(duì)“概率計(jì)算”的直接作用（→）記為；“樣本空間”對(duì)“等可能性偏見(jiàn)”的直接作用（→）記為；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率計(jì)算”的直接作用（→）記為．

模型3．在進(jìn)階序列“概率計(jì)算→概率比較”中，將“等可能性偏見(jiàn)”作為中介變量（）．“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為；“概率計(jì)算”對(duì)“等可能性偏見(jiàn)”的直接作用（→）記為；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為．

對(duì)于以上模型均有：

基于第二種假設(shè)，將“等可能性偏見(jiàn)”作為影響概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的調(diào)節(jié)變量，構(gòu)建如下模型．

模型4．在進(jìn)階序列“樣本空間→概率比較”中，將“等可能性偏見(jiàn)”作為調(diào)節(jié)變量（）．“樣本空間”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為1；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為2；“樣本空間”在“等可能性偏見(jiàn)”調(diào)節(jié)下對(duì)“概率比較”的作用（×→）記為3．

模型5．在進(jìn)階序列“樣本空間→概率計(jì)算”中，將“等可能性偏見(jiàn)”作為調(diào)節(jié)變量（）．“樣本空間”對(duì)“概率計(jì)算”的直接作用（→）記為1；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率計(jì)算”的直接作用（→）記為2；“樣本空間”在“等可能性偏見(jiàn)”調(diào)節(jié)下對(duì)“概率計(jì)算”的作用（×→）記為3．

模型6．在進(jìn)階序列“概率計(jì)算→概率比較”中，將“等可能性偏見(jiàn)”作為調(diào)節(jié)變量（）．“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為1；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”的直接作用（→）記為2；“概率計(jì)算”在“等可能性偏見(jiàn)”調(diào)節(jié)下對(duì)“概率比較”的作用（×→）記為3．

對(duì)于以上模型均有：

3 結(jié)果與分析

3.1 “等可能性偏見(jiàn)”的描述性統(tǒng)計(jì)

學(xué)生的“等可能性偏見(jiàn)”描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，“等可能性偏見(jiàn)”的得分均值隨年級(jí)遞增逐步降低（七年級(jí)=3.32，=0.95；八年級(jí)=3.28，=0.99；九年級(jí)=2.96，=1.04）．方差分析顯示，各年級(jí)間得分均值差異在統(tǒng)計(jì)意義上達(dá)到顯著（(2, 710)=9.163，<0.001）．LSD多重比較進(jìn)一步顯示，七、八年級(jí)之間差異不顯著（七～八年級(jí)=0.04，=0.597），七年級(jí)與九年級(jí)、八年級(jí)與九年級(jí)之間則均達(dá)顯著（七～九年級(jí)= 0.36，＜0.001；八～九年級(jí)=0.32，＜0.01）．以上表明：初中生持有的“等可能性偏見(jiàn)”總體上隨著年級(jí)遞增呈消退態(tài)勢(shì)，其中九年級(jí)是一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)．

獨(dú)立樣本檢驗(yàn)顯示，不同性別學(xué)生的“等可能性偏見(jiàn)”在程度上無(wú)顯著性差異（男生=3.17，男生=1.04；女生=3.22，女生=0.96；=0.434）．這也得到了國(guó)內(nèi)其它地區(qū)被試實(shí)證研究的支撐[19]．

3.2 關(guān)涉變量的相關(guān)分析

學(xué)生“等可能性偏見(jiàn)”的程度與其在樣本空間、概率比較及概率計(jì)算任務(wù)上的得分水平均存在顯著負(fù)相關(guān)性（1=-0.160，2=-0.259，3=-0.204；所有<0.001），樣本空間與概率比較、樣本空間與概率計(jì)算、概率計(jì)算與概率比較之間在得分水平上均存在顯著正相關(guān)性（4=0.483，5=0.539，6=0.747；所有<0.001），以上均符合理論預(yù)期．性別與樣本空間、概率比較及概率計(jì)算得分水平之間均存在顯著相關(guān)性（7=0.090，<0.05；8=0.102，<0.01；9=0.122，<0.01），下面將其作為控制變量．上述變量的相關(guān)系數(shù)矩陣見(jiàn)表2．

表2 關(guān)涉變量的相關(guān)系數(shù)矩陣

注：*表示<0.05，**表示<0.01，***表示<0.001

3.3 “等可能性偏見(jiàn)”在概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階中的作用機(jī)制

