推理有難度 支架來相助
——在“圓周率”取值推導中運用教學支架的實證研究

□ 羅永軍 鮑雯華

“我不敢保證結果對不對”，在“圓的周長”教學中，一位學生匯報完“圓的周長是直徑的3 倍多一點”之后，小心翼翼地補充說明。他的發(fā)言得到了很多同學的認同：“因為量的時候會有誤差?！睂W生為什么會對結果產(chǎn)生疑問呢？圖形中的數(shù)量關系不是一個整數(shù)，這對小學生來說是第一次遇到，因此有疑問也很自然。是不是因為測量有誤差，所以這個倍數(shù)才出現(xiàn)了小數(shù)？會不會有一些圓，周長正好就是其直徑的3倍或4倍呢？

疑問很自然，回應有點難。因為不管我們如何提高測量精度，也只能測量出某一個具體圓的相關數(shù)據(jù)，無法得到一般性的結論。測量可以發(fā)現(xiàn)事實，但要形成普遍規(guī)律，還需要“推理”來證實。小學生能完成這個推理過程嗎？如果不能獨立完成，教師該如何設置教學支架為學生助力呢？

一、數(shù)學分析

用小學生能夠理解的數(shù)學知識可以推理出圓周率在3～4之間，確實是一個小數(shù)。

首先，圓周率一定大于3。如圖1所示，我們可以在圓內構建一個正多邊形，圓內接正多邊形。由于每兩點之間的弧長大于邊長（兩點之間線段最短），如⌒

圖1 π ＞ 3原理示意圖

AB＞AB，得出圓周長大于正多邊形周長的結論。當圓內接一個正六邊形時，如果把頂點連接圓心，就構成了6 個等邊三角形。因為三角形的邊長是圓的半徑r，也即正六邊形的邊長，所以正六邊形的周長是6r，即3d，由此可得出圓周長大于3d的結論。

其次，圓周率一定小于4。如圖2所示，我們可以在圓外構建外切正多邊形，此時，相鄰兩切點之間的弧長小于折線長，即多邊形的邊長（如果相等，那么弧與折線將會重合），如因此，圓的周長小于外切正多邊形周長。當圓外切正方形時，正方形邊長與圓的直徑相等，可得周長是4d，即圓周長小于外切正方形周長4d。

圖2 π ＜ 4原理示意圖

因此，圓的周長一定大于其直徑的3倍且小于其直徑的4倍，即圓周長與其直徑的比值在3～4之間，是個小數(shù)。從上面的分析可以看出，證實圓周率是一個小數(shù)的關鍵是需要構建一個圓外切正四邊形和一個圓內接正六邊形。要想到這一步，對學生來說是一個難點，教材給出了什么教學線索呢？

二、教材分析

在小學，圓周率的學習要求是“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值”[1]。教材是如何體現(xiàn)的呢？我們查閱了人教版、北師大版、蘇教版、浙教版和香港現(xiàn)代版等教材，發(fā)現(xiàn)教材給出的教學步驟大致有這樣幾點：①猜測圓周長與其直徑長短有關；②測量圓周長及其直徑，發(fā)現(xiàn)圓周長與其直徑的比值（圓周率）是3倍多；③用幾何關系推理出圓周率在3～4 之間，不是整倍數(shù)；④了解數(shù)學史，知道圓周率是一個定值。對于以上過程，雖然不同的教材有不同的取舍，但步驟①②④，各套教材都有呈現(xiàn)，差異主要體現(xiàn)在第③步上，具體情況見表1。

表1 五個版本教材圓周率探索部分過程匯總表

從表1可以看出，上述教材的差異集中體現(xiàn)在“推理發(fā)現(xiàn)”的處理上。有的教材選擇繞過這個難點，如人教版、浙教版教材在“操作”之后直接介紹了圓周率及其相關歷史，給出結論：“其實，早就有人研究了周長與直徑的關系，發(fā)現(xiàn)任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數(shù)，我們把它叫作圓周率，用字母π 表示……”有的提供了圓內接正六邊形或圓外切正方形供學生推理分析，如北師大版、蘇教版和香港現(xiàn)代版等教材（如圖3~5）。不過，這3個版本教材的相關內容在編排的順序呈現(xiàn)上不盡相同，北師大版教材放在課后練習中；蘇教版教材放在操作活動前讓學生根據(jù)圖式對圓周率作估計；香港現(xiàn)代版教材則放在探索活動中，希望教師能如此講解給學生聽。

