職業(yè)院校數(shù)學建模課程建設(shè)的實踐探索*
——以鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學校為例

黃 磊 王 燕 張 立

《中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準》指出，數(shù)學建模屬于六大學科核心素養(yǎng)之一；并作出如下界定：數(shù)學建模是將現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。充分發(fā)揮數(shù)學建模的作用，幫助學生掌握數(shù)學建模能力，有助于數(shù)學核心素養(yǎng)的形成。［1］

開展數(shù)學建模課程建設(shè)的研究是職校數(shù)學教育改革的發(fā)展趨勢。職校數(shù)學建模課程的設(shè)計與實施應在注重培養(yǎng)學生良好數(shù)學素養(yǎng)的同時，著力于學生未來就業(yè)所需要的數(shù)學應用意識、能力養(yǎng)成和專業(yè)基礎(chǔ)知識積累。課程內(nèi)容應貼合專業(yè)的情境案例，能夠滿足不同專業(yè)學生的實際需求，以突出數(shù)學課程作為公共基礎(chǔ)課程的重要地位。

鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學校（以下簡稱“我?！保?shù)學教研組自2018 年起啟動校本數(shù)學建模課程項目，初始作為校公選課程，面向全校學生開設(shè)。自2020 年《中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準》頒布后，我校依據(jù)標準、明確規(guī)范，改革課程框架、模式與內(nèi)容；結(jié)合專業(yè)凸顯類型教育，強化價值引領(lǐng)，落實立德樹人，彰顯課程思政。在此基礎(chǔ)上，課程建設(shè)取得了一定成果，形成了較為完善且不斷豐富的數(shù)學建模線上線下課程資源與案例集。

一、課程的設(shè)計與架構(gòu)指向“以生為本”

依托原有校本建模課程，我校緊扣《中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準》要求和專業(yè)實際，開發(fā)并實施了實用、易學、有趣的專題課程，注重體現(xiàn)職業(yè)特色，著力培養(yǎng)學生數(shù)學綜合應用能力和職業(yè)發(fā)展力。

（一）情境化、遞進式的專題設(shè)計

依據(jù)課標要求，聚焦學生數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，我校將課程內(nèi)容整合為走進數(shù)學建模、函數(shù)模型、立體幾何模型、概率統(tǒng)計模型、線性規(guī)劃模型、數(shù)列模型，情境設(shè)計由簡單到復雜，應用由生活入專業(yè)，循序漸進，進階提升。

初階為生活、專業(yè)實例中簡化出的理想案例，如函數(shù)模型中創(chuàng)設(shè)了經(jīng)過優(yōu)化的理財問題情境：有閑置資金100 萬，銀行提供三種理財方案，請同學們判斷哪一種方案收益最高。教師引導學生初步嘗試用建模的方法解決實際問題。顯然，初階從學生易于接受的理想化的理財情境入手，讓學生學方法、打基礎(chǔ)。進階嘗試解決給定數(shù)據(jù)的實際工作情境問題，如某企業(yè)根據(jù)銷量制訂采購計劃，并估算不同的銷量分別需要多少廣告投入。教師教會學生處理數(shù)據(jù)并進行初步簡化，而后利用建模方法解決問題。如此進階的設(shè)計，與初階問題相比多了處理數(shù)據(jù)的過程，能有效促進學生對數(shù)學建模整體過程、方法的理解和掌握。此外，更接近現(xiàn)實工作的情況使學生感受到數(shù)學知識和方法的實用性。高階則通過團隊合作完成真實的工作任務(wù)，如預測2022 年學校創(chuàng)業(yè)園中菜鳥驛站的快遞收發(fā)情況。與進階任務(wù)相比又多了收集現(xiàn)實數(shù)據(jù)的過程，學生要通過查資料收集菜鳥驛站歷年來的真實數(shù)據(jù)，而后進行數(shù)據(jù)的處理和優(yōu)化，利用已有的數(shù)學知識和建模方法進行預測。高階任務(wù)的設(shè)計完全依托真實的工作環(huán)境，對學生的認知能力要求更高。從初階到高階，從生活到專業(yè)，培養(yǎng)了學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，更提升了學生的溝通合作能力、分析概括能力、綜合應用能力等。

