小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”課堂教學(xué)優(yōu)化策略
——以“雞兔同籠”為例

林聰強(qiáng)

課堂中的教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)乎課堂教學(xué)活動(dòng)的有效性，而如何優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)是“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)中的重要問題，其有效與否直接影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。然而，在實(shí)際教學(xué)中，盡管很多教師在優(yōu)化“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)設(shè)計(jì)上花費(fèi)了大量的精力，但是效果依然不盡如人意。為此，筆者結(jié)合自己的研究與實(shí)踐，從四個(gè)方面論述如何有效優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、講究溝通聯(lián)系，避免解法零散

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是課堂教學(xué)的重要載體，也是教師備課的重要依據(jù)。但部分一線教師在研究教材的內(nèi)容時(shí)，過分依賴教材，錯(cuò)誤地以為只要簡單地把數(shù)學(xué)知識(shí)教一遍即可，機(jī)械地進(jìn)行教學(xué)，沒有理順知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生只是囫圇吞棗，并沒有吃透知識(shí)背后的道理。例如：“雞兔同籠”問題的解決方法眾多，譬如列表法、畫圖法、假設(shè)法。然而很多學(xué)生并不知道畫圖法和假設(shè)法有什么共同點(diǎn)，他們錯(cuò)誤地以為這是幾種不同的方法。在課堂最后串聯(lián)數(shù)學(xué)方法的時(shí)候，教師一般會(huì)先假設(shè)，再調(diào)整，但是部分學(xué)生無法掌握這種方法，因?yàn)槠鋵W(xué)得不夠扎實(shí)，解法過于零散，沒有將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系。同時(shí)部分學(xué)生對(duì)于這些方法的關(guān)系理解得不夠明確，所以一般會(huì)把它們當(dāng)作一個(gè)個(gè)獨(dú)立的方法進(jìn)行解答，而沒有建立統(tǒng)一的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，不一樣的數(shù)學(xué)方法之間有著緊密的聯(lián)系，通過溝通聯(lián)系知識(shí)的本質(zhì)，可以幫助學(xué)生更好地理解解法背后的關(guān)聯(lián)[1]。

人教版教材將“雞兔同籠”問題從六年級(jí)移至四年級(jí)是考慮到學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中如果沒有充分設(shè)計(jì)溝通環(huán)節(jié)，學(xué)生就難以感悟到方法間的聯(lián)系。而且四年級(jí)學(xué)生的思維正處于發(fā)展階段，由于受到思維深度的限制，學(xué)生要在教師的指導(dǎo)下才能更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的加工。如果缺少了教師的正確引導(dǎo)，學(xué)生追求知識(shí)的渴求可能會(huì)被削弱。同時(shí)在課堂教學(xué)中，有些教師忽視了各種方法間的內(nèi)在聯(lián)系，沒有進(jìn)行合理的整合和梳理，對(duì)教材中的知識(shí)采取簡單粗暴的處理方式。這樣不但可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握不夠系統(tǒng)連貫，而且還有可能會(huì)造成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的混亂。具體表現(xiàn)在：一部分教師在講解列表法、畫圖法以及假設(shè)法時(shí)，只是片面籠統(tǒng)地對(duì)這三種方法進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生只是被動(dòng)進(jìn)行吸收；還有一部分教師會(huì)詳細(xì)地對(duì)這三種方法進(jìn)行教學(xué)，導(dǎo)致上課時(shí)間不夠，占用了學(xué)生的休息時(shí)間，使得學(xué)生很疲倦。為了讓學(xué)生形成完整清晰的知識(shí)關(guān)聯(lián)思路，筆者優(yōu)化教學(xué)過程，從學(xué)生的角度出發(fā)，以列表法為基礎(chǔ)，串聯(lián)畫圖法，突出假設(shè)法，在教學(xué)過程中關(guān)注雞兔腿數(shù)的等量代換，讓學(xué)生不斷地嘗試用雞換兔，或者是用兔換雞。接著讓學(xué)生從已有的腿數(shù)變化，過渡到一步跳躍式列表法，建立列表法與畫圖法之間的相互聯(lián)系。最后由圖表轉(zhuǎn)化為假設(shè)法，使得學(xué)生清楚地明白每一步計(jì)算背后的道理，構(gòu)建解法之間的聯(lián)系。筆者在設(shè)計(jì)過程中注重方法間的聯(lián)系，關(guān)注方法間的精髓，這樣學(xué)生在后續(xù)的實(shí)踐應(yīng)用中，就能舉一反三。