圖3 北師大版教材六年級上冊第10頁

圖4 蘇教版教材五年級下冊第92頁

圖5 香港現(xiàn)代版教材6（A）第65頁

這個推理分析過程是否有必要呢？我們知道，用測量操作的方法雖然簡單易行，但是受測量工具和測量方法所限，無法得到精確的測量結果。何況就算我們有辦法得到精確的結果，也無法對所有的圓一一進行測量。因此，終究難以回答諸如“圓周率到底是不是一個固定的小數(shù)”“為什么圓周率在3～4之間，一定不是整數(shù)”等疑惑。要回答這樣的問題，就必須跳出測量的局限，利用圖形關系來進行推理分析。更重要的是，邏輯推理作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一，是學生走向未來的關鍵能力。在操作階段，學生已經(jīng)用“數(shù)學的眼光”發(fā)現(xiàn)了一些值得關注的事實，形成了一些結論，這就是歸納推理。如果能讓學生進一步體驗從個例發(fā)現(xiàn)到規(guī)律證實的演繹推理過程，那么“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”等能力將得到充分的培養(yǎng)。因此，這個推理分析過程值得讓學生來體驗。不過，這個過程小學生能否自主探究出來呢？

三、學生分析

“圓的周長”這一內容放在小學高年級學習，這個年齡段的學生正處于“形式運算階段”的開始，他們是否具備這樣的能力呢？為此，我們隨機選取了杭州市上城區(qū)某學校六年級一個班35名學生作為樣本，做了前測與調查。前測結果如圖6所示。

圖6 圓周率前測結果

前測分兩部分，我們分別調查了學生了解圓周率的前概念水平和利用圖形關系推理圓周率的情況。從前測結果看，圓周率的前概念水平有3個層次：①沒聽說過圓周率；②聽說過圓周率（約）是3.14，但不知道具體含義；③知道圓周率的含義以及得到的過程。根據(jù)這3個層次我們打算在教學中分別提供A、B、C三種學習單以適當助力。

從調查中可以看出，雖然有學生知道可以用測量的方法來研究圓周率，但沒有人想到用圖形關系來研究。那么，如果直接給出圓與多邊形關系的圖式，學生能否自行推理呢？因此在前測的第二部分，我們給出了圓與外切正方形和內接正六邊形的圖式。即便如此，也只有14.1%的學生能利用圖形關系來推理?？磥?，就算是給出關系圖，多數(shù)學生也較難完成推理。

但會不會存在另一種可能？也就是因為這兩個關系圖并不是學生自主構建出來的，沒有形成學生的思維起點，所以學生反而不知其所用，不明白為什么要在圓外畫一個正方形、在圓內放一個正六邊形。如果讓學生自主構建這兩個圖形，完成率會不會有變化呢？

四、教學分析

（一）設計教學

根據(jù)上述分析與猜想，我們在教學中運用過程變式[2]的設計，分類分層推進。特別設計了教學支架讓學生自主發(fā)現(xiàn)圓與正多邊形的關系這一關鍵點。本設計具體教學路徑如圖7所示。

圖7 圓周長教學路徑圖

（二）教學實施

（1）呈現(xiàn)大小不同的3 個圓，感知圓周長與直徑的關系。

（2）探究圓周長與直徑的倍數(shù)關系。根據(jù)前測結果，分組探究，給A組提供較為詳細的實驗步驟，B 組只提供實驗器材和記錄單，C 組則進行推理探究，C組學習單如圖8所示。

