基于學(xué)習(xí)路徑分析的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元整體教學(xué)*
——如何做好算理算法的遷移

□ 朱海湖 鄒安琪 章勤瓊

數(shù)的運(yùn)算一直是我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”。[1]這樣的表述表明運(yùn)算能力并不僅僅體現(xiàn)在計(jì)算準(zhǔn)確度和速度上，更體現(xiàn)為在方法合理的基礎(chǔ)上理解算理并求出正確答案。[2]運(yùn)算能力還有更豐富的內(nèi)涵，如基本口算、理解算理、掌握算法、運(yùn)算策略等。[3]

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元是小學(xué)階段整數(shù)乘法計(jì)算的最后一個(gè)知識(shí)模塊。以人教版教材為例，教材在三年級(jí)上冊中編排了“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的內(nèi)容，這是學(xué)生學(xué)習(xí)“筆算乘法”的起始課，以幫助學(xué)生形成規(guī)范的筆算格式；三年級(jí)下冊編排了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過點(diǎn)子圖理解算理，掌握“‘另一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)乘第一個(gè)因數(shù)’的積的末尾如何對(duì)齊”的計(jì)算方法。教材在編寫這兩個(gè)計(jì)算內(nèi)容時(shí)都及時(shí)融入口算與估算的教學(xué)，試圖通過口算與估算幫助學(xué)生達(dá)成對(duì)算理的深入理解，熟練算法。而在四年級(jí)上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元，教材編排的第一課時(shí)就是筆算，沒有口算，豎式計(jì)算過程中也不再有算理學(xué)習(xí)的痕跡。這樣的教學(xué)編排隱含著“遷移學(xué)習(xí)”之意。作為教師，應(yīng)如何理解本單元的教學(xué)是為后續(xù)多位數(shù)乘法以及小數(shù)乘法提供計(jì)算模型？如何提升學(xué)生的計(jì)算技能與策略？本文基于學(xué)習(xí)路徑分析[4]，對(duì)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元進(jìn)行了整體教學(xué)的思考。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元教學(xué)內(nèi)容概述

人教版教材四年級(jí)上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的教學(xué)目標(biāo)主要是：（1）理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理，并會(huì)計(jì)算。（2）經(jīng)歷探索“積的變化規(guī)律”的過程，理解規(guī)律內(nèi)涵，并能運(yùn)用規(guī)律使一些計(jì)算簡便。（3）結(jié)合具體情境，了解“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”等常見的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用這些數(shù)量關(guān)系解決一些簡單的實(shí)際問題。

北師大版教材四年級(jí)上冊“衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間”單元的教學(xué)目標(biāo)主要是：（1）結(jié)合具體情境，探索三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，理解豎式計(jì)算方法的道理。（2）能用豎式正確計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)，會(huì)進(jìn)行估計(jì)。（3）能運(yùn)用乘法知識(shí)與估算策略解決一些實(shí)際問題，提高分析問題和解決問題的能力。（4）結(jié)合計(jì)算器探索有趣的乘法算式，在分析與比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)版本教材都提出了“能正確計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)、理解筆算算理，且能運(yùn)用不同策略使計(jì)算簡便或解決實(shí)際問題”等要求，但對(duì)于具體內(nèi)容的安排略有不同。北師大版教材在習(xí)得基本算理、算法后，引導(dǎo)學(xué)生用估算、計(jì)算器等方式解決問題，提倡算用結(jié)合，注重問題解決的策略。而人教版教材傾向于算理的理解、算法的掌握，旨在為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算做準(zhǔn)備。

由此得出，本單元的教學(xué)內(nèi)容有以下三個(gè)方面：（1）理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握計(jì)算方法。（2）發(fā)現(xiàn)、理解并運(yùn)用“積的變化規(guī)律”，進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力。（3）了解兩種常見的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，路程=速度×?xí)r間，并運(yùn)用不同的運(yùn)算策略解決一些實(shí)際問題。

（二）確定核心目標(biāo)

本單元需關(guān)注運(yùn)算能力的培養(yǎng)。曹培英老師提出了“四面體模型”，對(duì)運(yùn)算能力結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫：基本口算與進(jìn)一步的算法、算理共同構(gòu)成運(yùn)算能力的底部。運(yùn)算能力的提高必須建筑在這一基礎(chǔ)上。運(yùn)算策略是指運(yùn)算信息的挖掘與運(yùn)算問題的定向、運(yùn)算方法的選擇與運(yùn)算過程的簡化及其自覺評(píng)價(jià)。運(yùn)算策略水平是鑒別運(yùn)算能力的敏感因素。[5]

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法學(xué)習(xí)的最后一個(gè)階段，教師在教學(xué)時(shí)要對(duì)整數(shù)乘法的算理和算法進(jìn)行回顧和整理，其作用是總結(jié)整數(shù)乘法的一般方法，也就是“用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別乘另一個(gè)因數(shù)”，并進(jìn)一步幫助學(xué)生理解算理，建構(gòu)起乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法運(yùn)算法則。因此本單元的核心目標(biāo)是“理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力”，這也是后面學(xué)習(xí)其他乘法內(nèi)容的基礎(chǔ)。