（二）應用問題導向的探究式教學模式

課程教學采用問題導向的探究式教學模式，以實際問題解決為出發(fā)點和主線，啟發(fā)學生不斷思考，探究解決問題的方法，提高解決問題的能力。日常教學中，在積極創(chuàng)設(shè)不同形式的生活或者職業(yè)情境的基礎(chǔ)上，用有聯(lián)系有層次的問題幫助學生打破難度壁壘，搭建認知腳手架，讓學生在問題解決的過程中，找到抽象與方法、現(xiàn)實與理想的橋梁。而后，教師進一步鼓勵和引導學生主動去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，讓數(shù)學知識在探究活動中得以加深和內(nèi)化，幫助學生發(fā)展數(shù)學思維，以強化數(shù)學知識的遷移、應用能力。問題導向的探究教學模式，從理解問題到分析問題再到解決問題，均是在問題串的引導下，由教師和學生共同探究完成。

（三）以“問題解決”為主線，實施“三階段五環(huán)節(jié)”教學流程

基于問題導向的探究式教學模式，遵循數(shù)學建模課程學習規(guī)律，結(jié)合學情與目標，組織教學流程，包括問題準備、問題解決及活動評價三個階段。問題準備指確定建模課題，圍繞真實生活、專業(yè)情境進行課題設(shè)計；問題解決階段包含教師活動和學生活動，包括建立模型、求解結(jié)果、分析檢驗三個環(huán)節(jié)；活動評價階段包括對整個活動過程和活動設(shè)計的評價，學校應嘗試從多個評價角度出發(fā)，兼顧教師和學生的反饋評價。［2］實施過程著力培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，并基于學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)。教學中重視數(shù)學思想方法的應用，增強學生數(shù)學學習的體驗。

在此教學流程中，數(shù)學建模的各個專題均是建立在問題準備、問題解決、活動評價三個階段的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷分析問題、建立模型、求解結(jié)果、分析檢驗、多元評價的過程。學生在自主探究的過程中，根據(jù)教師的要求或者小組討論結(jié)果確定選題—整理資料—建立模型—形成方案—展示成果，在建立和求解模型過程中又按照模型準備、模型假設(shè)等五環(huán)節(jié)來完成，由此形成數(shù)學建模課程中的“三階段五環(huán)節(jié)”的教學流程（如圖1所示）。

圖1 “三階段五環(huán)節(jié) ”教學流程

二、課程的側(cè)重與特色彰顯職教屬性

（一）源于生活與專業(yè)的真實情境

課程在情境案例選擇上，設(shè)置與職業(yè)生涯密切相關(guān)的教學內(nèi)容（如在電子商務(wù)專業(yè)中采用求職規(guī)劃、商品定價、銷售策劃案例等）并注重與專業(yè)課程銜接，有機融入職業(yè)道德、職業(yè)精神教育。學生通過建模活動，小組協(xié)同解決專業(yè)對應崗位上要面臨的實際問題，在應用數(shù)學的過程中體會職校數(shù)學作為公共基礎(chǔ)課程的職業(yè)性。

（二）信息技術(shù)資源與教學深度融合，構(gòu)建高效課堂

教師借助泛雅平臺建設(shè)數(shù)學建模課程。平臺課程資源包括各類音視頻資源，如微課、情景動畫、科普短片等；包含知識點素材，有課前任務(wù)單、問題思考與提示、預備知識等；有多種形式的課后分層作業(yè)。學生可根據(jù)自己的水平、興趣等選擇合適的主題或任務(wù)開展研究，并將成果、問題、想法等上傳至學習平臺，教師進行線上指導、反饋、評價。

