也談符號(hào)意識(shí)及其培養(yǎng)

摘要：作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，符號(hào)意識(shí)是把符號(hào)視為重要的語(yǔ)言，理解符號(hào)的意義，體會(huì)符號(hào)的特點(diǎn)，并根據(jù)非符號(hào)表征的情境創(chuàng)造符號(hào)和使用符號(hào)，因而表現(xiàn)為符號(hào)理解、符號(hào)表示、符號(hào)操作三個(gè)方面。根據(jù)這三個(gè)方面表現(xiàn)的關(guān)系，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)表示意義，操作數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展意義，并在這一過(guò)程中充分理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，體會(huì)（感悟）數(shù)學(xué)符號(hào)的特點(diǎn)（功能），從而培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；符號(hào)意識(shí)；符號(hào)表征；符號(hào)操作

一、 符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)

符號(hào)意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）提出的數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。仔細(xì)分析新課標(biāo)對(duì)符號(hào)意識(shí)的描述可以發(fā)現(xiàn)，其主要表現(xiàn)為三個(gè)方面。首先，“知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義”“知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性”（③④ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：8，8，8。），這指向“符號(hào)理解”。它要求學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)符號(hào)（如數(shù)字符號(hào)、字母符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、表示圖形的符號(hào)以及具有特定意義的輔助符號(hào)等），理解它們?cè)诰唧w情境中表示的意義，體會(huì)它們所具有的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)約性、抽象性、一般性等特點(diǎn)（邵光華，張妍，程玉婷.再談數(shù)學(xué)語(yǔ)言及數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力培養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論，2022（7）：54。）。其次，“能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律”③，這指向“符號(hào)表征”。它要求學(xué)生能夠創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)表征非數(shù)學(xué)符號(hào)表征的情境。最后，“初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式”④，這指向“符號(hào)操作”。它要求學(xué)生能夠操作數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，展開(kāi)形式化的數(shù)學(xué)思考。

進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)方面是緊密聯(lián)系的。符號(hào)理解和符號(hào)表征是互逆的過(guò)程，一個(gè)是從符號(hào)到意義，另一個(gè)是從意義到符號(hào)。在沒(méi)有符號(hào)之前，符號(hào)表征是符號(hào)理解的基礎(chǔ)，即先根據(jù)意義創(chuàng)造符號(hào)表征，再由此理解符號(hào)的意義。而有了基本符號(hào)之后，符號(hào)理解則是符號(hào)表征的基礎(chǔ)，即先理解基本符號(hào)的意義，再由此針對(duì)具體情境創(chuàng)造符號(hào)表征。在符號(hào)理解和符號(hào)表征的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)符號(hào)操作展開(kāi)形式化的數(shù)學(xué)思考，從而獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。此外需要指出的是，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的特點(diǎn)特別重要，它有助于“感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能”，形成符號(hào)表征和符號(hào)操作的意識(shí)。

實(shí)際上，布魯納的認(rèn)知表征理論認(rèn)為：智慧發(fā)展的一般進(jìn)程是，從動(dòng)作表征經(jīng)圖像表征而達(dá)到符號(hào)表征的世界。從這個(gè)角度看，在數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域，符號(hào)意識(shí)其實(shí)就和核心素養(yǎng)的另一個(gè)主要表現(xiàn)——幾何直觀類(lèi)似：幾何直觀是把圖形視為重要的語(yǔ)言，讀圖，體會(huì)圖形的特點(diǎn)（直觀），并根據(jù)非圖形表征的情境作圖和用圖，因而表現(xiàn)為圖形理解、圖形表征和圖形操作三個(gè)方面（程茂山.也談幾何直觀的培養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2022（9）：69。）；符號(hào)意識(shí)是把符號(hào)視為重要的語(yǔ)言，理解符號(hào)的意義，體會(huì)符號(hào)的特點(diǎn)，并根據(jù)非符號(hào)表征的情境創(chuàng)造符號(hào)和使用符號(hào)，因而表現(xiàn)為符號(hào)理解、符號(hào)表示、符號(hào)操作三個(gè)方面。

二、 符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)

