基于合情推理的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例探析

雍唯貞 張富宏（寧夏固原市隆德縣第一小學(xué)）

合情推理是一種有助于發(fā)現(xiàn)和啟發(fā)的推理模式，是一種看似合乎情理，似乎為真的推理，通常根據(jù)已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和正確的數(shù)學(xué)結(jié)論，或以個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`）和數(shù)學(xué)直觀進(jìn)行推測而得到某些結(jié)果的一種推理。發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，有助于讓學(xué)生在課堂中鍛煉他們的數(shù)學(xué)思維。

一、培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的意義

小學(xué)數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維的基礎(chǔ)學(xué)科。長期以來，在其教學(xué)中存在重論證推理（又稱演繹推理），輕合情推理的誤區(qū)。而合情推理對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身、學(xué)生自主發(fā)展和落實(shí)“雙減”政策都有著重要的意義。

首先，合情推理是數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中必不可少的推理模式。人們?cè)谌粘Ｉa(chǎn)生活中對(duì)客觀世界進(jìn)行長期的探索，進(jìn)而不斷地抽象概括、建構(gòu)模型而形成理論的過程即為數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。在這一過程中，時(shí)時(shí)刻刻蘊(yùn)含著觀察、歸納、類比、聯(lián)想、猜測、實(shí)驗(yàn)等合情推理的手段，也就是說數(shù)學(xué)知識(shí)的形成離不開合情推理模式的貢獻(xiàn)。同理，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)也應(yīng)該遵循人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理歷程。

其次，合情推理是小學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，認(rèn)識(shí)世界的基本方式。從小學(xué)生本身特點(diǎn)來看，小學(xué)生的思維和認(rèn)知還不夠完善，不能通過嚴(yán)格的邏輯思維認(rèn)識(shí)事物，掌握各種數(shù)學(xué)理論，主要還是通過猜想、事例歸納，類比遷移等合情推理的方法。因此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確將“推理意識(shí)”作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，要求學(xué)生能借助歸納和類比兩種方法探究數(shù)學(xué)結(jié)論，而歸納與類比則是合情推理的兩種主要方法，即小學(xué)生的推理意識(shí)培養(yǎng)要從初步的合情推理開始。

再次，合情推理是有效落實(shí)“雙減”政策的基本保障。雙減的核心要求是“減負(fù)提質(zhì)”，而合情推理則是啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生猜想、探究、自我建構(gòu)知識(shí)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)樂趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率的一種學(xué)習(xí)方法，從這個(gè)角度講，合情推理模式是落實(shí)雙減政策的有效方式。

二、基于合情推理的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

（一）優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展類比推理意識(shí)

合情推理包含兩種主要形式，即歸納推理與類比推理。類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。為進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的類比推理能力，讓學(xué)生深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，我們需要對(duì)一些課本知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化和重組，以人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《長方體的認(rèn)識(shí)》為例。大家都知道，長方體和正方體（立方體）具有很多相同的屬性，都有6 個(gè)面、8 條棱，12 個(gè)頂點(diǎn)；表面積和體積的計(jì)算方法也是一樣的，在這種情況下，利用類比推理的方式進(jìn)行知識(shí)的講解就會(huì)起到事半功倍的效果。首先，我們引入長方體的上位知識(shí)棱柱體。生活中三棱柱、四棱柱、八棱柱比較常見，學(xué)生有一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而長方體就是特殊的四棱柱，棱柱作為長方體的上位概念，如果學(xué)生了解它的點(diǎn)、棱、面的特點(diǎn)，對(duì)于長方體的認(rèn)識(shí)將會(huì)水到渠成。就像我們先學(xué)習(xí)了四邊形，再類比認(rèn)識(shí)長方形和正方形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)性。然后，我們對(duì)原知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化重組。原教材安排為：課例1 長方體點(diǎn)、線、面的認(rèn)識(shí)；課例2 長方體長、寬、高的概念；課例3 正方體的認(rèn)識(shí)。改為（表1）課例1 課前動(dòng)手制作棱柱；課例2 探究棱柱的特點(diǎn)；課例3 認(rèn)識(shí)長方體和正方體。

長方體和正方體認(rèn)識(shí)重組對(duì)比（表1）例1例2例3原教材 長方體點(diǎn)、棱、面的認(rèn)識(shí)長方體長、寬 正方體的認(rèn)識(shí)改編后 分小組動(dòng)手制作棱柱長方體、正方體的認(rèn)識(shí)優(yōu)化指向發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)和跨學(xué)科課中探究棱柱點(diǎn)、棱、面的關(guān)系不完全歸納點(diǎn)、棱、面的關(guān)系下位知識(shí)類比上位知識(shí)