信息化手段可以充分輔助課堂教學。如在函數(shù)模型中，不同類型函數(shù)間的計算復雜，學生無法完成，但利用Geogebra 繪制函數(shù)圖像進行比較，結(jié)果就顯而易見。立體幾何建模課中，學生利用瑪雅軟件進行包裝設(shè)計、觀察三視圖、計算表面積、設(shè)置內(nèi)隔板等。學生通過資源與軟件的運用，順利化解復雜立體結(jié)構(gòu)的計算難點。

教師應在課程實施過程中及時采集各類學習數(shù)據(jù)，為評價提供依據(jù)。平臺根據(jù)學生觀看學習視頻的次數(shù)和時間，以及評論的次數(shù)、熱點、作業(yè)完成的精選次數(shù)進行記錄，對客觀題的答題情況進行評分，對教師的評分和評價進行記錄，匯總形成成長檔案，為綜合評價提供依據(jù)。

（三）以過程性評價為主的多元評價，關(guān)注能力提升

數(shù)學建模課程評價具有典型的綜合化特征，具體表現(xiàn)為指標多維、方式多樣、主體多元。其中，從指標設(shè)計層面來看，一方面比較看重數(shù)學建模的基礎(chǔ)知識、能力等，另一方面比較看重情感、態(tài)度等目標，旨在促進學生全面發(fā)展。從評價方式層面來看，主要有軟性評價、硬性評價等，其中，前者主要以“數(shù)學建模手冊”為出發(fā)點，立足創(chuàng)新性、有效性等方面展開過程評價；后者主要評價的是成績，包括教師評價和學生自評與互評。評價貫穿學生數(shù)學知識的構(gòu)建過程與問題的解決過程，重點關(guān)注能力的獲得與提高。

（四）蘊含數(shù)學文化、思想與精神，課程“德智交融”

數(shù)學建模課程由多種文化要素構(gòu)成，包括數(shù)學思想方法、審美等。建模過程即立足數(shù)學視角去看待問題，借助數(shù)學思想去分析問題，選擇適用的數(shù)學方法去處理問題。值得強調(diào)的是，過程中對嚴謹求真的意志品質(zhì)的追求，對數(shù)學方法美、理性美、和諧美的切實體會，對數(shù)學知識本身的應用，都彰顯數(shù)學學科育德育人特質(zhì)。［3］課程通過選取有深度的社會熱點問題，精心設(shè)計情境進行課程思政。比如環(huán)境保護問題，教師結(jié)合國家碳達峰、碳中和的戰(zhàn)略決策，激發(fā)學生的民族自豪感與國家認同感，使學生感受大國擔當，同時提升其環(huán)保意識。

三、課程的改革與創(chuàng)新注重應用能力

（一）構(gòu)建“生活經(jīng)驗+專業(yè)應用X”特色課程

職業(yè)教育突出專業(yè)技術(shù)知識和實際操作技能的培養(yǎng)和提高，在教育內(nèi)容上更側(cè)重實踐性和應用性。職業(yè)教育中的數(shù)學課程是職業(yè)學校必修的公共基礎(chǔ)課，因此具有基礎(chǔ)性、發(fā)展性、應用性和職業(yè)性等特點。數(shù)學建模專題就屬于職業(yè)學校數(shù)學課程中的任選模塊，尤其注重數(shù)學應用于實踐和專業(yè)的特性。為此，我校數(shù)學教研組通過精心搜集、整理、設(shè)計，從學生熟悉的生活情境中提煉數(shù)學問題。以電子商務(wù)專業(yè)為例，教師可以以理財、職業(yè)選擇、環(huán)保等問題為切入點，并與其他專業(yè)教師協(xié)同教研，提煉對應崗位情境中的數(shù)學問題，如商品定價、商品銷售、商品包裝等。數(shù)學建模課程開發(fā)的初衷，面向的不僅僅是電子商務(wù)專業(yè)的學生，而是全體學生。課程入系部，銜接不同專業(yè)時，會調(diào)整活頁教學資料與線上資源，增補專業(yè)情境案例，開設(shè)面向?qū)I(yè)X 的數(shù)學建模專題，即“生活經(jīng)驗+專業(yè)應用X”。于是，學生通過對數(shù)學知識、思想方法、核心素養(yǎng)的綜合應用，借助“生活經(jīng)驗+專業(yè)應用X”的情境問題，提升自身的應用和專業(yè)能力?；铐撌浇虒W資料與教學過程中產(chǎn)生的大量生動具體的教學、學習資源，既能形成校本教研的課題和新的資源包，又能為專題課程的發(fā)展儲能。

