數(shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)中的認(rèn)知偏差及任務(wù)靶向

張 晶，夏小剛

數(shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)中的認(rèn)知偏差及任務(wù)靶向

張 晶1，2，夏小剛1

（1．貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001；2．瓊臺師范學(xué)院 理學(xué)院，海南 ?？?571127）

在素養(yǎng)時代下，數(shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)必須解決兩個方面的基本問題．一是消除問題情境化設(shè)計(jì)中的認(rèn)知偏差，即情境內(nèi)容選取的偏差、思維方式預(yù)設(shè)的偏差和問題設(shè)計(jì)的偏差，從而在問題情境化目標(biāo)設(shè)定與學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)之間形成良好的匹配．二是為了增強(qiáng)問題情境化教學(xué)的有效性，需要明確問題情境化設(shè)計(jì)的任務(wù)靶向，創(chuàng)設(shè)合適的情境化問題來承載任務(wù)靶向，更好地促進(jìn)學(xué)生在知識建構(gòu)中發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

數(shù)學(xué)問題；問題情境化；認(rèn)知偏差；任務(wù)靶向

當(dāng)前，中國基礎(chǔ)教育正邁向核心素養(yǎng)的新時代．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出素養(yǎng)本位下教師應(yīng)幫助學(xué)生“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的知識與方法分析問題和解決問題”的課程目標(biāo)[1]．可見，問題與情境成為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體，影響著學(xué)生的知識建構(gòu)和思維發(fā)展．為此，需要教師對數(shù)學(xué)問題的情境化設(shè)計(jì)形成良好的認(rèn)知．然而，受知識觀以及教學(xué)實(shí)踐諸多因素的影響和制約，教師對問題情境化設(shè)計(jì)中情境內(nèi)容的選取、思維方式的預(yù)設(shè)及問題設(shè)計(jì)等方面的認(rèn)識出現(xiàn)失真，形成了一些有失偏頗或有所缺漏的認(rèn)知，制約了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展．為了盡可能減少這種現(xiàn)象的發(fā)生，必須在問題情境化設(shè)計(jì)層面加以防范．

1 數(shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)的認(rèn)知維度

數(shù)學(xué)問題的情境化設(shè)計(jì)主要指教師基于數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)指向，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，用能體現(xiàn)學(xué)生現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)語言對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行重構(gòu)或重述，以此將數(shù)學(xué)問題置于與學(xué)生現(xiàn)實(shí)相關(guān)的背景中．這種重構(gòu)或重述，意味著數(shù)學(xué)問題在學(xué)生面前以可以認(rèn)識、理解和情感反應(yīng)的方式表達(dá)出來，其目的在于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需求，引發(fā)學(xué)生的情感體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生探究問題的針對性和有效性[2]．由此形成的情境化問題在結(jié)構(gòu)上具有了整合性特點(diǎn)，即包含了背景、問題、任務(wù)以及目的等結(jié)構(gòu)要素，其中，“背景”主要涉及生活的、經(jīng)驗(yàn)的、知識的相關(guān)信息，“問題”則指的是蘊(yùn)含在情境中的數(shù)學(xué)問題．譬如，在“不等式”概念教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了如下情境化問題：一輛勻速行駛的列車在10:35距離M地150 km，要在11:05之前駛過M地，車速應(yīng)該滿足什么條件？此問題中，列車行駛是“背景”，車速是多少是“問題”，根據(jù)要求求出車速是“任務(wù)”，理解不等式概念的含義是“目的”．

關(guān)于情境化問題的本質(zhì)認(rèn)識，研究者提出了一些具有共性的看法[3–8]，主要涉及以下5個方面的認(rèn)識視角．一是基于數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)存在和意義；二是基于數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解；三是基于學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)；四是基于學(xué)生問題意識的發(fā)展；五是基于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展．上述5個維度中，前兩個維度與情境化問題的知識層面的認(rèn)知發(fā)展有關(guān)，后3個維度更多與學(xué)生思維層面的素養(yǎng)發(fā)展相關(guān)．因此，問題的情境化設(shè)計(jì)必須在素養(yǎng)的目標(biāo)指向和學(xué)生已有知識與經(jīng)驗(yàn)之間形成較高的契合，否則，學(xué)生在知識理解、知識遷移與知識創(chuàng)生中的素養(yǎng)發(fā)展會受到制約．為了減少和避免這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，在問題情境化設(shè)計(jì)中需要解決認(rèn)知上的價(jià)值共識問題．

