推理有難度 支架來相助
——在“圓周率”取值推導(dǎo)中運(yùn)用教學(xué)支架的實(shí)證研究

□ 羅永軍 鮑雯華

“我不敢保證結(jié)果對(duì)不對(duì)”，在“圓的周長”教學(xué)中，一位學(xué)生匯報(bào)完“圓的周長是直徑的3 倍多一點(diǎn)”之后，小心翼翼地補(bǔ)充說明。他的發(fā)言得到了很多同學(xué)的認(rèn)同：“因?yàn)榱康臅r(shí)候會(huì)有誤差?！睂W(xué)生為什么會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生疑問呢？圖形中的數(shù)量關(guān)系不是一個(gè)整數(shù)，這對(duì)小學(xué)生來說是第一次遇到，因此有疑問也很自然。是不是因?yàn)闇y量有誤差，所以這個(gè)倍數(shù)才出現(xiàn)了小數(shù)？會(huì)不會(huì)有一些圓，周長正好就是其直徑的3倍或4倍呢？

疑問很自然，回應(yīng)有點(diǎn)難。因?yàn)椴还芪覀內(nèi)绾翁岣邷y量精度，也只能測量出某一個(gè)具體圓的相關(guān)數(shù)據(jù)，無法得到一般性的結(jié)論。測量可以發(fā)現(xiàn)事實(shí)，但要形成普遍規(guī)律，還需要“推理”來證實(shí)。小學(xué)生能完成這個(gè)推理過程嗎？如果不能獨(dú)立完成，教師該如何設(shè)置教學(xué)支架為學(xué)生助力呢？

一、數(shù)學(xué)分析

用小學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)知識(shí)可以推理出圓周率在3～4之間，確實(shí)是一個(gè)小數(shù)。

首先，圓周率一定大于3。如圖1所示，我們可以在圓內(nèi)構(gòu)建一個(gè)正多邊形，圓內(nèi)接正多邊形。由于每兩點(diǎn)之間的弧長大于邊長（兩點(diǎn)之間線段最短），如⌒

圖1 π ＞ 3原理示意圖

AB＞AB，得出圓周長大于正多邊形周長的結(jié)論。當(dāng)圓內(nèi)接一個(gè)正六邊形時(shí)，如果把頂點(diǎn)連接圓心，就構(gòu)成了6 個(gè)等邊三角形。因?yàn)槿切蔚倪呴L是圓的半徑r，也即正六邊形的邊長，所以正六邊形的周長是6r，即3d，由此可得出圓周長大于3d的結(jié)論。

其次，圓周率一定小于4。如圖2所示，我們可以在圓外構(gòu)建外切正多邊形，此時(shí)，相鄰兩切點(diǎn)之間的弧長小于折線長，即多邊形的邊長（如果相等，那么弧與折線將會(huì)重合），如因此，圓的周長小于外切正多邊形周長。當(dāng)圓外切正方形時(shí)，正方形邊長與圓的直徑相等，可得周長是4d，即圓周長小于外切正方形周長4d。

圖2 π ＜ 4原理示意圖

因此，圓的周長一定大于其直徑的3倍且小于其直徑的4倍，即圓周長與其直徑的比值在3～4之間，是個(gè)小數(shù)。從上面的分析可以看出，證實(shí)圓周率是一個(gè)小數(shù)的關(guān)鍵是需要構(gòu)建一個(gè)圓外切正四邊形和一個(gè)圓內(nèi)接正六邊形。要想到這一步，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，教材給出了什么教學(xué)線索呢？

二、教材分析

在小學(xué)，圓周率的學(xué)習(xí)要求是“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值”[1]。教材是如何體現(xiàn)的呢？我們查閱了人教版、北師大版、蘇教版、浙教版和香港現(xiàn)代版等教材，發(fā)現(xiàn)教材給出的教學(xué)步驟大致有這樣幾點(diǎn)：①猜測圓周長與其直徑長短有關(guān)；②測量圓周長及其直徑，發(fā)現(xiàn)圓周長與其直徑的比值（圓周率）是3倍多；③用幾何關(guān)系推理出圓周率在3～4 之間，不是整倍數(shù)；④了解數(shù)學(xué)史，知道圓周率是一個(gè)定值。對(duì)于以上過程，雖然不同的教材有不同的取舍，但步驟①②④，各套教材都有呈現(xiàn)，差異主要體現(xiàn)在第③步上，具體情況見表1。