二、講究建構(gòu)模型，避免機(jī)械模仿

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)就包括模型意識(shí)，它主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。模型意識(shí)有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)[2]。教師在課堂中要通過建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念與方法解釋問題，設(shè)計(jì)一定的抽象教學(xué)過程，把握學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)模型的有效建構(gòu)。大部分學(xué)生在一開始解決“雞兔同籠”實(shí)際問題時(shí)，都是直接就開始計(jì)算，沒有把雞兔進(jìn)行區(qū)分。當(dāng)算不出來的時(shí)候才猛然想起來需要先找出題目中雞兔的關(guān)系，其在方法的使用上也不懂得根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行有效的選擇。一些一線教師在教學(xué)中也會(huì)讓學(xué)生去找雞兔的關(guān)系，但是并沒有讓學(xué)生明白“雞兔同籠”問題的根本用意，所以就算學(xué)生找到了誰是“雞”，誰是“兔”，也找不到解題的路徑；還有一部分教師在教學(xué)中只是機(jī)械地讓學(xué)生記住假設(shè)法的計(jì)算公式，卻沒有引導(dǎo)學(xué)生厘清為什么雞兔腿數(shù)之差是2，使得學(xué)生再遇到其他類型的變式題時(shí)就會(huì)很茫然。因此，筆者建立“雞兔同籠”模型，讓學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”的問題模型架構(gòu)形成清晰的認(rèn)識(shí)，這樣學(xué)生在解題時(shí)才不會(huì)出現(xiàn)手足無措的現(xiàn)象，從而使學(xué)生建立完整清晰的問題模型，對(duì)模型進(jìn)行一定的固化，也就是要讓學(xué)生在大量的問題情境中提煉出真正的模型。

基于以上問題，筆者在教學(xué)過程中先是從“龜鶴算問題”“貨幣問題”等不同情境中找出“雞兔同籠”的初步模型意識(shí)，接著鞏固模型，最后從“雞兔同籠”問題延伸到倒扣分類型題，從而建立清晰完整的模型?！半u兔同籠”課堂教學(xué)中的模型構(gòu)建是本節(jié)課的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。學(xué)生要先理解雞兔的腿數(shù)、頭數(shù)，明確一只兔子比一只雞多兩條腿。然后開始進(jìn)行建模，假設(shè)全是兔子（雞），計(jì)算假設(shè)后的腿數(shù)和實(shí)際相差多少，多（少）出來的腿數(shù)就是多算了的雞（兔）的腿數(shù)，再除以每只兔子比每只雞多出來的兩條腿，結(jié)果就是雞（兔）的腿數(shù)。最后讓學(xué)生用自己的方式來表示，完成整個(gè)模型的建構(gòu)。通過設(shè)置問題情境，學(xué)生能夠進(jìn)行原型對(duì)比、分析聯(lián)系、提煉本質(zhì)；通過學(xué)習(xí)建模，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到從問題到模型，再到方法（列表、假設(shè)、畫圖）的邏輯思維。這樣一來，學(xué)生的頭腦中會(huì)形成清晰完整的解決“雞兔同籠”問題的模型，充分體會(huì)到雖然問題的情境在變，但本質(zhì)是不變的，從而提煉出“雞兔同籠”問題的結(jié)構(gòu)特征和解決問題的一般性策略，有效地構(gòu)建“雞兔同籠”問題的模型，滲透模型思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

