“小學數(shù)學探究性作業(yè)”的學習與思考

□ 鄭毓信

“小學數(shù)學探究性作業(yè)的設(shè)計與實施”是浙江省特級教師劉善娜的一項研究工作，已在同行間獲得普遍的好評。筆者對此也有很大的興趣，多次閱讀她在這方面的一部著作《這樣的數(shù)學作業(yè)有意思——小學數(shù)學探究性作業(yè)設(shè)計與實施》（以下簡稱《這樣的數(shù)學作業(yè)有意思》）。近期又在《教學月刊·小學版》（數(shù)學）上看到了她的文章《單元整體視角下小學數(shù)學探究性作業(yè)的設(shè)計》[1]，發(fā)現(xiàn)她對探究性作業(yè)的設(shè)計有了更為系統(tǒng)、更為深入的研究，這自然激起了筆者更大的興趣。筆者一直認為，與頻繁地轉(zhuǎn)換課題特別是對于時髦潮流的盲目追隨相比較，應(yīng)當更加重視研究工作的不斷深入，包括帶動更多教師一起從事教學研究。另外，一線教師也應(yīng)十分重視理論學習，這樣就能從更高層面做出更深入的分析思考。這也正是本文的主要論點，即以上述工作為背景提出筆者在這方面的一些具體想法，希望能發(fā)揮一定的促進作用。

一、聚焦《這樣的數(shù)學作業(yè)有意思》

筆者對于我國小學教師群體有這樣一個總體看法：如果說小學教師在課改初期普遍表現(xiàn)出缺乏獨立思考這樣一個弊病，那么這一情況現(xiàn)在已經(jīng)有了很大變化，不僅教師的分析能力有了很大提高，而且有不少優(yōu)秀教師提出了自己相對獨立的教學主張或理論思想。劉善娜老師的研究工作具有獨特之處：她在撰寫《這樣的數(shù)學作業(yè)有意思》這一著作時還只是一名普通教師，相關(guān)工作也未得到有關(guān)部門的鼓勵和資助，只是反映了她為了解決日常教學中遇到的問題或困惑所做的努力，這其實也集中反映了一線教師的一種心態(tài)，即希望通過持續(xù)的努力包括積極的教學研究不斷改進自己的教學，相關(guān)研究也具有密切聯(lián)系教學實際的特點。由這一工作的實際發(fā)展路徑就可清楚地看出，從“一日一題”“每周一題”與“數(shù)學日記”，逐漸發(fā)展成為對“數(shù)學探究性作業(yè)”的系統(tǒng)研究。[2]18

簡言之，盡管這一著作不能說已經(jīng)建立起“小學數(shù)學探究性作業(yè)”的系統(tǒng)理論，但還是可為一線教師實現(xiàn)專業(yè)成長提供一個范例，特別是，我們應(yīng)當牢記教師的初心，并通過持續(xù)的努力改進教學和密切聯(lián)系教學，積極地開展教學研究。

也正因為劉善娜老師的研究工作具有密切聯(lián)系教學實踐的特點，從而十分適合一線教師學習和借鑒。以下針對《這樣的數(shù)學作業(yè)有意思》這一著作的主要部分做出簡要述評。

（一）追尋：探究性作業(yè)的作用與適當定位

首先，我們不應(yīng)將“探究性作業(yè)”混同于一般所說的“學生主動探究”，因為后者顯然具有更廣泛的含義，即不只局限于“作業(yè)”這樣一個范圍?！疤骄啃宰鳂I(yè)”應(yīng)被看成是“一般性作業(yè)”的必要補充，并有助于“作業(yè)功能的最大化”，包括如何能夠解決現(xiàn)實中經(jīng)?？梢钥吹降倪@樣一個現(xiàn)象，即學生不喜歡數(shù)學，教師也因無法逃脫“題海戰(zhàn)術(shù)”而深感痛苦。[2]2-3，19

劉善娜老師在這方面的一個主要觀點是“數(shù)學作業(yè)教學”應(yīng)當同時做好兩個方面的工作，或者說兩個方面的必要互補。

1.常規(guī)性作業(yè)要“少而精”，特別應(yīng)控制好作業(yè)的“量”。這里有一個很好的建議，就是教學中應(yīng)給予學生一定的選擇權(quán)。另外，劉善娜老師認為“不給學生布置任何家庭作業(yè)、努力實現(xiàn)作業(yè)的‘當堂清’”這一做法并不妥當，因為這關(guān)系到如何充分發(fā)揮作業(yè)的功能，使其既能幫助學生真正喜歡數(shù)學，又能讓他們逐步學會自律、學會學習。[2]4，19