改編后，引入了棱柱的知識(shí)，從一般向特殊化，從上位知識(shí)到下位知識(shí)的學(xué)習(xí)，更易于學(xué)生掌握?qǐng)D形的本質(zhì)特點(diǎn)，讓學(xué)生站在更高的起點(diǎn)學(xué)習(xí)長方體和正方體，更清晰理解為什么長方體和正方體有8 個(gè)頂點(diǎn)、12 條棱，6 個(gè)面。讓長方體和正方體依托于棱柱這個(gè)大家庭，打破數(shù)學(xué)教學(xué)中“只見樹木不見森林”的教學(xué)現(xiàn)狀，與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容棱柱的學(xué)習(xí)進(jìn)行了銜接，也有效彌補(bǔ)了小學(xué)教育與中學(xué)教育脫節(jié)的現(xiàn)象。

（二）理論聯(lián)系實(shí)踐，滲透歸納推理方法

歸納推理是一種由個(gè)別到一般的推理。由一定程度的關(guān)于個(gè)別事物的觀點(diǎn)過渡到范圍較大的觀點(diǎn)，由特殊具體的事例推導(dǎo)出一般原理、原則的解釋方法。為了讓學(xué)生自我建構(gòu)知識(shí)，感受知識(shí)的形成過程，數(shù)學(xué)教學(xué)一般分為實(shí)踐和理論兩個(gè)部分，實(shí)踐環(huán)節(jié)以教師布置活動(dòng)主題，學(xué)生通過觀察生活現(xiàn)象或制作模型的方式，感受圖形的特點(diǎn)或知識(shí)之間的千絲萬縷的聯(lián)系。理論環(huán)節(jié)在教師的引導(dǎo)下，依據(jù)各種生活現(xiàn)象，歸納總結(jié)得出數(shù)學(xué)結(jié)論，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的方法，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理意識(shí)和使用方法。

還是以《長方體認(rèn)識(shí)》改編后的“手工制作棱柱”課程為例，課堂教學(xué)中，首先學(xué)生逐步匯報(bào)自己制作過程中的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，得出三棱柱、四棱柱及五棱柱點(diǎn)、棱、面的個(gè)數(shù) 。然后教師引導(dǎo)學(xué)生縱向觀察點(diǎn)、棱、面的關(guān)系：棱柱的點(diǎn)數(shù)依次增加2，棱依次增加3，而面依次多1 的關(guān)系。最后通過棱柱的點(diǎn)、棱、面由簡單到復(fù)雜的對(duì)比過程，組織學(xué)生以小組的形式再次探究深層次的原因，學(xué)生通過自己動(dòng)手操作的過程可以得出點(diǎn)的變化主要是上下兩個(gè)面分別多了一個(gè)點(diǎn)，所以點(diǎn)數(shù)增加2；棱數(shù)是上下面和側(cè)面分別多了一條，所以總數(shù)多了3；面只是側(cè)面多了一個(gè)，所以總數(shù)加1。到此，通過不完全歸納法得出了棱柱的點(diǎn)、棱、面之間的關(guān)系，為了驗(yàn)證結(jié)論的正確性，可以讓學(xué)生通過比較常見的八棱柱去驗(yàn)證結(jié)論，使知識(shí)的獲得經(jīng)歷合情推理的過程，最后用演繹推理驗(yàn)證過程是否正確，使知識(shí)的學(xué)習(xí)具有完整性。為了讓知識(shí)更系統(tǒng)，可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算點(diǎn)數(shù)和面數(shù)相加的和與棱數(shù)進(jìn)行比較，進(jìn)而得出結(jié)論：點(diǎn)數(shù)+面數(shù)=棱數(shù)+2，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步升華，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的博大精深和神奇，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的樂趣。而長方體和正方體的認(rèn)識(shí)在棱柱的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上就會(huì)水到渠成。

通過培養(yǎng)學(xué)生合情推理的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣增加了，數(shù)能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活中的很多現(xiàn)象。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理意識(shí)，讓學(xué)生在課堂中敢想、敢說、敢做，愛想、愛說、愛做，在動(dòng)手實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，在交流匯報(bào)中自主建構(gòu)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和核心素養(yǎng)。

探究棱柱點(diǎn)、棱、面的關(guān)系（表2）點(diǎn)棱面三棱柱6 9 5四棱柱8 12 6五棱柱10 15 7六棱柱12 18 8歸納2n 3n n+2歸納結(jié)論：點(diǎn)數(shù)+面數(shù)=棱數(shù)+2