2 數(shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)中的認(rèn)知偏差

早期，人們對情境化問題的關(guān)注大多來自教育心理學(xué)和學(xué)科教學(xué)研究領(lǐng)域．近20年來，情境化問題進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，成為課堂教學(xué)的“?？汀保蠢碚f，教師對問題情境化設(shè)計(jì)已非常熟悉，然而，近些年來對一線教師的課堂觀察和研究發(fā)現(xiàn)，部分教師對問題情境化設(shè)計(jì)的認(rèn)識并未深入．或許，由于經(jīng)世致用的數(shù)學(xué)自古以來就被看作是學(xué)校啟蒙教育中一個不可缺少的內(nèi)容，加上近百年來對知識特別是科學(xué)知識的普遍認(rèn)同，人們在問題情境化設(shè)計(jì)的知識層面上，形成了有較高契合度的共同認(rèn)識，即情境化問題對于數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用是有益的．相比之下，對問題情境化設(shè)計(jì)的價(jià)值認(rèn)識各有不同，由此形成的認(rèn)知偏差，導(dǎo)致教師對問題情境化設(shè)計(jì)中的任務(wù)靶向認(rèn)識模糊，甚至偏離學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo)．

偏差1 情境內(nèi)容的選擇：重自然屬性，輕教學(xué)加工

面對核心素養(yǎng)的價(jià)值訴求，問題情境化設(shè)計(jì)必須思考的一個教學(xué)問題，就是問題情境化的目的在于幫助學(xué)生解決生活世界中的真實(shí)情境，以獲得更多實(shí)踐性知識和技能，還是為了運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識，使學(xué)生在教師建構(gòu)的問題情境中獲得知識能力的發(fā)展，抑或是兩者兼而有之？對這個問題的回答，反映了教師在問題情境化認(rèn)知上的價(jià)值取向，也從中折射出情境化問題的兩種基本屬性——自然屬性和建構(gòu)特征，其中，“自然屬性”主要強(qiáng)調(diào)的是情境的“客觀性”與“真實(shí)性”，其內(nèi)容主要反映的是自然界與人類生活實(shí)踐中的規(guī)律與現(xiàn)象．對此，比利時教育家羅日葉在其《為了整合學(xué)業(yè)獲得：情境的設(shè)計(jì)和開發(fā)》一書中指出：這是一類建立在真實(shí)需要基礎(chǔ)上的、需要學(xué)生實(shí)際解決和完成的自然情境，但是這類情境賴以存在的需要不是為了學(xué)習(xí)的目的[9]．而“建構(gòu)特征”則強(qiáng)調(diào)情境化的教學(xué)加工，即通過聯(lián)系學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，將數(shù)學(xué)問題置于數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)性情境中，使之成為具有觸發(fā)學(xué)生思維、引發(fā)學(xué)生探究功能的“召喚”結(jié)構(gòu)．經(jīng)驗(yàn)是實(shí)踐基礎(chǔ)上的感知與認(rèn)識．立足于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)的思維經(jīng)驗(yàn)，是情境化設(shè)計(jì)的應(yīng)有之義．然而，生活經(jīng)驗(yàn)具有不同于活動經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)的特點(diǎn)，蘊(yùn)含了學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活中的“熟知點(diǎn)”和“興趣點(diǎn)”．由此，人們形成了這樣的認(rèn)識，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更容易受到來自學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)．基于這樣的認(rèn)識，教師在問題的情境化設(shè)計(jì)時，大多習(xí)慣聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，或者通過模仿現(xiàn)實(shí)生活來設(shè)計(jì)情境化問題．但是，隨之而來的問題是，教師在“聯(lián)系”與“模仿”中常常忽略生活的基本常識和行為邏輯，使問題情境成為沒有意義的虛擬式場景．