2.做好探究性作業(yè)的設(shè)計與實施，從而為學生提供更大的發(fā)展空間，努力提升他們的探究能力。劉善娜老師在這方面也有這樣一個明確主張：“我們的孩子們只要能在每個單元的學習中做一兩次有意思的探究性數(shù)學作業(yè)，就能在發(fā)展數(shù)學探究能力的同時，更加喜歡數(shù)學。”[2]69顯然，這也直接涉及“探究性作業(yè)”與“常規(guī)性作業(yè)”之間的關(guān)系，因此，我們不應(yīng)在這方面秉持任何一種絕對化的立場。

（二）設(shè)計：數(shù)學探究性作業(yè)的內(nèi)涵

那么，我們究竟應(yīng)如何從事小學數(shù)學探究性作業(yè)的設(shè)計呢？

從形式上看，相關(guān)內(nèi)容似乎主要集中于這樣一項工作，即不同學段有哪些“有探究空間的作業(yè)點和適合的作業(yè)類型”以及“對應(yīng)的能力培養(yǎng)和學生的心理特點”，包括一個具體建議，即相關(guān)工作應(yīng)當很好地突出相應(yīng)的“核心詞”。但在筆者看來，所有這些論題又都有深入探討的必要。例如，所說的“五種作業(yè)類型”各有什么特殊的作用或功能？什么又應(yīng)被看成具有特別的重要性？再者，盡管《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提到的“核心概念”確有一定的針對性，但如果因此而認定存在如下對應(yīng)關(guān)系，顯然也只能說是一種簡單化的認識：“三年級：數(shù)感與幾何直觀；四年級：空間觀念；五年級：符號意識；六年級：模型思想?！盵2]24-25，60-69

相對而言，我們應(yīng)當特別重視這樣三種能力的培養(yǎng)，即讀畫繪畫能力、推理分析能力、錯誤利用能力。進而，筆者以為，關(guān)于“探究性作業(yè)”的三個具體要求“讓每個孩子都有思考，有話說，并有興趣”，可被看成是相關(guān)工作最有價值的一項內(nèi)容，因為這或許就可被看成是實現(xiàn)前述目標的關(guān)鍵。

首先，就小學數(shù)學教學而言，“有興趣”顯然應(yīng)當被看成是一個普遍性的要求。這也就如劉善娜老師在書中所指出的，探究性作業(yè)應(yīng)當“扣住”孩子們“好勝+好奇+好玩+好動”的心理特征。但是，這個要求事實上也應(yīng)被看成是數(shù)學作業(yè)特別是“探究性作業(yè)”的一個重要功能，即幫助學生逐步養(yǎng)成一種新的、更高層次的價值觀念。大多數(shù)人之所以喜歡數(shù)學，包括由此而逐步養(yǎng)成對于“理性”的推崇，并不是因為數(shù)學容易，而是因為數(shù)學中有很多問題的求解并不容易，需要長時間的思考，往往還需經(jīng)歷一定的失敗和痛苦，但最終能讓人感受到更深層次的快樂，感受到思維的力量……

其次，促進學生思維的發(fā)展，或者說讓每個孩子都“有思考”，這應(yīng)當說也是全部數(shù)學教學工作都應(yīng)滿足的一個要求。我們應(yīng)當通過這一渠道不僅使學生喜歡數(shù)學，也能喜歡思考、喜歡探究。

最后，讓每個孩子都“有話說”，則清楚地表明“表達與交流”的重要性，這也讓我們從更廣泛的角度認識探究性作業(yè)的作用，包括很好地體現(xiàn)“過程性、差異性和選擇性”這樣三個特性。因此，我們不應(yīng)唯一著眼于如何能夠有效地解決問題，也應(yīng)十分關(guān)注學生是否積極展開探究，盡管未必取得成功，甚至只是一些初步的想法和嘗試，通過這一過程又有什么樣的感受和收獲：既可以是成功的經(jīng)驗，也包括失敗的教訓(xùn)或純粹的感受……不難想到，這事實上也就直接涉及我們應(yīng)當如何去從事探究性作業(yè)的教學。