（1）進(jìn)階序列“樣本空間→概率比較”的中介效果．

采用PROCESS插件進(jìn)行中介效應(yīng)的分析．重復(fù)隨機(jī)抽取5?000個(gè)Bootstrap樣本，采用偏差校正的Bootstrap方法檢驗(yàn)中介效應(yīng)（下同）．

“樣本空間”對(duì)“等可能性偏見(jiàn)”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（=-0.073；=-0.106，=-0.039），對(duì)“概率比較”有正向影響且達(dá)顯著（直接=0.432；=0.370，= 0.494）；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（=-0.397；=-0.533，=-0.261）．

“樣本空間”經(jīng)由“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”有正向間接影響且達(dá)顯著（間接=0.029，=0.015，=0.048）．模型的總體效應(yīng)達(dá)到顯著（總體=0.461，=0.398，=0.523），其中直接效應(yīng)量占93.7%，間接影響效應(yīng)量占6.3%；模型能夠解釋因變量27.1%的變異（<0.001）．以上表明，“等可能性偏見(jiàn)”在進(jìn)階序列“樣本空間→概率比較”中存在部分中介效果．

模型1的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表3所示．

表3 模型1的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)

注：表示“樣本空間”

（2）進(jìn)階序列“樣本空間→概率計(jì)算”的中介效果．

“樣本空間”對(duì)“等可能性偏見(jiàn)”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（=-0.073；=-0.106，=-0.039），對(duì)“概率計(jì)算”有正向影響且達(dá)顯著（直接=0.415；=0.365，= 0.466）；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率計(jì)算”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（=-0.217；=-0.328，=-0.105）．

“樣本空間”經(jīng)由“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率計(jì)算”有正向間接影響且達(dá)顯著（間接=0.016，=0.007，=0.030）．模型的總體效應(yīng)達(dá)到顯著（總體=0.431，=0.380，=0.481），其中直接效應(yīng)量占96.3%，間接影響效應(yīng)量占3.7%；模型能夠解釋因變量30.9%的變異（<0.001）．以上表明，“等可能性偏見(jiàn)”在進(jìn)階序列“樣本空間→概率計(jì)算”中存在部分中介效果．這也得到了訪談資料的支撐．

訪談一位七年級(jí)的被試，該被試在所有Q2T1中的作答錯(cuò)誤，在Q2T3中選擇“1/3”．

師：第二題的第一問(wèn)，你說(shuō)一種有三種可能的情況，為什么？

生：嗯．一黑一白、兩白、兩黑．

師：好的．第三問(wèn)你認(rèn)為可能性是1/3．理由是什么？

生：因?yàn)橛腥N情況，它們的機(jī)會(huì)是均等的．

師：（它們的概率）真的彼此相等嗎？

生：要不然呢？

師：我們來(lái)做個(gè)試驗(yàn)吧（限于篇幅，過(guò)程略）．

……

師：現(xiàn)在我告訴你另一種辦法（在稿紙畫(huà)出Q2的插圖）．

師：你看這個(gè)圖，有兩個(gè)黑球和兩個(gè)白球．你想象一下，閉上眼睛同時(shí)摸出兩個(gè)球．是不是有可能摸到的都是白球（畫(huà)示意圖），還有可能摸到的這個(gè)黑球和這個(gè)白球（畫(huà)示意圖），……總的來(lái)說(shuō)，摸到“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”有4種可能的搭配，摸到“2個(gè)白球”只有這一種搭配？

生：是的．它的搭配多，所以可能性就更大．

師：關(guān)鍵的問(wèn)題在于：你最初認(rèn)為摸出的球一共只有3種可能的情況．

師：當(dāng)你知道了一共有6種可能的搭配后，有沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到：兩者的概率可以從理論上、從數(shù)學(xué)上來(lái)推理？

生：是的．

師：你還堅(jiān)持認(rèn)為“兩者的可能性一樣大”嗎？

生：應(yīng)該一個(gè)是4/6，一個(gè)是1/6．

從上述訪談可以發(fā)現(xiàn)，該被試缺乏對(duì)樣本空間的認(rèn)識(shí)，在概率決策時(shí)表現(xiàn)出“等可能性偏見(jiàn)”（第二類）．研究者引導(dǎo)被試審視最初的想法，幫助其采用連線法構(gòu)建樣本空間，使其認(rèn)識(shí)到依據(jù)樣本空間可以計(jì)算和比較概率．該被試意識(shí)到自己之前的錯(cuò)誤理解，并糾正了在其它問(wèn)題上的錯(cuò)誤作答．這說(shuō)明，當(dāng)學(xué)生掌握了組合知識(shí)、加深了對(duì)樣本空間的認(rèn)識(shí)，是有可能放棄原先持有的“等可能性偏見(jiàn)”的，從而能夠正確地計(jì)算和比較概率．