三、講究列表推理，避免公式亂用

小學(xué)階段核心素養(yǎng)中的推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟。“數(shù)學(xué)廣角”中“雞兔同籠”教材的編寫意圖主要是利用例題來引導(dǎo)學(xué)生提出對(duì)雞兔的只數(shù)和腿數(shù)的猜想假設(shè)，同時(shí)利用畫圖或者列表的形式進(jìn)行合理的推理，進(jìn)而通過調(diào)整雞兔的只數(shù)來解決這道實(shí)際問題。雖然“雞兔同籠”問題看起來是比較抽象的，但是在之前的教材中已經(jīng)有所鋪墊，即“租船問題”。

筆者在磨課過程中，時(shí)常會(huì)遇到學(xué)生出現(xiàn)這樣的問題，即用26÷2或者26÷4這樣兩道除法算式，先算出全部是雞可能有幾只，或者全部是兔子可能有幾只。一開始計(jì)算都是雞的情況，剛好可以算出整數(shù)是13，但是到了計(jì)算兔子的情況就不行了，因?yàn)榻Y(jié)果是有余數(shù)的。遇到這樣的問題，有的教師就會(huì)簡單地認(rèn)為是學(xué)生用錯(cuò)了方法，從而直接否定學(xué)生的想法。然而實(shí)際上26÷2是在嘗試假設(shè)全是雞的情況可能有幾只，26÷4是在嘗試假設(shè)全是兔子的情況可能有幾只。因此教師要深度剖析學(xué)生的思想，只有這樣，才能做到因材施教。筆者在教學(xué)中為了改變學(xué)生的固定思維，先只給定一個(gè)條件，即雞兔的頭數(shù)是8，那么腿數(shù)可能有幾種情況？請(qǐng)學(xué)生動(dòng)筆列表計(jì)算。當(dāng)學(xué)生在列表過程中明白雞兔只數(shù)之和是8的腿數(shù)不同情況有9種時(shí)，就能夠厘清雞兔腿數(shù)之間的關(guān)系，感受不變中的變化，同時(shí)明白表格的規(guī)律，即增加一只兔子，減少一只雞，總腿數(shù)增加2條。接著再給出另一個(gè)條件，即雞兔的總腿數(shù)是18，那么可能有幾種情況？讓學(xué)生再次列表計(jì)算，得出雞兔腿數(shù)之和是18的情況有5種?？梢韵裙潭ㄍ米拥闹粩?shù)，再變化雞的只數(shù)，讓學(xué)生再次感受不變中有變化，同時(shí)明白表格的規(guī)律，即增加1只兔子，減少2只雞，總腿數(shù)不變。最后出示題目：雞兔的只數(shù)是8，雞兔的總腿數(shù)是26，那么可能有幾種情況？因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)有前面的兩個(gè)例子做鋪墊，所以一些學(xué)生很快就能夠算出來。學(xué)生可以借助單個(gè)條件的經(jīng)驗(yàn)，抓住每只雞兔腿數(shù)分別是2和4的條件，以折中數(shù)3來進(jìn)行嘗試，得出雞兔一樣的情況是24條腿。因此第一次嘗試用（4，4），這時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)腿數(shù)少了2條，所以只需要拿1只雞換1只兔子就可以了。此外，還可以出示另外一組題目：雞兔的只數(shù)是10，雞兔的總腿數(shù)是38，那么可能有幾種情況？學(xué)生有了前面的列表經(jīng)驗(yàn)后，自然而然就能發(fā)現(xiàn)雞兔只數(shù)一樣時(shí)總腿數(shù)是30。因此第一次嘗試用（5，5），這時(shí)候發(fā)現(xiàn)腿數(shù)少了8，所以只需要拿4只雞換4只兔子就可以了。一些學(xué)生認(rèn)為實(shí)際腿數(shù)與假設(shè)腿數(shù)差距較大，所以就考慮都是兔子的情況，那么總腿數(shù)就是40，只要把1只兔子換成1只雞就可以了。通過幾次的條件設(shè)置，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的探究基礎(chǔ)，能夠初步感知雞兔只數(shù)的變化和腿數(shù)的變化?；诖?，將計(jì)算融入表格，使學(xué)生明白利用列表可以進(jìn)行折中嘗試。這樣一來，雞兔的數(shù)量關(guān)系就顯得很清晰，從而讓學(xué)生體會(huì)列表法的妙處，同時(shí)明白通過列表推理能清晰地區(qū)別假設(shè)的前后數(shù)量關(guān)系的變化過程，進(jìn)而消除之前的26÷2或者26÷4的定式思維。這樣的教學(xué)方式可以使學(xué)生有效對(duì)比方法的不同之處，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。