（三）落地：數(shù)學探究性作業(yè)的實施

按照作者的觀點，我們在從事探究性作業(yè)的教學時應(yīng)當特別重視以下這些問題。

1.布置的時機?！耙紤]到有些內(nèi)容適宜布置在新知學習之前，讓孩子自發(fā)遷移探究，有些內(nèi)容則必須布置在新知學習之后，讓孩子通過對比、關(guān)聯(lián)等途徑給予理解深化。”[2]74，83-91這就直接涉及這樣一個認識，即數(shù)學作業(yè)應(yīng)當在不同時機發(fā)揮不同的作用。如“新知學習前”的了解和鋪墊，“新知學習后”的復(fù)習和鞏固，特別是對于易混概念的清楚區(qū)分、學習難點的突破等。由于這一結(jié)論對于一般性作業(yè)包括“課堂練習”和“課外作業(yè)”顯然是同樣適用的，我們就應(yīng)更深入地去思考這樣一個問題：如果我們認定在各個階段都應(yīng)鼓勵學生積極地進行探究，那么“探究性作業(yè)”在各個階段究竟又有什么特殊的作用？

再者，“探究性作業(yè)”的布置是否也應(yīng)與學習內(nèi)容密切相關(guān)，特別是其中所涉及的思維過程應(yīng)當是“橫向的發(fā)展”，也即主要是一種擴展性的工作，還是“縱向的發(fā)展”，也即具有明顯的不連續(xù)性？由于作者在書中提到的“新知可以由遷移順取”和“新知能延伸拓展”這兩個類別事實上都可被看成屬于前一范圍，我們自然又應(yīng)提出這樣一個問題：如果新知不能由“遷移”或“延伸”直接獲得，那么我們是否仍應(yīng)堅持探究性作業(yè)的應(yīng)用，教師在此又應(yīng)給學生哪些必要的幫助？

2.指導(dǎo)策略。作者在書中提到的“指導(dǎo)策略”，也即“探究的大致步驟”。為學生提供必要的幫助，即面對不同的問題應(yīng)當怎樣思考。一般適用于小學低、中年級的數(shù)學教學，能幫助學生很好地了解與適應(yīng)數(shù)學家的思維方式與工作方式。但是，數(shù)學教學顯然不應(yīng)停留于單純的“規(guī)范化”這樣一個水平，而應(yīng)幫助學生由“被動的適應(yīng)”逐步轉(zhuǎn)向真正的“理解與欣賞”，從而能更主動地進行學習，包括努力提升自己解決問題的能力，并真正喜歡數(shù)學，喜歡思考。顯然，這事實上也為我們研究“指導(dǎo)策略”提供了新的著眼點，特別要思考相關(guān)教學究竟是集中于“解題策略”的學習，包括后者的“細化”，乃至解題活動的“程序化和算法化”，還是由具體的數(shù)學思想方法與解題策略轉(zhuǎn)向一般性的思維策略，特別是努力提升學生的思維品質(zhì)。

3.評價策略。不僅探究性作業(yè)的設(shè)計應(yīng)為所有學生的積極探究提供合適的空間，教師在教學中也應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)學生的亮點并予以大力的表揚，從而讓每個學生都能有切實的成就感，并因此愛上數(shù)學、愛上思考。另外，我們還應(yīng)當努力做好“家校聯(lián)手”的工作，調(diào)動各方面的力量。當然，相對于單純的“外部激勵”，教師應(yīng)更加關(guān)注如何提升學生在這一方面的自覺性，包括清楚地認識數(shù)學探究的意義，以及如何對自己和他人的工作做出評價。正如書中所言：“我們讓孩子做探究性數(shù)學作業(yè)，也應(yīng)該讓孩子感受到‘我所做的探究性作業(yè)，我所付出的努力，我所付出的思考，是為了讓自己更加美好’?！盵2]92

4.關(guān)于“探究性作業(yè)”作用的再認識。筆者以為，我們在此應(yīng)當特別重視“總結(jié)、反思與再認識”這樣一項工作，包括跳出“探究性作業(yè)”，從更廣泛的角度認識做好這方面工作的重要性。具體地說，除去有益于提升學生在這方面的自覺性以外，這也直接關(guān)系到數(shù)學本身的性質(zhì)：“數(shù)學化一個重要的方面就是反思自己的活動，從而促使改變看問題的角度?！币舱驗榇?，“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次”（弗賴登塔爾語）。

另外，就目前的論題而言，這顯然也就更清楚地表明了這樣一點：只要引導(dǎo)得法，“探究性作業(yè)”確實可發(fā)揮更大的作用，并真正成為全部數(shù)學教學工作的重要一環(huán)。