模型2的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表4所示．

表4 模型2的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)

注：表示“樣本空間”

（3）進(jìn)階序列“概率計(jì)算→概率比較”的中介效果．

“概率計(jì)算”對(duì)“等可能性偏見(jiàn)”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（=-0.115；=-0.156，=-0.074），對(duì)“概率比較”有正向影響且達(dá)顯著（直接=0.858；=0.799，= 0.918）；“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（=-0.237；=-0.343，=-0.132）．

“概率計(jì)算”經(jīng)由“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”有正向間接影響且達(dá)顯著（間接=0.027，=0.014，=0.046）．模型的總體效應(yīng)達(dá)到顯著（總體=0.886，=0.827，=0.944），其中直接效應(yīng)量占96.9%，間接影響效應(yīng)量占3.1%；模型能夠解釋因變量56.8%的變異（＜0.001）．以上表明，“等可能性偏見(jiàn)”在進(jìn)階序列“概率計(jì)算→概率比較”中存在部分中介效果．

模型3的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表5所示．

表5 模型3的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)

注：表示“概率計(jì)算”

（4）在上述進(jìn)階序列中的調(diào)節(jié)效果．

上述結(jié)果證實(shí)了第一種研究假設(shè)，即“等可能性偏見(jiàn)”在概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階中起到中介效果．它在影響學(xué)習(xí)進(jìn)階時(shí)是否還有其他作用機(jī)制呢？接下來(lái)對(duì)第二種研究假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證，即“等可能性偏見(jiàn)”在概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階中是否起到調(diào)節(jié)效果．

在模型4中，“樣本空間”對(duì)“概率比較”有正向影響且達(dá)顯著，路徑系數(shù)及其顯著性指標(biāo)同模型1，“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（2=-0.402；=-0.539，=-0.265）；在模型5中，“樣本空間”對(duì)“概率計(jì)算”有正向影響且達(dá)顯著，路徑系數(shù)及其顯著性指標(biāo)同模型2，“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率計(jì)算”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（2=-0.214；=-0.326，=-0.102）；在模型6中，“概率計(jì)算”對(duì)“概率比較”有正向影響且達(dá)顯著，路徑系數(shù)及其顯著性指標(biāo)同模型3，“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)“概率比較”有負(fù)向影響且達(dá)顯著（2=-0.241；=-0.347，=-0.135）．

但是，以上模型的交互項(xiàng)路徑系數(shù)均未達(dá)顯著（模型4：=0.684=-0.040，=0.082；模型5：=-0.415，=-0.060，=0.039；模型6：=0.979，=-0.030，=0.089）．以上說(shuō)明，“等可能性偏見(jiàn)”在上述進(jìn)階序列中的調(diào)節(jié)效果不存在，即證偽了第二類研究假設(shè)．

模型4、5、6的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)如表6所示．

表6 模型4—6的非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)及其顯著性指標(biāo)

4 討論及啟示

4.1 初中生持有的“等可能性偏見(jiàn)”雖呈消退態(tài)勢(shì)但總體上比較頑固

研究表明，初中生持有的“等可能性偏見(jiàn)”具有如下發(fā)展特征：七、八年級(jí)在程度上大體相當(dāng)，九年級(jí)則有所消退，但總體上比較頑固．其原因體現(xiàn)在以下方面．