（二）基于STEAM理念的課例設(shè)計

STEAM 教學強調(diào)多學科融合“項目式學習”，即以完成某產(chǎn)品設(shè)計為目標，確保學生利用不同學科的知識，在動手實踐的作用下，結(jié)合自身認知，持續(xù)獲取新知識和新能力，進而實現(xiàn)“做中學”?？傮w來說，STEAM 教育理念和數(shù)學建模教學存在顯著共性，即“做中學”，通過為學生創(chuàng)設(shè)情境，讓學生產(chǎn)生興趣，進而作出思考。［4］如立體幾何模型課例中，就以中國陶瓷器設(shè)計、制作包裝為任務(wù)，要求省料兼顧美觀，任務(wù)聚焦的數(shù)學問題是怎樣設(shè)計使得包裝表面積最小。學生在完成任務(wù)的過程中，運用瑪雅軟件構(gòu)建模型，以減少包裝材料為目標，運用立體幾何知識設(shè)計與調(diào)整，設(shè)計中既要融合中國元素提升美感，又要兼顧牢固實用。課例以“三階段五環(huán)節(jié)”展開，引導學生將數(shù)學知識與其他學科知識聯(lián)系起來，旨在培養(yǎng)和強化他們的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新實踐以及協(xié)同等能力。

（三）數(shù)學建模手冊的運用

數(shù)學建模課程采用活頁式教學資料與線上資源庫，每個學生都配備數(shù)學建模手冊。建模手冊也是活頁式的，以隨時添加附件，包括解決問題的具體過程，思維痕跡等；手冊中內(nèi)容包括小組分工情況、本小組研究的問題、建模過程以及解決問題的方法、體會、反思和改進。每一個模型專題都有評價表和總結(jié)報告。評價表包括自評、小組互評和教師評價；總結(jié)報告則是每個小組對專題研究的過程分析與小結(jié)反思。總結(jié)報告運用匯報的交流形式，有助于學生使用規(guī)范的數(shù)學語言，準確、簡潔地表達自己的觀點。整本建模手冊將伴隨學生學習專題的全過程，記錄問題解決的過程，積累做數(shù)學、學數(shù)學、用數(shù)學的經(jīng)驗，深化學生對數(shù)學及其價值的認識。

四、結(jié)語

在數(shù)學建模課程實施過程中，我們認識到一些問題和困難，主要有數(shù)學建模教學經(jīng)驗不足、契合專業(yè)的教學內(nèi)容選擇和組合難度較大、資源開發(fā)周期較漫長、學生學法不適應等。下一步，我們將一方面挖掘更多專業(yè)案例情境以面向更多不同專業(yè)、不同學習需求的學生；另一方面，通過學校立項的數(shù)字資源采購項目，繼續(xù)豐富平臺功能，完善評價路徑，打造精品課程。同時，我們將繼續(xù)研究如何更好地在教學組織方式、教學安排上滲透職業(yè)教育元素，并通過設(shè)置與職業(yè)生涯密切相關(guān)的教學內(nèi)容，增加實踐環(huán)節(jié)，注重與專業(yè)課程銜接配合等，在數(shù)學課程中有機融入職業(yè)道德、職業(yè)精神教育。