四、講究思想滲透，避免理解淺顯

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在闡述理念時(shí)指出課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）。這更加表明數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要性。一些教師對(duì)教材的理解只是停留在教學(xué)上，并沒有對(duì)教材進(jìn)行過多的提煉和研究，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)只停留在感性層面。筆者建議在課堂教學(xué)中要通過表象看到知識(shí)的本質(zhì)，最終把數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)出來。因此一線教師在教學(xué)過程中，不能一味地關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)，更要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步感悟數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

“雞兔同籠”這節(jié)課的思想方法有：假設(shè)思想、化繁為簡思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想。在這幾種方法中，最難設(shè)計(jì)的就是化繁為簡思想，因?yàn)閷W(xué)生在一開始并沒有考慮到數(shù)據(jù)的煩瑣，也就沒有想到需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行化繁為簡。很多時(shí)候課堂上思想方法的滲透只是教師的主觀意愿，譬如部分教師會(huì)在一開始就對(duì)學(xué)生說“為了方便研究，我們運(yùn)用化繁為簡的思想”，然而實(shí)際上學(xué)生并不明白為什么要簡化，簡化的意義是什么。筆者認(rèn)為教學(xué)應(yīng)該是教學(xué)生之所需，解學(xué)生之所惑，讓學(xué)生真正明白化繁為簡的意義。因此筆者在教學(xué)過程中會(huì)直接給出簡化版的“雞兔同籠”問題，讓學(xué)生能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行猜想、假設(shè)、驗(yàn)證，在課堂的末尾告訴學(xué)生：其實(shí)我們剛才解決的“雞兔同籠”是降級(jí)版本的，這時(shí)候順勢出示《孫子算經(jīng)》中“雞兔同籠”的原題，使學(xué)生在讀題過程中逐漸感悟到數(shù)據(jù)的大小差別，明白教師的用心良苦。一開始將數(shù)據(jù)變小，把復(fù)雜的問題簡單化，能夠使化繁為簡數(shù)學(xué)思想潛移默化地深入學(xué)生心中。正如日本數(shù)學(xué)家、教育家米山國藏曾經(jīng)說過：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦的數(shù)學(xué)精神與數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要的作用?！盵3]“雞兔同籠”的解決方法是多樣的，很多時(shí)候教師只是關(guān)注到本節(jié)課的假設(shè)法、畫圖法、列舉法，忽略了化繁為簡的數(shù)學(xué)思想?；睘楹喴彩且环N核心數(shù)學(xué)思想，一旦掌握了這種思想，復(fù)雜問題就能迎刃而解，從而構(gòu)建清晰穩(wěn)定的解決問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過優(yōu)化“雞兔同籠”的教學(xué)過程，不僅能使學(xué)生在解題方法上有所提升，積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)還可以提升其數(shù)學(xué)思維，使其學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題。因此，思想方法在學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的重要性是不言而喻的。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而且還要凸顯基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的作用。因此，有必要對(duì)化繁為簡的思想進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，最終讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累必要的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)實(shí)踐中，只有不斷地優(yōu)化教學(xué)過程，通過溝通聯(lián)系，深化列表法的運(yùn)用，才能實(shí)現(xiàn)模型的建構(gòu)，達(dá)到思想上的滲透，從而積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。