譬如，在“比例尺”教學(xué)中，有教師創(chuàng)設(shè)了這樣的生活情境：你們?nèi)ミ^成都嗎？重慶到成都的高速列車坐過嗎？高速列車美觀、舒適、速度快．現(xiàn)在從重慶到成都只需102分，比以前的普通列車快很多．可是，有只螞蟻只用6秒就從重慶到達(dá)了成都，可真厲害了！你知道是為什么嗎？這是一個有生活氣息的情境化問題，其設(shè)計(jì)意在通過螞蟻的“厲害”，激發(fā)學(xué)生興趣，幫助學(xué)生認(rèn)識和理解比例尺．然而，螞蟻真的“厲害”嗎？要知道，“102分”指的是高速列車在行駛中從重慶到成都所花的時間，而“6秒”則是螞蟻從地圖上的“重慶”爬行到“成都”所用的時間．可見，“螞蟻真的厲害”的內(nèi)容表述既不符合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)世界中的基本常識，也不利于學(xué)生認(rèn)識和理解“比例尺”問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其生活意義．

偏差2 思維方式的預(yù)設(shè)：重橫向數(shù)學(xué)化，輕縱向數(shù)學(xué)化

問題情境化設(shè)計(jì)是一種教學(xué)預(yù)設(shè)活動．“預(yù)設(shè)”指向素養(yǎng)目標(biāo)的心理預(yù)期，意味著教師對情境化問題所承載的素養(yǎng)培育功能的教學(xué)規(guī)劃與安排．素養(yǎng)的核心是思維．學(xué)生思維的發(fā)展不僅具有生成性，而且離不開教師的精心預(yù)設(shè)．換言之，思維發(fā)展體現(xiàn)了預(yù)設(shè)與生成的和諧統(tǒng)一．為此，通過教學(xué)加工將數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)藏于情境化問題之中，以此把數(shù)學(xué)問題的思想方法轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以展開的數(shù)學(xué)化思維方式，成為問題情境化設(shè)計(jì)中需要認(rèn)識和把握的價(jià)值意蘊(yùn)．

“數(shù)學(xué)化”作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)思想，最早是由弗賴登塔爾提出來的，意指“人們在觀察、認(rèn)識和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程”[10]．這是一個從現(xiàn)實(shí)生活逐漸抽象和形式化的思維過程．然而，從教學(xué)的現(xiàn)實(shí)圖景來看，教師對現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的關(guān)注，遠(yuǎn)勝于對數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化的思考．具體到問題的情境化設(shè)計(jì)中，就是過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，注重將橫向數(shù)學(xué)化（經(jīng)驗(yàn)歸納）的思維方式預(yù)設(shè)于情境化問題中．無疑，這種情境化設(shè)計(jì)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的預(yù)設(shè)性發(fā)展，即從現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)思考中抽象出數(shù)學(xué)知識，或者尋找、解釋數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)中的意義．然而，橫向數(shù)學(xué)化只是數(shù)學(xué)化的初級階段，過分和不恰當(dāng)?shù)貜?qiáng)調(diào)指向現(xiàn)實(shí)生活的情境化，忽視來自數(shù)學(xué)自身的情境化，這會導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)的“去數(shù)學(xué)化”．事實(shí)上，在教學(xué)時數(shù)相對穩(wěn)定的情況下，過多地關(guān)注數(shù)學(xué)問題的“現(xiàn)實(shí)生活化”，必然使學(xué)生的數(shù)學(xué)化思考過多停留在擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動中，難以進(jìn)入較高層次的數(shù)學(xué)思維發(fā)展階段．

以“平行四邊形的性質(zhì)”教學(xué)案例為例．有教師以“折紙活動”為切入點(diǎn)，要求學(xué)生將一張紙對折，剪下兩個疊放的三角形紙片，并按長度相等的對邊重合的要求，拼接四邊形．問：有幾種拼接四邊形的方法？拼圖中有平行四邊形嗎？如果有，請說明理由．然后，教師將學(xué)生拼接的圖形通過投影儀展示，同時設(shè)問：哪些拼圖屬于平行四邊形？試歸類，并說明它們有何共性．以此引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出平行四邊形的定義．其設(shè)計(jì)的目的，意在幫助學(xué)生通過“剪紙—拼圖—展示—觀察—?dú)w納”的探究活動抽象概括出平行四邊形定義．顯然，其預(yù)設(shè)的橫向數(shù)學(xué)化方法，為學(xué)生實(shí)現(xiàn)由生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展提供了有利的條件．