表1 五個(gè)版本教材圓周率探索部分過程匯總表

從表1可以看出，上述教材的差異集中體現(xiàn)在“推理發(fā)現(xiàn)”的處理上。有的教材選擇繞過這個(gè)難點(diǎn)，如人教版、浙教版教材在“操作”之后直接介紹了圓周率及其相關(guān)歷史，給出結(jié)論：“其實(shí)，早就有人研究了周長與直徑的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)圓的周長與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫作圓周率，用字母π 表示……”有的提供了圓內(nèi)接正六邊形或圓外切正方形供學(xué)生推理分析，如北師大版、蘇教版和香港現(xiàn)代版等教材（如圖3~5）。不過，這3個(gè)版本教材的相關(guān)內(nèi)容在編排的順序呈現(xiàn)上不盡相同，北師大版教材放在課后練習(xí)中；蘇教版教材放在操作活動(dòng)前讓學(xué)生根據(jù)圖式對(duì)圓周率作估計(jì)；香港現(xiàn)代版教材則放在探索活動(dòng)中，希望教師能如此講解給學(xué)生聽。

圖3 北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)第10頁

圖4 蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)第92頁

圖5 香港現(xiàn)代版教材6（A）第65頁

這個(gè)推理分析過程是否有必要呢？我們知道，用測量操作的方法雖然簡單易行，但是受測量工具和測量方法所限，無法得到精確的測量結(jié)果。何況就算我們有辦法得到精確的結(jié)果，也無法對(duì)所有的圓一一進(jìn)行測量。因此，終究難以回答諸如“圓周率到底是不是一個(gè)固定的小數(shù)”“為什么圓周率在3～4之間，一定不是整數(shù)”等疑惑。要回答這樣的問題，就必須跳出測量的局限，利用圖形關(guān)系來進(jìn)行推理分析。更重要的是，邏輯推理作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生走向未來的關(guān)鍵能力。在操作階段，學(xué)生已經(jīng)用“數(shù)學(xué)的眼光”發(fā)現(xiàn)了一些值得關(guān)注的事實(shí)，形成了一些結(jié)論，這就是歸納推理。如果能讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)從個(gè)例發(fā)現(xiàn)到規(guī)律證實(shí)的演繹推理過程，那么“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”等能力將得到充分的培養(yǎng)。因此，這個(gè)推理分析過程值得讓學(xué)生來體驗(yàn)。不過，這個(gè)過程小學(xué)生能否自主探究出來呢？

三、學(xué)生分析

“圓的周長”這一內(nèi)容放在小學(xué)高年級(jí)學(xué)習(xí)，這個(gè)年齡段的學(xué)生正處于“形式運(yùn)算階段”的開始，他們是否具備這樣的能力呢？為此，我們隨機(jī)選取了杭州市上城區(qū)某學(xué)校六年級(jí)一個(gè)班35名學(xué)生作為樣本，做了前測與調(diào)查。前測結(jié)果如圖6所示。

圖6 圓周率前測結(jié)果

前測分兩部分，我們分別調(diào)查了學(xué)生了解圓周率的前概念水平和利用圖形關(guān)系推理圓周率的情況。從前測結(jié)果看，圓周率的前概念水平有3個(gè)層次：①?zèng)]聽說過圓周率；②聽說過圓周率（約）是3.14，但不知道具體含義；③知道圓周率的含義以及得到的過程。根據(jù)這3個(gè)層次我們打算在教學(xué)中分別提供A、B、C三種學(xué)習(xí)單以適當(dāng)助力。

從調(diào)查中可以看出，雖然有學(xué)生知道可以用測量的方法來研究圓周率，但沒有人想到用圖形關(guān)系來研究。那么，如果直接給出圓與多邊形關(guān)系的圖式，學(xué)生能否自行推理呢？因此在前測的第二部分，我們給出了圓與外切正方形和內(nèi)接正六邊形的圖式。即便如此，也只有14.1%的學(xué)生能利用圖形關(guān)系來推理?？磥?，就算是給出關(guān)系圖，多數(shù)學(xué)生也較難完成推理。