根據(jù)上述符號(hào)意識(shí)三個(gè)方面表現(xiàn)的關(guān)系，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)表示意義，操作數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展意義，并在這一過(guò)程中充分理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，體會(huì)（感悟）數(shù)學(xué)符號(hào)的特點(diǎn)（功能），從而培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

（一） 引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)表示意義

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象。數(shù)學(xué)研究對(duì)象和結(jié)論，或者說(shuō)數(shù)學(xué)概念和命題，也就是數(shù)學(xué)意義，常常需要?jiǎng)?chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示（有時(shí)可以借助自然語(yǔ)言符號(hào)來(lái)表示）。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)意義的過(guò)程，體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)表征既有“講道理”的必然成分，也有“人為規(guī)定”的偶然成分，即“理性”的“創(chuàng)造”。這體現(xiàn)了弗賴(lài)登塔爾的“再創(chuàng)造”教育思想，能幫助學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)約性、一般性特點(diǎn)，同時(shí)感受數(shù)學(xué)的文化本質(zhì)。如果學(xué)生先入為主地記住了教材中采用的和要求掌握的現(xiàn)代通用的數(shù)學(xué)符號(hào)，教師要引導(dǎo)學(xué)生嘗試創(chuàng)造不同的數(shù)學(xué)符號(hào)表示相同的數(shù)學(xué)意義，并適當(dāng)展現(xiàn)數(shù)學(xué)史上人類(lèi)創(chuàng)造過(guò)的不同的數(shù)學(xué)符號(hào)；同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生比較不同的數(shù)學(xué)符號(hào)，體會(huì)它們的優(yōu)劣。這正如波利亞所說(shuō)的：“讓你的學(xué)生提出問(wèn)題，要不就像他們自己提問(wèn)的那樣由你去提出這些問(wèn)題；讓你的學(xué)生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答?！保▎讨巍げɡ麃?數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第二卷）［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981：179。）例如，十進(jìn)位值制記數(shù)法是算術(shù)發(fā)展史上的重大創(chuàng)造，而現(xiàn)代通用的阿拉伯?dāng)?shù)字是這一記數(shù)法的重要表現(xiàn)形式。在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生嘗試創(chuàng)造數(shù)概念的符號(hào)表征（即記數(shù)法），通過(guò)手指記數(shù)、實(shí)物記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)、刻痕記數(shù)、算籌記數(shù)、算盤(pán)記數(shù)、古羅馬數(shù)字記數(shù)、漢字記數(shù)、阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)等活動(dòng)“再現(xiàn)”人類(lèi)記數(shù)史（石志群.數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)：基于原理，發(fā)揮價(jià)值［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（3）：4546。），體會(huì)現(xiàn)代通用的阿拉伯?dāng)?shù)字所蘊(yùn)含的簡(jiǎn)潔的“數(shù)碼”思想（用不同的符號(hào)表示不同的數(shù)）、整體的“進(jìn)制”思想（將多個(gè)小的計(jì)數(shù)單位組成一個(gè)大的計(jì)數(shù)單位）和直觀的“位值”思想（用不同的位置表示不同的計(jì)數(shù)單位），認(rèn)識(shí)其他記數(shù)法的不足（比如算籌記數(shù)、算盤(pán)記數(shù)、古羅馬數(shù)字記數(shù)沒(méi)有很好地體現(xiàn)“數(shù)碼”思想，古羅馬數(shù)字記數(shù)、漢字記數(shù)沒(méi)有很好地體現(xiàn)“位值”思想）。同時(shí)說(shuō)明：十進(jìn)制記數(shù)法與非十進(jìn)制（如二進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制）記數(shù)法相比，并沒(méi)有特別明顯的優(yōu)勢(shì)，更多地是因?yàn)槿祟?lèi)恰好有十個(gè)手指以及十這個(gè)數(shù)不大不?。ū硎境Ｒ?jiàn)的數(shù)時(shí)所用的數(shù)碼和數(shù)位平衡得較好，都不多不少）而被廣泛采用。