然而，在平行四邊形概念問題的情境化設(shè)計(jì)中，教師對如何將學(xué)生的思維從生活引向數(shù)學(xué)并未給予足夠的關(guān)注．事實(shí)上，作為平行四邊形定義的數(shù)學(xué)化對象，無論是剪紙拼圖問題，還是拼圖展示問題，它們并未脫離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活背景．?dāng)?shù)學(xué)源于生活，但高于生活．作為對此問題的一種改進(jìn)和思考，教師可以將四邊形拼圖抽象為四邊形圖形，將投影中展示的四邊形拼圖問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)四邊形圖形的探究問題，這不僅在四邊形圖形（而不是拼圖）的觀察與探究中預(yù)設(shè)了縱向數(shù)學(xué)化的思想方法，而且滲透了讓學(xué)生通過思維去認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)對象的教學(xué)思想．

偏差3 數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)：重難易度，輕層級性

思維是素養(yǎng)的核心，思維進(jìn)階依賴于情境化問題的探索與解決．無疑，關(guān)注學(xué)生在問題解決中的思維表現(xiàn)，把握問題的難易度和層級性，成為問題情境化設(shè)計(jì)的基本要求．

應(yīng)該說，教師對問題情境化設(shè)計(jì)的教學(xué)意義——促進(jìn)學(xué)生知識建構(gòu)和思維發(fā)展已形成基本共識．然而，囿于對情境的信息來源和問題難易度的認(rèn)識不足，加上缺少對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知現(xiàn)狀的了解，教師在數(shù)學(xué)問題的情境化設(shè)計(jì)中，常常過于關(guān)注問題的邏輯性與難易度的轉(zhuǎn)化，輕視或有意規(guī)避情境化問題的層級性．譬如，在初中教學(xué)中，為了引入函數(shù)概念，有教師創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：一架飛機(jī)起飛時油箱內(nèi)的油量為13 t，飛行時每分鐘耗油0.12 t，問：油箱內(nèi)的剩余油量是怎樣受到飛行時間的影響和制約的？這是一個典型的情境化問題，其中，飛行和油量的背景信息反映了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，而剩余油量和飛行時間之間具有的內(nèi)在關(guān)系，反映了函數(shù)概念的本質(zhì)——變量之間的依賴關(guān)系．然而，對于剩余油量與飛行時間之間的關(guān)系問題，教師未就如何從多個關(guān)系中引導(dǎo)學(xué)生理解和把握給予必要的關(guān)注．事實(shí)上，在學(xué)生思考這個問題之前，可以增設(shè)一組結(jié)構(gòu)層次相對低的情境化問題，譬如給出一組具體的飛行時間，讓學(xué)生回答與每一個飛行時間相對應(yīng)的剩余油量．這樣，情境化問題不僅體現(xiàn)了分層的設(shè)計(jì)思想，而且為學(xué)生在函數(shù)關(guān)系認(rèn)識中的思維表現(xiàn)提供了針對性的前提和條件．

圖1 情境化問題的層級關(guān)系

可見，彌合認(rèn)知偏差的關(guān)鍵，在于教師應(yīng)對自身的認(rèn)知局限保持敏感，避免陷入“自我感知良好”的尷尬．其重要突破口就在于教師應(yīng)增強(qiáng)自身對問題情境化設(shè)計(jì)的教學(xué)認(rèn)識，即以深化知識、發(fā)展思維為本，以數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)情感的交融為切入點(diǎn)，以情境化與數(shù)學(xué)化的關(guān)系均衡為尺度，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多層次和多水平的情境化設(shè)計(jì)．

3 數(shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)中的任務(wù)靶向

問題與情境是核心素養(yǎng)的落地之路．實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)由課程目標(biāo)向教學(xué)現(xiàn)實(shí)的有效轉(zhuǎn)化，不僅要彌合影響問題情境化設(shè)計(jì)的認(rèn)知差異，而且要精心創(chuàng)設(shè)承載素養(yǎng)培育功能的情境化問題．