但會(huì)不會(huì)存在另一種可能？也就是因?yàn)檫@兩個(gè)關(guān)系圖并不是學(xué)生自主構(gòu)建出來的，沒有形成學(xué)生的思維起點(diǎn)，所以學(xué)生反而不知其所用，不明白為什么要在圓外畫一個(gè)正方形、在圓內(nèi)放一個(gè)正六邊形。如果讓學(xué)生自主構(gòu)建這兩個(gè)圖形，完成率會(huì)不會(huì)有變化呢？

四、教學(xué)分析

（一）設(shè)計(jì)教學(xué)

根據(jù)上述分析與猜想，我們?cè)诮虒W(xué)中運(yùn)用過程變式[2]的設(shè)計(jì)，分類分層推進(jìn)。特別設(shè)計(jì)了教學(xué)支架讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圓與正多邊形的關(guān)系這一關(guān)鍵點(diǎn)。本設(shè)計(jì)具體教學(xué)路徑如圖7所示。

圖7 圓周長教學(xué)路徑圖

（二）教學(xué)實(shí)施

（1）呈現(xiàn)大小不同的3 個(gè)圓，感知圓周長與直徑的關(guān)系。

（2）探究圓周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系。根據(jù)前測結(jié)果，分組探究，給A組提供較為詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)步驟，B 組只提供實(shí)驗(yàn)器材和記錄單，C 組則進(jìn)行推理探究，C組學(xué)習(xí)單如圖8所示。

圖8 C組學(xué)習(xí)單

（3）A組和B組操作后匯報(bào)結(jié)果，C組不參加交流，開始自行書寫推理過程。

匯報(bào)中引出疑問：周長一定大于直徑的3 倍？真的不會(huì)達(dá)到直徑的4倍？A組和B組開始推理探究，C組結(jié)束推理過程的書寫，開始獨(dú)立練習(xí)。

（4）A、B、C三個(gè)組在推理探究時(shí)給出的支架和時(shí)間都相同。

支架1——圖式（見C組學(xué)習(xí)單）：直徑10厘米的圓。（3分鐘后如果學(xué)生還沒解決，給出支架2）

支架2——文字：如果圖形的周長是直徑的4倍，那么這可能是什么圖形？（3 分鐘后，如果學(xué)生還沒解決，給出支架3）

支架3——實(shí)物：8 根與直徑等長的小棒、8 根與半徑等長的小棒（探究時(shí)間3分鐘）。

（5）A組、B組結(jié)束探究，C組也暫停練習(xí)，全班開始交流匯報(bào)，并進(jìn)行總結(jié)。

（三）結(jié)果與分析

提供不同支架后，全班學(xué)生推理探究的情況如表2所示。

表2 推理探究圓周率課堂情況統(tǒng)計(jì)表

從表2 可以看出，有了不同支架的助力后，100%的學(xué)生能自主構(gòu)建圓外切正方形來解釋?duì)校?，約60%的學(xué)生能自主構(gòu)建圓內(nèi)接正六邊形來解釋?duì)校?。

使用不同支架時(shí)，A、B、C 各組的完成率如圖9、圖10所示。

圖9 使用不同支架時(shí)各組完成率（推理π＜4）

圖10 使用不同支架時(shí)各組完成率（推理π＞3）

從圖中可以看出，圖式和文字這兩種教學(xué)支架對(duì)于較為簡單的推理問題（π＜4）有一定的作用，其中C 組同學(xué)只要有文字提示即可，100%能完成；A、B 兩組同學(xué)的完成率不高，分別是11%和40%；對(duì)于較為復(fù)雜的推理問題（π＞3），僅有C 組中16.7%的人能完成?？磥?，僅有圖式和文字還不夠。提供實(shí)物操作后，學(xué)生的推理水平明顯提升，能夠自主構(gòu)建圓外切正方形這個(gè)關(guān)鍵圖形（推理π＜4）的人數(shù)直線上升：A 組完成率從11%猛增到了89%，B 組剩余的60%的同學(xué)也全部能完成；在自主構(gòu)建圓內(nèi)接正六邊形（推理π＞3）時(shí)，B組同學(xué)的完成率從0%增加到80%，C 組剩余的83%的同學(xué)也全部完成?？磥?，實(shí)物操作的助力作用非常明顯。