最后，筆者以為，對于作者在書中提及的以下事實我們應(yīng)予以足夠的重視：“三、四年級孩子的探究性作業(yè)趣味性強、個性十足……五、六年級……孩子們的探究性思考意味十足，但多樣性遞減，大多數(shù)時候都呈現(xiàn)出‘大同小異’的狀態(tài)。”[2]106這清楚地表明了這樣一點：不同學段的“探究性作業(yè)”應(yīng)有不同的重點與內(nèi)涵。上述變化究竟是一種自然的發(fā)展，還是與不恰當?shù)慕虒W密切相關(guān)？建議讀者可聯(lián)系先前關(guān)于“指導(dǎo)策略”的分析對此做出自己的判斷，包括通過教學實踐做出必要的檢驗。

二、“單元整體視角下小學數(shù)學探究性作業(yè)的設(shè)計”之審思

前面已經(jīng)提到，一線教師在從事教學研究時應(yīng)當防止“東打一槍、西放一炮”的傾向，特別是避免盲目追隨各種時髦的口號或理論主張。除此以外，還應(yīng)注意糾正這樣一個現(xiàn)象，即相關(guān)人員既缺乏埋頭實干的決心與毅力，也不重視自身研究能力的提升，而只是熱衷于現(xiàn)成工作的包裝，如由素樸的教學思想迅速膨脹成覆蓋各個學段和各門學科的“龐大理論”。也正是在這樣的意義上，劉善娜老師帶領(lǐng)其團隊開展的這一項新研究“單元整體視角下小學數(shù)學探究性作業(yè)的設(shè)計”，就可被看成為一線教師提供了一個很好的范例，即我們?nèi)绾文軌驅(qū)崿F(xiàn)教學研究工作的不斷深化。

具體地說，以先前的工作為基礎(chǔ)，劉善娜老師和她的團隊選擇了一個深入開展研究的很好的切入點。之所以說這是一個很好的選擇，是因為“整體的視角”在很大程度上可被看成是數(shù)學教學“減負增效”的關(guān)鍵，包括作業(yè)設(shè)計上的“少而精”，以及我們應(yīng)如何進行教學才能很好地發(fā)揮“作業(yè)”（這既指“探究性作業(yè)”，又包括“常規(guī)性作業(yè)”）的應(yīng)有作用，特別是能真正做到“突出重點、以主帶次，以發(fā)展代替重復(fù)，用深刻促成簡約”。

另外，這一工作還有一個很好的特點，即整體規(guī)劃下的合理分工。此話題中同時發(fā)表的六篇教研文章恰好覆蓋了小學的六個年級，這在總體上體現(xiàn)了一些重要的認識，如應(yīng)以“單元內(nèi)容的分析”和“常見習題概總”作為“單元探究性作業(yè)設(shè)計”的直接基礎(chǔ)，相關(guān)作業(yè)應(yīng)很好地起到“聯(lián)系前后”、促進學生認識的發(fā)展這樣一個作用。

在筆者看來，這也清楚地表明了這樣一點：為了促進教學研究的深入，除去積極的教學實踐與認真總結(jié)和反思以外，我們也應(yīng)十分重視理論（包括其他人的研究成果）的學習，從而努力拓寬自身的眼界，并能達到一定的深度。

劉善娜老師這一文章最基本的一個立足點，就是我們的全部工作包括教學實踐與教學研究都不應(yīng)脫離如何能夠很好地落實數(shù)學教育目標這一思考，特別是除去數(shù)學基礎(chǔ)知識與基本技能的學習以外，我們也應(yīng)通過數(shù)學教學努力促進學生思維的發(fā)展，很好地提升他們的思維品質(zhì)。對此由文中所提及的“指向思維發(fā)展的探究性作業(yè)”這一新的定位就可以清楚地看出。另外，筆者以為，也只有從同一角度進行分析，我們才能更好地理解她在這方面所提出的這樣一些建議的重要性，也即教學中我們應(yīng)當切實抓好這樣一些環(huán)節(jié)：“畫數(shù)學”“說數(shù)學”——思維過程的顯性化；“做數(shù)學”——以做促思；“聯(lián)數(shù)學”——“讓思維能力在融會貫通中進階”，實現(xiàn)思維的深刻化。以下從理論角度對此做出進一步的分析。