第一，源于樸素經(jīng)驗(yàn)的影響，使得不良直覺(jué)不可避免地長(zhǎng)期交織在學(xué)生概率認(rèn)知的過(guò)程中．日常生活中充斥著大量的隨機(jī)現(xiàn)象，市井信息中蘊(yùn)含著紛繁的概率問(wèn)題．在接觸學(xué)校課程里的概率知識(shí)之前，人們已然基于生活的經(jīng)驗(yàn)孕育了它的模糊概念，這其中就廣泛存在著樸素的、不良的直覺(jué)，它們常常消極地影響著對(duì)于概率的正確認(rèn)知[8]．例如，人們常常將“隨機(jī)”引申為“隨意”（即“隨我的心意”），認(rèn)為隨機(jī)事件的概率可以被控制[24]；甚至做出“我愿意讓機(jī)會(huì)平等，相信各個(gè)結(jié)果的概率是均等的”等判斷[19]．諸多研究一再證實(shí)，概率認(rèn)知中的不良直覺(jué)甚至在大學(xué)生[12]及教師[13]群體都廣泛存在且十分頑固．與其它不良直覺(jué)的發(fā)展特征類似，由于樸素經(jīng)驗(yàn)的影響，人們持有的“等可能性偏見(jiàn)”通常也比較頑固、難以消退．這不僅得到國(guó)外實(shí)證研究的支撐[14，25-28]，還得到了基于國(guó)內(nèi)其它地區(qū)被試實(shí)證研究的支撐[19]．至于學(xué)生的“等可能性偏見(jiàn)”能否在高中階段有進(jìn)一步的消退甚至消除，尚待做進(jìn)一步實(shí)證研究．

第二，源于樣本空間概念的發(fā)展，使得九年級(jí)學(xué)生持有的“等可能性偏見(jiàn)”在掌握概率計(jì)算的規(guī)范策略后有所消退．人教版教材在九年級(jí)上冊(cè)第二十五章“概率初步”第一節(jié)“隨機(jī)事件與概率”中結(jié)合具體案例明確提及“隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有相對(duì)大小的”[21]，這使得學(xué)生初步動(dòng)搖其持有的“等可能性偏見(jiàn)”，即“不能一味地迷信所有事件的概率都相等”．緊接著，在第二節(jié)“用列舉法求概率”中具體學(xué)習(xí)了通過(guò)列表法和樹(shù)狀圖法構(gòu)建樣本空間的策略，并詳細(xì)結(jié)合“同時(shí)拋兩枚硬幣”“同時(shí)擲兩枚骰子”等實(shí)例展示了上述策略的具體應(yīng)用[21]，進(jìn)一步完善了其概率計(jì)算和比較的策略，即借助上述兩種方法枚舉試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以及目標(biāo)事件所含的所有結(jié)果，最后根據(jù)古典概率的計(jì)算公式求解．研究也證實(shí)，學(xué)生樣本空間概念的加深能夠消解其持有的“等可能性偏見(jiàn)”，并且能夠據(jù)此提升其概率計(jì)算的能力；學(xué)生概率計(jì)算能力的提升能夠消解其持有的“等可能性偏見(jiàn)”，并且能夠據(jù)此提升其概率比較的能力．綜上分析，樣本空間概念的發(fā)展是使得九年級(jí)學(xué)生“等可能性偏見(jiàn)”有所消退的原因．

4.2 “等可能性偏見(jiàn)”對(duì)概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的作用機(jī)制是中介效果而非調(diào)節(jié)效果

“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)于學(xué)生概率學(xué)習(xí)的消極影響毋庸贅言．一項(xiàng)新近研究指出，學(xué)生需要先理解樣本空間，即能夠列舉試驗(yàn)所有可能的結(jié)果，才能夠據(jù)此量化某事件的概率并將其與其它事件的概率作比較．在這個(gè)過(guò)程中，有些學(xué)生即便能夠正確構(gòu)建樣本空間，但與此同時(shí)也持有“等可能性偏見(jiàn)”，因此這一不良直覺(jué)的程度也是甄別其是否真正理解了概率概念的重要證據(jù)[18]．

但是，上述研究沒(méi)有更具體地指出“等可能性偏見(jiàn)”究竟是如何抑制學(xué)生概率學(xué)習(xí)的．換言之，基于上述研究結(jié)果可以就“等可能性偏見(jiàn)”作用于概率學(xué)習(xí)進(jìn)階的微觀機(jī)制提出兩種基本假設(shè)．其一是中介效果，即理解了樣本空間，就具備了量化概率的潛力，但同時(shí)因持有“等可能性偏見(jiàn)”會(huì)抑制該潛力；具備了量化概率的能力，就具備了比較概率的潛力，但同時(shí)因持有“等可能性偏見(jiàn)”會(huì)抑制該潛力；盡管“等可能性偏見(jiàn)”的抑制作用存在，但樣本空間概念的加深、概率計(jì)算策略的發(fā)展都能夠使其得以有所消退．其二是調(diào)節(jié)效果，即樣本空間概念的加深能否提升概率計(jì)算的能力取決于其“等可能性偏見(jiàn)”的程度；概率計(jì)算能力的提升能否提升概率比較的能力取決于其“等可能性偏見(jiàn)”的程度．