同樣地，教學(xué)數(shù)的大小比較、四則運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)概念、小數(shù)概念、負(fù)數(shù)概念乃至各種圖形及其關(guān)系時(shí)，可以讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造表示等于、不等于、大于、小于、加、減、乘、除、運(yùn)算順序、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)、點(diǎn)、線(xiàn)、角、三角形、四邊形、圓、平行、垂直等含義的符號(hào)，并適當(dāng)介紹有關(guān)符號(hào)的演變過(guò)程。（有關(guān)歷史可參見(jiàn)：徐品芳，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2006；關(guān)于等號(hào)、不等號(hào)的教學(xué)案例可參見(jiàn)：劉勁苓，文靜.數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)話(huà)題之十一：等號(hào)和不等號(hào)［J］.教育視界，2022（29）。）

再如，字母表示數(shù)是代數(shù)發(fā)展史上的基礎(chǔ)性創(chuàng)造。最初，字母表示的是確定的未知數(shù)（常量），由此發(fā)展出了方程方法；后來(lái)，字母可以表示不確定的任意數(shù)（變量），由此發(fā)展出了具有較強(qiáng)一般性的代數(shù)知識(shí)體系（包括函數(shù)內(nèi)容）。在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從具體的例子中尋找一般的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而創(chuàng)造這些一般規(guī)律的符號(hào)表征，如用符號(hào)（字母式子）表示數(shù)位分解、因數(shù)分解以及和差關(guān)系、倍比關(guān)系、更復(fù)雜的組合關(guān)系，表示五種運(yùn)算律以及一些有趣的運(yùn)算規(guī)律，表示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，表示比例的基本性質(zhì)、正比例關(guān)系、反比例關(guān)系，表示等式的基本性質(zhì)，表示多邊形的內(nèi)角和公式、多種平面圖形的面積公式、多種立體圖形的體積公式，表示釘子板上的多邊形的面積公式、圖形縮放前后面積的變化規(guī)律、表面涂色的正方體的有關(guān)規(guī)律，表示諸如圖1等所示的圖形拼擺中的一般數(shù)量關(guān)系，表示現(xiàn)實(shí)中常見(jiàn)的諸如“路程=速度×?xí)r間”等的數(shù)量關(guān)系……體會(huì)其中“講道理”的必然成分和“人為規(guī)定”的偶然成分。

這里值得一提的是，新課標(biāo)在小學(xué)部分刪去了方程的有關(guān)內(nèi)容（移到了初中部分）。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，更多地要引導(dǎo)學(xué)生從不確定的任意數(shù)（變量）的角度看字母表示。比如，小明有x張漫畫(huà)卡，小華比小明多5張漫畫(huà)卡，那么小華有x+5張漫畫(huà)卡。這一信息放在可用方程求解的具體問(wèn)題中時(shí)，x可以是確定的未知數(shù)（常量），但教師更多地要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“x+5表示比x多5的數(shù)量”的一般性。

（二） 引導(dǎo)學(xué)生操作數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展意義

數(shù)學(xué)在抽象的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象和結(jié)論的形式化運(yùn)算和推理獲得進(jìn)一步發(fā)展，形成更多的結(jié)論和方法，即抽象結(jié)構(gòu)。這里的形式化運(yùn)算和推理主要表現(xiàn)為符號(hào)操作。教學(xué)中，有了數(shù)學(xué)符號(hào)表征之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)形式化規(guī)則操作數(shù)學(xué)符號(hào)，獲得新的數(shù)學(xué)符號(hào)表征，從而發(fā)展新的意義。在這一過(guò)程中，學(xué)生能更充分地體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)約性、一般性特點(diǎn)，形成良好的符號(hào)意識(shí)。