無疑，問題情境化設(shè)計(jì)的核心就是如何明確問題情境化設(shè)計(jì)中的任務(wù)靶向．然而，美國匹茲堡大學(xué)“QUASAR計(jì)劃”的研究表明，“并非所有的任務(wù)類型都有相同的結(jié)果，即不同的任務(wù)要求學(xué)生有不同層次和不同類型的思維，反之，不同層次和不同類型的思維或能力也需要不同的任務(wù)來培養(yǎng)”[12]．因此，問題情境化設(shè)計(jì)必須在學(xué)生數(shù)學(xué)活動的聚焦中，明確任務(wù)靶向，即結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、教學(xué)內(nèi)容的理解以及學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與訴求，通過情境化的教學(xué)加工，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具有思考性、探究性與層次性的數(shù)學(xué)任務(wù)，以便在“內(nèi)容之知”的數(shù)學(xué)探究中，培育學(xué)生的“方法之知”——數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式與思維方式．為此，可以把問題情境化設(shè)計(jì)中的任務(wù)靶向分為兩個基本層面：一是學(xué)生新知學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，二是學(xué)生綜合能力的發(fā)展．在明確了任務(wù)靶向的層次性之后，靶向任務(wù)的載體就自然落在了靶向式情境問題上．結(jié)合羅日葉關(guān)于“靶向情境”的內(nèi)涵界定[9]，根據(jù)問題情境化教學(xué)加工程度不同，可以將情境化問題分為以下3種類型（見圖2）．

自然形態(tài)的情境問題——缺少教學(xué)加工，且外在于學(xué)生學(xué)習(xí)環(huán)境的情境化問題．

新知學(xué)習(xí)型情境問題——基于概念、原理、公式、法則等新知教學(xué)需要所設(shè)計(jì)的情境化問題．

綜合探究型情境問題——基于綜合能力發(fā)展需要所設(shè)計(jì)的情境化問題．

圖2 基于任務(wù)靶向的情境化問題

其中，新知學(xué)習(xí)型情境問題、綜合探究型情境是值得關(guān)注的兩類靶向式情境問題．

為了搭建指向素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)活動平臺，解決學(xué)生基于知識內(nèi)化和思維提升的問題，靶向式情境問題設(shè)計(jì)必須遵循“經(jīng)驗(yàn)性”原則、“整合性”原則與“適切性”原則，其中“經(jīng)驗(yàn)性”原則是前提，“整合性”原則是核心，“適切性”原則是關(guān)鍵（關(guān)系圖見圖3）．

（1）“經(jīng)驗(yàn)性”原則．

經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要資源．早在《民主主義與教育》一書中，杜威就指出：教育即經(jīng)驗(yàn)的不斷改造．然而，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界常常被教師排斥與拋棄，導(dǎo)致學(xué)習(xí)意義的缺失．因此，靶向式情境問題的設(shè)計(jì)，必須基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，把學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、活動經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)作為情境化問題對接學(xué)習(xí)體驗(yàn)的切入口，并將數(shù)學(xué)問題通過經(jīng)驗(yàn)性情境進(jìn)行教學(xué)加工，以此形成的數(shù)學(xué)情境化問題，才能成為數(shù)學(xué)思維的刺激物，引發(fā)有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才有可能．

在此意義下，情境化問題具有了“真實(shí)性”．這種“真實(shí)性”不是對現(xiàn)實(shí)生活的簡單模擬，而是通過教師的教學(xué)加工，使數(shù)學(xué)問題指向了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，體現(xiàn)了學(xué)生經(jīng)驗(yàn)世界中的“日常邏輯”．譬如，有這樣一個問題：“2022年有365天，有多少個星期？還多幾天？”在有余數(shù)的除法教學(xué)中，這是一個新知學(xué)習(xí)型情境問題．不過，如果該問題只是現(xiàn)實(shí)生活中的問題，且結(jié)果只用于生活中的實(shí)際需要，那么它就只能是一個自然形態(tài)的情境問題．顯然，這兩種形態(tài)的問題都不違“日常邏輯”，它們都具有“真實(shí)性”．但是，兩者的價(jià)值指向卻各有不同，前者是對有余數(shù)的除法問題“365÷7=？”的生活情境化，其問題的解決蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)化的思想與方法，而后者只是出于生活環(huán)境的需要，不具有教學(xué)上的意義和價(jià)值．

圖3 靶向式情境問題設(shè)計(jì)原則關(guān)系

可見，設(shè)計(jì)靶向式情境問題的前提，在于能否通過對接學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，遵循經(jīng)驗(yàn)世界的“日常邏輯”，還原知識的經(jīng)驗(yàn)性內(nèi)容，將數(shù)學(xué)問題嵌入到學(xué)生可以感知的經(jīng)驗(yàn)性情境之中，從而使情境化問題的價(jià)值指向能夠在經(jīng)驗(yàn)性內(nèi)容的“召喚”中被激發(fā)和顯現(xiàn)．