研究證實(shí)，“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的作用機(jī)制是中介效果而非調(diào)節(jié)效果，這對(duì)于概率教學(xué)有兩點(diǎn)基本啟示．其一，但凡持有“等可能性偏見(jiàn)”，學(xué)生概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階都會(huì)受到抑制，教學(xué)應(yīng)有意識(shí)地幫助其消除這一不良直覺(jué)．其二，按照學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階的客觀規(guī)律進(jìn)行教學(xué)十分重要且必要，即遵循“樣本空間→概率計(jì)算→概率比較”的進(jìn)階步次，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)任務(wù)和教學(xué)路徑．在這其中，滲透“概率有相對(duì)大小”這一觀念及發(fā)展構(gòu)建樣本空間的具體策略是消解“等可能性偏見(jiàn)”的兩個(gè)關(guān)鍵舉措，這事實(shí)上也解釋了該不良直覺(jué)在九年級(jí)時(shí)得以有所消退原因．更一般地，對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，學(xué)生一旦對(duì)處于下位的法則、程序及觀念的理解是碎片化的，那么他們?cè)诮鉀Q上位問(wèn)題時(shí)訴諸不良策略或直覺(jué)的傾向性就明顯增加[18]．

5 研究結(jié)論

（1）初中階段學(xué)生持有的“等可能性偏見(jiàn)”總體上隨著年級(jí)遞增呈消退態(tài)勢(shì)，其中九年級(jí)是一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；男、女生持有的“等可能性偏見(jiàn)”在程度上無(wú)顯著性差異．

（2）學(xué)生持有的“等可能性偏見(jiàn)”與其在各概率任務(wù)上的表現(xiàn)均呈顯著性負(fù)相關(guān)，對(duì)概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階有顯著的抑制作用．

（3）學(xué)生持有的“等可能性偏見(jiàn)”在其學(xué)習(xí)進(jìn)階中起到部分中介效果，即證實(shí)了第一種研究假設(shè)．

（4）學(xué)生持有的“等可能性偏見(jiàn)”在其學(xué)習(xí)進(jìn)階中的調(diào)節(jié)效果不存在，即證偽了第二種研究假設(shè)．

6 不足與展望

研究存在兩點(diǎn)不足．第一，通過(guò)邀請(qǐng)教研員根據(jù)升學(xué)率指標(biāo)從3類學(xué)校中分別選取一所學(xué)校作為樣本，存在代表性不足的問(wèn)題．第二，考慮到學(xué)生在九年級(jí)學(xué)習(xí)了“用列舉法求概率”等知識(shí)，若以該年級(jí)學(xué)生為被試探索3個(gè)變量的作用機(jī)制，或許會(huì)有更豐富的結(jié)果．未來(lái)研究將進(jìn)一步擴(kuò)大樣本量，并針對(duì)不同年級(jí)被試分別進(jìn)行作用機(jī)制的分析．

[1] LANGE J. Mathematical literacy for living from OECD-PISA perspective [J]. Tsukuba Journal of Educational Study in Mathematics, 2006 (25): 13-35.

[2] NILSSON P, LI J. Teaching and learning of probability [M] // CHO S J. The proceedings of the 12th international congress on mathematical education: Intellectual and attitudinal challenges. New York: Springer, 2015: 437-442.

[3] BATANERO C, CHERNOFF E J, ENGEL J, et al. Topic study group No. 14: Teaching learning of probability [M] // KAISER G. The proceedings of the 13th international congress on mathematical education. Cham: Springer, 2017: 439-442.

[4] 曹一鳴．十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)（小學(xué)初中卷）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：9-11．

[5] 中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：25-40．

[6] 中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：74-76．

[7] 何聲清，鞏子坤．6～14歲兒童概率概念學(xué)習(xí)進(jìn)階[J]．課程·教材·教法，2017，37（11）：61-67．

[8] SHARMA S. Cultural influences in probabilistic thinking [J]. Journal of Mathematics Research, 2012, 4 (5): 63-77.

[9] KAFOUSSI S. Can kindergarten children be successfully involved in probabilistic tasks [J]. Statistics Education Research Journal, 2004, 3 (1): 29-39.

[10] PRATT N C. Is chance fair? One student’s thoughts on probability [J]. Teaching Children Mathematics, 2005, 12 (2): 83-89.