（三）核心目標(biāo)具體化

結(jié)合以上整體分析，將核心目標(biāo)具體化為：（1）理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。主要有兩個(gè)內(nèi)容，即能將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法遷移運(yùn)用于三位數(shù)乘兩位數(shù)，討論交流總結(jié)多位數(shù)乘兩位數(shù)的一般方法。（2）進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力。具體表現(xiàn)為掌握乘法的運(yùn)算性質(zhì)，理解積的變化規(guī)律，并能對(duì)其進(jìn)行靈活運(yùn)用，使一些計(jì)算簡便，便于梳理基于乘法運(yùn)算的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展多元的運(yùn)算策略。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了更好地了解學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)，從三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、算法的理解程度和運(yùn)算策略兩個(gè)方面對(duì)四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。

（一）學(xué)生對(duì)算理、算法的理解情況分析

測試題：按要求計(jì)算下面這道題，并寫出每一步代表的含義。

測試結(jié)果如表1所示。

表1

根據(jù)前測結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，由于三位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)內(nèi)容是在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，超過90%的學(xué)生能將兩者的計(jì)算方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)，利用以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，采用遷移算法的方式進(jìn)行計(jì)算。但對(duì)算理的理解會(huì)顯得困難一些。

（二）學(xué)生對(duì)運(yùn)算策略的使用情況分析

1.因數(shù)中間和末尾有0的情況

測試題：筆算下面各題，并說一說你是怎么想的。

220×40 108×40

學(xué)生解答方法與情況分析如表2所示。

表2

2.解決問題中運(yùn)算策略的使用情況

《數(shù)學(xué)作業(yè)本》中有這樣一道題：“王大伯的茄子地，面積是225平方米，長是45米，現(xiàn)在要將寬擴(kuò)大2倍，則王大伯的茄子地現(xiàn)在是多少平方米？”有80%的學(xué)生采用常規(guī)方法計(jì)算：225÷45=5（米），5×2×45=450（平方米）。幾乎沒有學(xué)生想到用積的變化規(guī)律解決問題，說明學(xué)生受以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的影響較大，運(yùn)用不同策略解決問題的意識(shí)相對(duì)淡薄。

基于對(duì)學(xué)生算理、算法理解情況和運(yùn)算策略使用情況的分析得出啟示：教師要借助有效的情境，幫助學(xué)生理解乘數(shù)是兩位數(shù)時(shí)用“十位上的數(shù)”與“個(gè)位上的數(shù)”分別乘另一個(gè)因數(shù)的相應(yīng)的算理，并建構(gòu)起乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法運(yùn)算法則。引導(dǎo)學(xué)生在準(zhǔn)確計(jì)算的基礎(chǔ)上，運(yùn)用一定的計(jì)算策略靈活解題。

三、單元整體設(shè)計(jì)的思考

按照人教版教材的編排，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段：第一階段教學(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算，先教學(xué)一般筆算方法，再學(xué)習(xí)因數(shù)中間、末尾有0 的乘法；第二階段教學(xué)積的變化規(guī)律；第三階段教學(xué)常見的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，路程=速度×?xí)r間。

根據(jù)學(xué)情分析，考慮將因數(shù)中間、末尾有0 的乘法的學(xué)習(xí)進(jìn)行調(diào)整，將此內(nèi)容分為兩部分：第一部分是算理算法的學(xué)習(xí)，用三位數(shù)乘兩位數(shù)的一般方法進(jìn)行計(jì)算；第二部分是運(yùn)算策略的學(xué)習(xí)，比如可以利用積的變化規(guī)律幫助學(xué)生理解因數(shù)末尾有0的情況，也就是說，筆算220×40時(shí)，先算22×4，再利用積的變化規(guī)律——因?yàn)閮蓚€(gè)因數(shù)各擴(kuò)大10，所以積會(huì)擴(kuò)大100倍，在豎式的結(jié)果上直接添加兩個(gè)0。

綜上所述，基于學(xué)生學(xué)情，將本單元知識(shí)教學(xué)的“序”做如下調(diào)整（如表3），更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。

表3

經(jīng)調(diào)整后，雖然本單元的教學(xué)內(nèi)容仍舊分為三個(gè)階段，但每一階段的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容有所調(diào)整。第一階段主要是對(duì)算理、算法的遷移，因而對(duì)原教材中“已知速度、時(shí)間，求路程”的情境進(jìn)行調(diào)整，改為“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的模型，運(yùn)用乘法的意義更好地鞏固算理的表達(dá)。第二階段是運(yùn)用積的變化規(guī)律靈活計(jì)算，需要2 個(gè)課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，將“有0 的情況的簡便書寫”融合進(jìn)來，注重不同運(yùn)算策略的運(yùn)用。第三階段主要學(xué)習(xí)常見的數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，在總課時(shí)不變的情況下做適度拓展。本單元具體教學(xué)內(nèi)容的安排如表4所示。

表4

續(xù)表