（2）“整合性”原則．

情境與問題是教學(xué)與思維的核心要素，正如杜威在《民主主義與教育》中指出的：“教學(xué)法的要素和思維的要素是相同的．這些要素是：第一，學(xué)生要有一個真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)的情境——要有一個對活動本身感到興趣的連續(xù)的活動；第二，在這個情境內(nèi)部產(chǎn)生一個真實(shí)的問題，作為思維的刺激物……”[13]由于素養(yǎng)源自情境問題中的思維張力，思維來自情境任務(wù)中的問題探索，因此，將問題與情境“整合”，使思維的張力轉(zhuǎn)化為均衡的數(shù)學(xué)化任務(wù)，并且置于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界之中，這成為問題情境化設(shè)計(jì)的基本要求．這里，“整合”的方式有兩種：一種方式是將問題中的概念及關(guān)系要素組織到經(jīng)驗(yàn)性情境中，同時指向橫向數(shù)學(xué)化的思維方式．以此構(gòu)建的情境化學(xué)習(xí)任務(wù)，體現(xiàn)的是問題與情境的“橫向”加工方式．與此相對應(yīng)的“縱向”加工方式，就是將蘊(yùn)含在情境化問題中的數(shù)學(xué)任務(wù)分解為一組子情境任務(wù)，使這組子任務(wù)不僅體現(xiàn)融入這個情境任務(wù)討論的自然過程，而且指向縱向數(shù)學(xué)化的思維過程．

以“勾股定理”為例．勾股定理是平面幾何的一個基本定理，為了揭示直角三角形中蘊(yùn)含的數(shù)形關(guān)系，即一個直角的“形”的特點(diǎn)決定了三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系，有教師設(shè)計(jì)了如下情境化問題：如圖4所示的方格紙上分別呈現(xiàn)了4個直角三角形，請你在表格（略）中完成有關(guān)2、2、2的數(shù)值填寫，看看能從中發(fā)現(xiàn)直角邊、與斜邊之間有什么數(shù)量關(guān)系．

圖4 方格上的直角三角形

學(xué)生通過操作、計(jì)算、觀察，然后歸納表格中的數(shù)量關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)4個直角三角形中兩直角邊與斜邊之間的數(shù)量關(guān)系：2+2=2．在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)設(shè)問：這種直角邊與斜邊之間數(shù)量關(guān)系對于一般直角三角形是否成立？這種情境化設(shè)計(jì)，有助于在探究中暴露學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)化思維的發(fā)展．

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是“學(xué)生在今后的生活、學(xué)習(xí)和工作中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能”（PISA），因此，整合情境化問題中的知識與技能，成為靶向式情境問題的設(shè)計(jì)的核心．為此，需要教師在“整合”中進(jìn)一步優(yōu)化情境素材以及數(shù)學(xué)的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，以喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、活動經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而調(diào)動更多的知識、技能與態(tài)度．