[11] ZIMMERMANN G M, JONES G A. Probability simulation: What meaning does it have for high school students [J]. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 2002, 2 (2): 221-236.

[12] ALBERT J. College students’ conceptions of probability [J]. The American Statistician, 2003 (57): 37-45.

[13] LIU Y, THOMPSON P. Teachers’ understanding of probability [J]. Cognition and Instruction, 2007, 25 (2): 113-160.

[14] LECOUTRE M P. Cognitive models and problem spaces in “purely random” situations [J]. Educational Studies in Mathematics, 1992 (23): 557-568.

[15] 李?。行W(xué)概率的教與學(xué)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2003：58．

[16] BRUINE B W, FISCHHOFF B, MILLSTEIN S G, et al. Verbal and numerical expressions of probability: ‘‘It’s a fifty–fifty chance” [J]. Organizational Behavior and Human Decision Processes, 2000, 81 (1): 115–131.

[17] FISCHHOFF B, BRUINE B W. Fifty-fifty = 50% [J]. Journal of Behavioral Decision Making, 1999 (12): 149-163.

[18] MORSANYI K, SZUCS D. Intuition in mathematical and probabilistic reasoning [M] // COHEN K R, DOWKER A. The Oxford handbook of numerical cognition. Oxford, UK: Oxford University Press, 2014: 137-153.

[19] 何聲清，鞏子坤．七～九年級(jí)學(xué)生概率認(rèn)知中的“等可能性偏見(jiàn)”研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（6）：13-17．

[20] 何聲清，鞏子坤．七～九年級(jí)學(xué)生概率比較的策略及其發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：41-45．

[21] 林群．義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書(shū)（九年級(jí)上冊(cè)）[M]．北京：人民教育出版社，2013：129，132，136-140．

[22] 何聲清．“代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（4）：27-33．

[23] PRETZ J E, BROOKINGS J B, CARLSON L A, et al. Development and validation of a new measure of intuition: The types of intuition scale [J]. Journal of Behavioral Decision Making, 2014, 27 (5): 454-467.

[24] GREER B. Understanding probabilistic thinking: The legacy of E. Fischbein [J]. Educational Studies in Mathematics, 2001 (45): 15-33.

[25] CHIESI F, PRIMI C. Recency effects in primary-age children and college students [J]. International Electronic Journal of Mathematics Education, 2009, 4 (3): 259-274.

[26] GURBUZ R, BIRGIN O. The effects of computer-assisted teaching on remedying misconception: The case of the subject “probability” [J]. Computers & Education, 2011 (58): 931-941.

[27] ?FALK R LANN A. The allure of equality: Uniformity in probabilistic and statistical judgment [J]. Cognitive Psychology, 2008 (57): 293-334.

[28] MORSANYI K, HANDLEY S J, SERPELL S. Making heads or tails of probability: An experiment with random generators [J]. British Journal of Educational Psychology, 2013 (3): 379-395．

The Impact of Equiprobability Bias on Junior School Students’ Learning Progressions of Classic Probability

HE Sheng-qing

(Mathematics and Science College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

The present study selected 713 students in the seventh to ninth graders as the subjects and analyzed the negative impact and its mechanism of equiprobability bias on learning progressions of classic probability. The results shown that: first, students’ equiprobability bias generally decreases with the increase of grades, and the ninth grade is a key point; Second, there is no significant difference in the degree of equiprobability bias between boys and girls; Third, there is a significant negative correlation between equiprobability bias and the performance of each probability task; Fourth, the mechanism of equiprobability bias on learning progressions of classic probability is a partial mediating effect rather than a moderating effect. The enlightenment to probability teaching is as follows: on the one hand, conforming to the rule of students’ learning progressions of classic probability and designing elaborated mathematics tasks and teaching trajectories; On the other hand, penetrating the concept that probability is calculable and developing specific strategies to construct sample space are two key measures to eliminate equiprobability bias.

equiprobability bias; classic probability; sample space; learning progressions; mediating effect; moderating effect

G632.0

A

1004–9894（2022）06–0052–08

何聲清．“等可能性偏見(jiàn)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（6）：52-59．

2022–08–07

上海市浦江人才計(jì)劃項(xiàng)目——初中生數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)進(jìn)階及其影響因素的模型構(gòu)建研究（2019PJC079）

何聲清（1988—），男，安徽安慶人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]