實(shí)物操作在解決問題特別是較難問題時(shí)，為什么會(huì)對(duì)學(xué)生有如此大的幫助呢？

在觀察學(xué)生推理（π＞3）時(shí)，有一個(gè)現(xiàn)象引起了我們的注意：在提供圖式和文字支架后，不少學(xué)生先畫出了這樣的圖（圖11），然后據(jù)此推理：因?yàn)閳A周長大于三角形周長，而三角形周長等于3d，所以C圓＞3d。顯然，學(xué)生是把弦長當(dāng)作直徑了。等實(shí)物到手后，學(xué)生動(dòng)手一擺馬上發(fā)現(xiàn)了問題所在（圖12）。在繼續(xù)擺放中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其實(shí)在圓內(nèi)無法用直徑小棒來搭建多邊形的，于是換用半徑小棒，沿著圓周擺放，發(fā)現(xiàn)正好可以擺6 根，擺成了正六邊形。進(jìn)而想到用等邊三角形來分析（圖13）。

圖11

圖12

圖13

通過觀察學(xué)生的活動(dòng)，我們注意到實(shí)物操作與圖式和文字提示相比具有以下特點(diǎn)：①操作方便。學(xué)生可以快速不斷地嘗試；②反饋及時(shí)。嘗試的結(jié)果對(duì)不對(duì)，是繼續(xù)往下做還是換一種方法，學(xué)生需要從嘗試的結(jié)果來進(jìn)行調(diào)控，因此反饋的快速及時(shí)對(duì)于探究活動(dòng)來講尤顯重要。相比之下，文字或圖式的主要功能是傳遞信息，但信息本身只是一個(gè)線索，對(duì)不同的人的啟發(fā)程度不一樣，而且難以持續(xù)互動(dòng)與跟進(jìn)反饋，因此對(duì)于認(rèn)知能力特別是閱讀與理解能力較高的學(xué)生來講可以“一語道破”，而對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來講效果沒那么明顯。實(shí)物操作時(shí)，每一次嘗試可以很快得到反饋，擺放是否正確不需要等待教師來評(píng)判，學(xué)生可以立即判斷從而調(diào)整自己的行為；③具身認(rèn)知。實(shí)物操作以“動(dòng)手做”為主，形成了觸覺、視覺等多感官協(xié)同的具身認(rèn)知。近代腦科學(xué)研究表明，認(rèn)知對(duì)于身體及感覺運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)有不可分割的依賴性，身體在認(rèn)知過程中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。觸覺作為人類最早發(fā)展的感覺，是獲取信息和操控環(huán)境的重要通道，對(duì)認(rèn)知判斷起著重要的影響。[3]觸覺與視覺、聽覺等多種感覺協(xié)同認(rèn)知，會(huì)讓大腦區(qū)域之間的神經(jīng)連接更加活躍，從而使人的思維更靈活。觸覺還會(huì)帶來豐沛的情感，契合兒童好動(dòng)的天性，因此，在教學(xué)中設(shè)置實(shí)物操作的支架有利于小學(xué)生主動(dòng)探究、積極思考。

包括“實(shí)物操作”在內(nèi)的各種教學(xué)支架在數(shù)學(xué)教學(xué)中已被廣泛應(yīng)用，憑經(jīng)驗(yàn)我們知道有用，但是究竟會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生多大的助力作用？這些支架又是如何影響學(xué)生從而產(chǎn)生助力作用的？這些問題長久以來都比較模糊，影響了我們有效教學(xué)。本文所呈現(xiàn)的這方面的探索僅僅是提供了一個(gè)案例，意在拋磚引玉，希望得到更多一線教師、專家學(xué)者的關(guān)注、指導(dǎo)，從而使教學(xué)從經(jīng)驗(yàn)走向科學(xué)，更好地助力學(xué)生的發(fā)展。