（3）“適切性”原則．

“適切性”意指問題情境化設(shè)計(jì)中情境諸要素與數(shù)學(xué)的關(guān)系和結(jié)構(gòu)之間形成的相關(guān)性，表現(xiàn)為合適、恰當(dāng)、適應(yīng)等方面特征．換言之，面對培育學(xué)生核心素養(yǎng)的時代要求，問題情境化設(shè)計(jì)不僅要契合教學(xué)目標(biāo)的要求，而且要與知識本質(zhì)的理解、學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)相匹配．其核心要義就是，根據(jù)教學(xué)任務(wù)的需要，將情境化問題的難易度保持在合理水平．無疑，情境化問題的基本構(gòu)成決定了影響其難易度的兩個基本因素——表征背景的復(fù)雜度和去背景問題的難易度，“表征背景中關(guān)系的復(fù)雜程度，反映了從背景問題中抽象出無背景問題的難易”[14]，而“去背景問題”的難易度與問題表征的關(guān)系密切．事實(shí)上，Ktovsky等研究者在對中國益智游戲——九連環(huán)的研究中發(fā)現(xiàn)，“問題難度的來源之一就是對于如何操作的發(fā)現(xiàn)過程，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)，信息程度提示高的變式比較容易解決，反之，則不易解決”[15]．國內(nèi)也有類似的研究結(jié)論，即“給背景問題加入合適的提示后，會降低問題解決的難度，并且提示的作用在中等難度的背景問題中最為明顯”[14]．因此，在問題情境化設(shè)計(jì)中，可以通過以下方式，賦予情境化問題所需要的難度水平：第一，強(qiáng)化（或弱化）背景表征的復(fù)雜性以及背景所涉及的知識基礎(chǔ)；第二，增加（或減少）去背景問題的信息提示．其教學(xué)加工的強(qiáng)弱程度，取決于情境任務(wù)的靶向需求和學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)．如在“探索相似三角形的條件”教學(xué)中，有教師設(shè)計(jì)了這樣的情境化問題：與同伴合作，兩個人分別畫△和△，使得∠=∠=30°，∠=∠=45°，此時，這樣的兩個三角形相似嗎？說說理由．為了增強(qiáng)問題的數(shù)學(xué)特征，教師改變了問題中的數(shù)學(xué)信息，即將“30°”“45°”分別改為給定的“∠”“∠”（0°<∠，∠<90°），這樣，學(xué)生要判斷△和△是否相似，就得考慮“∠”和“∠”的任意性及由此產(chǎn)生的歸納推理．進(jìn)一步地，教師對問題的背景信息進(jìn)行改變，將“畫圖”改為了“幾何畫板演示”，由此得到一個新的情境化問題：（用幾何畫板演示）改變角的大小，但是始終保持∠=∠、∠=∠，觀察 △和△是否相似？無疑，這增強(qiáng)了三角形相似判定的視覺特征，也同時增加了三角形相似判定的信息提示．盡管在一定程度上降低了情境化問題的難度水平，但是對于學(xué)生在理解和掌握相似三角形判定方法中，提高分析問題、解決問題的能力具有積極意義．

4 結(jié)束語

問題情境化對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展具有重要影響．基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，將數(shù)學(xué)問題與背景信息進(jìn)行整合，使情境化問題不僅契合教學(xué)目標(biāo)的要求，而且促進(jìn)學(xué)生在理解知識本質(zhì)的同時，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這成為教育新時代的教學(xué)主旋律．因此，對于問題情境化設(shè)計(jì)必須在認(rèn)知上進(jìn)行深化和引導(dǎo)，同時增強(qiáng)問題情境化教學(xué)的有效性．為此，數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題情境化設(shè)計(jì)必須解決兩個方面的基本問題：一是消除問題情境化設(shè)計(jì)中的認(rèn)知偏差，即情境內(nèi)容選取的偏差、思維方式預(yù)設(shè)的偏差和問題設(shè)計(jì)的偏差；二是需要明確問題情境化設(shè)計(jì)的任務(wù)靶向，創(chuàng)設(shè)合適的情境化問題來承載任務(wù)靶向，更好地促進(jìn)學(xué)生在知識理解、遷移與創(chuàng)生中，發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)．由此彰顯問題情境化設(shè)計(jì)的教學(xué)意義，進(jìn)而促進(jìn)核心素養(yǎng)由課程理念向教學(xué)的現(xiàn)實(shí)轉(zhuǎn)化．

[1] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程該標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：11．

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Cognitive Bias and Task Target in Situational Design of Mathematical Problems

ZHANG Jing1, 2, XIA Xiao-gang1

(1. School of Mathematics and Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China;2. School of Science, Qiongtai Normal University, Hainan Haikou 571127, China)

In the era of literacy, two basic problems must be solved in mathematical problems situational design. First, the cognitive bias in the situational design should be eliminated, involving the bias in the situational content selection, the bias in the way of mathematical method preset and the deviation in the mathematical problem designing, so as to form a good match between the goal setting of the problem situation and students’ cognitive foundation of; Second, in order to enhance the effectiveness of problem-based contextualized teaching, it is necessary to clarify the task target of problem-based contextualized design, create appropriate contextualized problems to carry the task target, and better promote the development of students’ mathematical literacy in knowledge construction.

mathematical problems; situational design; cognitive bias; task target

G420

A

1004–9894（2022）06–0075–05

張晶，夏小剛．?dāng)?shù)學(xué)問題情境化設(shè)計(jì)中的認(rèn)知偏差及任務(wù)靶向[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（6）：75-79．

2022–07–05

全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——面向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境教學(xué)測評模型研究（XHA180286）；瓊臺師范學(xué)院校級一流本科課程建設(shè)項(xiàng)目（QTjg2022-52）

張晶（1984—），女，吉林集安人，瓊臺師范學(xué)院講師，貴州師范大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．夏小剛為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]