圖8 C組學習單

（3）A組和B組操作后匯報結果，C組不參加交流，開始自行書寫推理過程。

匯報中引出疑問：周長一定大于直徑的3 倍？真的不會達到直徑的4倍？A組和B組開始推理探究，C組結束推理過程的書寫，開始獨立練習。

（4）A、B、C三個組在推理探究時給出的支架和時間都相同。

支架1——圖式（見C組學習單）：直徑10厘米的圓。（3分鐘后如果學生還沒解決，給出支架2）

支架2——文字：如果圖形的周長是直徑的4倍，那么這可能是什么圖形？（3 分鐘后，如果學生還沒解決，給出支架3）

支架3——實物：8 根與直徑等長的小棒、8 根與半徑等長的小棒（探究時間3分鐘）。

（5）A組、B組結束探究，C組也暫停練習，全班開始交流匯報，并進行總結。

（三）結果與分析

提供不同支架后，全班學生推理探究的情況如表2所示。

表2 推理探究圓周率課堂情況統(tǒng)計表

從表2 可以看出，有了不同支架的助力后，100%的學生能自主構建圓外切正方形來解釋π＜4，約60%的學生能自主構建圓內接正六邊形來解釋π＞3。

使用不同支架時，A、B、C 各組的完成率如圖9、圖10所示。

圖9 使用不同支架時各組完成率（推理π＜4）

圖10 使用不同支架時各組完成率（推理π＞3）

從圖中可以看出，圖式和文字這兩種教學支架對于較為簡單的推理問題（π＜4）有一定的作用，其中C 組同學只要有文字提示即可，100%能完成；A、B 兩組同學的完成率不高，分別是11%和40%；對于較為復雜的推理問題（π＞3），僅有C 組中16.7%的人能完成?？磥恚瑑H有圖式和文字還不夠。提供實物操作后，學生的推理水平明顯提升，能夠自主構建圓外切正方形這個關鍵圖形（推理π＜4）的人數(shù)直線上升：A 組完成率從11%猛增到了89%，B 組剩余的60%的同學也全部能完成；在自主構建圓內接正六邊形（推理π＞3）時，B組同學的完成率從0%增加到80%，C 組剩余的83%的同學也全部完成?？磥?，實物操作的助力作用非常明顯。

實物操作在解決問題特別是較難問題時，為什么會對學生有如此大的幫助呢？

在觀察學生推理（π＞3）時，有一個現(xiàn)象引起了我們的注意：在提供圖式和文字支架后，不少學生先畫出了這樣的圖（圖11），然后據(jù)此推理：因為圓周長大于三角形周長，而三角形周長等于3d，所以C圓＞3d。顯然，學生是把弦長當作直徑了。等實物到手后，學生動手一擺馬上發(fā)現(xiàn)了問題所在（圖12）。在繼續(xù)擺放中，學生發(fā)現(xiàn)其實在圓內無法用直徑小棒來搭建多邊形的，于是換用半徑小棒，沿著圓周擺放，發(fā)現(xiàn)正好可以擺6 根，擺成了正六邊形。進而想到用等邊三角形來分析（圖13）。

圖11

圖12

圖13

通過觀察學生的活動，我們注意到實物操作與圖式和文字提示相比具有以下特點：①操作方便。學生可以快速不斷地嘗試；②反饋及時。嘗試的結果對不對，是繼續(xù)往下做還是換一種方法，學生需要從嘗試的結果來進行調控，因此反饋的快速及時對于探究活動來講尤顯重要。相比之下，文字或圖式的主要功能是傳遞信息，但信息本身只是一個線索，對不同的人的啟發(fā)程度不一樣，而且難以持續(xù)互動與跟進反饋，因此對于認知能力特別是閱讀與理解能力較高的學生來講可以“一語道破”，而對于大多數(shù)學生來講效果沒那么明顯。實物操作時，每一次嘗試可以很快得到反饋，擺放是否正確不需要等待教師來評判，學生可以立即判斷從而調整自己的行為；③具身認知。實物操作以“動手做”為主，形成了觸覺、視覺等多感官協(xié)同的具身認知。近代腦科學研究表明，認知對于身體及感覺運動系統(tǒng)有不可分割的依賴性，身體在認知過程中發(fā)揮著關鍵作用。觸覺作為人類最早發(fā)展的感覺，是獲取信息和操控環(huán)境的重要通道，對認知判斷起著重要的影響。[3]觸覺與視覺、聽覺等多種感覺協(xié)同認知，會讓大腦區(qū)域之間的神經(jīng)連接更加活躍，從而使人的思維更靈活。觸覺還會帶來豐沛的情感，契合兒童好動的天性，因此，在教學中設置實物操作的支架有利于小學生主動探究、積極思考。

包括“實物操作”在內的各種教學支架在數(shù)學教學中已被廣泛應用，憑經(jīng)驗我們知道有用，但是究竟會對學生產(chǎn)生多大的助力作用？這些支架又是如何影響學生從而產(chǎn)生助力作用的？這些問題長久以來都比較模糊，影響了我們有效教學。本文所呈現(xiàn)的這方面的探索僅僅是提供了一個案例，意在拋磚引玉，希望得到更多一線教師、專家學者的關注、指導，從而使教學從經(jīng)驗走向科學，更好地助力學生的發(fā)展。