例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的教學(xué)中，在學(xué)生理解了“相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減”以及“個(gè)數(shù)和個(gè)數(shù)相乘除得到結(jié)果的個(gè)數(shù)，計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位相乘除得到結(jié)果的計(jì)數(shù)單位”的算理之后（一開(kāi)始不是很理解的話(huà)，也可以在具體計(jì)算中慢慢理解），教師可以引導(dǎo)學(xué)生探索基于現(xiàn)代通用的阿拉伯?dāng)?shù)字（記數(shù)符號(hào)）的計(jì)算形式（規(guī)則），從而實(shí)現(xiàn)以20以?xún)?nèi)的不進(jìn)位、進(jìn)位加法和不退位、退位減法以及表內(nèi)乘法和除法計(jì)算為基礎(chǔ)，通過(guò)符號(hào)操作完成多位數(shù)乃至小數(shù)的四則運(yùn)算（主要指向現(xiàn)代常用的豎式，也可以是其他形式，如乘法的“鋪地錦”）。有了合適的計(jì)算形式（規(guī)則），學(xué)生不需要具體地考慮（就像計(jì)算20以?xún)?nèi)的不進(jìn)位、進(jìn)位加法和不退位、退位減法以及表內(nèi)乘法和除法那樣）兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果是多少，而只需要對(duì)數(shù)字（記數(shù)符號(hào)）進(jìn)行相應(yīng)的符號(hào)操作，得到最終的符號(hào)表征，從而體會(huì)到形式化的符號(hào)操作因?yàn)椴豢紤]情境背景和具體意義而簡(jiǎn)化了思維，具有簡(jiǎn)約性。與此同時(shí)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生探索、比較基于其他記數(shù)法的四則運(yùn)算形式（規(guī)則），從中深入體會(huì)阿拉伯?dāng)?shù)字的優(yōu)越性。

再如，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)量關(guān)系”內(nèi)容的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)位分解、因數(shù)分解、和差關(guān)系、倍比關(guān)系等的符號(hào)表征（字母式子），通過(guò)利用運(yùn)算律進(jìn)行式子變形（符號(hào)操作），得到（或說(shuō)明）一些有趣的運(yùn)算規(guī)律。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“有趣的乘法計(jì)算”的教學(xué)為例，可以通過(guò)（10a+b）×11=110a+11b=100a+10（a+b）+b的符號(hào)操作說(shuō)明兩位數(shù)乘11的計(jì)算規(guī)律，也可以通過(guò)（10a+b）（10a+10-b）=100a（a+1）-10ab+10ab+b（10-b）=100a（a+1）+b（10-b）的符號(hào)操作說(shuō)明“頭同尾合十”的兩位數(shù)乘法計(jì)算規(guī)律。同樣地，“和與積的奇偶性”“3的倍數(shù)的特征”乃至在圖2中用“十字形”任意框出的五個(gè)數(shù)之和與中間數(shù)的關(guān)系等一般的數(shù)量關(guān)系（規(guī)律），都可以基于一般化的符號(hào)表征（字母式子），通過(guò)符號(hào)操作（利用運(yùn)算律進(jìn)行式子變形）得到（或說(shuō)明）。

此外，列方程解決實(shí)際問(wèn)題是最典型的先創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)（列方程）表示意義，再操作數(shù)學(xué)符號(hào)（利用性質(zhì)解方程，不考慮實(shí)際意義）發(fā)展意義（得結(jié)果，還具有實(shí)際意義）的過(guò)程，可以充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)約性、一般性。雖然方程的有關(guān)內(nèi)容移到了初中，但是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以適當(dāng)滲透方程思想，以體現(xiàn)符號(hào)表征與操作在解決問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì)。例如，實(shí)際問(wèn)題“甲庫(kù)搬出240袋水泥到乙?guī)旌?，甲?kù)還比乙?guī)於?30袋，則原來(lái)乙?guī)毂燃讕?kù)少多少袋”，因?yàn)楸瘸Ｒ?jiàn)的“誰(shuí)給誰(shuí)后就同樣多”的問(wèn)題更復(fù)雜，學(xué)生解決時(shí)常常理不清數(shù)量關(guān)系。如果借助符號(hào)表征和操作來(lái)解決，則很簡(jiǎn)單：由（甲-240）-（乙+240）=130，得（甲-乙）=610。

最后需要指出的是，雖然在創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)表示意義以及操作數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展意義的過(guò)程中，學(xué)生可以較好地理解符號(hào)的意義，但是，因?yàn)榉?hào)具有不同程度的抽象性，其意義也常?？梢宰兓?。因此，教師還需要注意反過(guò)來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生閱讀所給符號(hào)，適當(dāng)發(fā)散思維，解釋各種可能的意義。比如，將“0”理解為“沒(méi)有”或“一種臨界狀態(tài)”。再如，將“=”理解為“計(jì)算結(jié)果”或“等量關(guān)系”。又如，將“2a+2b”理解為長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的一般形式。

（高慧，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城小學(xué)北校區(qū)。）