第一，對于“畫數(shù)學”的強調(diào)顯然與劉善娜老師在先前所從事的另一項“實踐性研究”，即“把數(shù)學畫出來”[3]具有直接的聯(lián)系。依據(jù)所謂的“多元表征理論”，我們對此有更好的認識，包括為什么要同時強調(diào)“說數(shù)學”，乃至積極鼓勵學生“動手實踐”。

第二，所謂的“聯(lián)數(shù)學”，則直接涉及由“局部性思考”向“整體性觀念”的過渡。因為只有用聯(lián)系的觀點看待事物和現(xiàn)象，我們才可能超出各個具體對象建立起整體性的認識，從而達到相當?shù)恼J識深度，包括建立結(jié)構(gòu)性的認識。

第三，“做數(shù)學”可以被看成是特別重要的一個環(huán)節(jié)。當然，對于所說的“做”，我們應(yīng)做廣義的理解，即不應(yīng)局限于簡單意義上的“動手實踐”，而應(yīng)包括“做（數(shù)學）作業(yè)”或“（數(shù)學）問題解決”，以及更高層次的“數(shù)學應(yīng)用”。但是，無論所涉及的究竟是哪種數(shù)學活動，我們都應(yīng)當堅持這樣一個立場，即不應(yīng)“為做數(shù)學而做數(shù)學”，而應(yīng)通過“做數(shù)學”努力促進學生積極地進行思考，從而實現(xiàn)認識的不斷發(fā)展，特別是必要的優(yōu)化。還應(yīng)強調(diào)的是，如何真正做到“以做促思”，這或許也可被看成是數(shù)學教學的難點之一。

依據(jù)上述分析，相信讀者也可以很好地理解筆者關(guān)于如何判斷一堂數(shù)學課成功與否的建議：無論這是一堂什么樣的數(shù)學課，所涉及的是什么內(nèi)容，也無論教師在其中采取了什么樣的教學方法或教學形式，如果相關(guān)教學未能促進學生積極、深入地進行思考，它就不能被看成是一堂真正的好課。進而，從同一角度我們也可以更好地理解劉善娜老師在文中提到的探究性作業(yè)的“三個特征”，即關(guān)于如何從事探究性作業(yè)教學的三個建議：（1）突出問題導(dǎo)向；（2）強調(diào)問題解決過程；（3）重視問題解決結(jié)果的呈現(xiàn)。所說的“問題導(dǎo)向”（“問題引領(lǐng)”）和“將內(nèi)隱的思考過程顯性化表達”顯然都具有超出“探究性作業(yè)”這一特定論題的普遍意義，包括我們?yōu)槭裁磻?yīng)當特別重視“整體性觀念”的指導(dǎo)。當然，在此也有進一步研究的必要。例如，如果我們所關(guān)注的僅僅是“問題解決結(jié)果的呈現(xiàn)”，就具有較大的局限性，甚至可被直接歸屬于“說數(shù)學”這樣一個范圍；與此相對照，我們在教學中應(yīng)當更加強調(diào)“過程與結(jié)果”的回顧、總結(jié)與反思，包括必要的比較與分析，因為，正如前面所提及的，這不僅可以被看成是由單純的“做”過渡到“思”、由“具體的數(shù)學思想或解題策略”上升到“一般性思維策略與思維品質(zhì)”的關(guān)鍵，也十分有益于提升學生在這一方面的自覺性。

更一般地說，我們還應(yīng)深入地思考這樣一個問題：什么可以被看成是我們做好數(shù)學教學的關(guān)鍵？無論是所謂的“探究性作業(yè)”（更準確地說，應(yīng)是“作業(yè)教學”）或“整體的視角”，包括“問題引領(lǐng)”，事實上都可被看成是數(shù)學教學最重要的一些環(huán)節(jié)或關(guān)鍵。而正如上述分析所表明的，即使我們僅僅關(guān)注“探究性作業(yè)的設(shè)計與實施”，也仍然可以由相關(guān)思考獲得重要的啟示，包括很好地弄清進一步工作的方向。當然，從更深入的角度看，所有這些又都離不開我們關(guān)于數(shù)學教育基本目標的思考，特別是數(shù)學教育應(yīng)當努力促進學生思維的發(fā)展這樣一個基本的立足點。由于后者正是“數(shù)學深度教學”的核心[4]，這也就可以被看成為深入開展各方面研究提供了重要的理論框架。不難想到，這事實上也可以被看成是充分發(fā)揮“整體的視角”指導(dǎo)作用的又一實例！