基于模糊Domain基的連續(xù)擴張

饒三平

(南昌工程學院 理學院，江西 南昌 330099)

Domain理論是程序語言指稱語義學的數學基礎。序與拓撲的相互結合，相互作用是這一理論的基本特征。正是由于Domain理論的這一特征及其與計算實踐的緊密聯(lián)系，從70年代Scott開創(chuàng)Domain理論以來[1]，一直受到數學和計算機科學領域內諸多學者的關注，更成為拓撲學的一個重要的研究方向。

量化Domain理論主要是為并發(fā)式程序語言提供數學語義模型。經過多年來的發(fā)展，取得了迅速發(fā)展。Zhang和Fan引進L-Fuzzy擬序集構成量化Domain理論的基本框架[2]，促進了量化Domain理論的發(fā)展。他們首先定義模糊偏序，實質上是非空集上的程度映射，然后再研究L-Fuzzy的一些基本性質。基于完備剩余格，Yao和Shi研究了模糊dcpos和它上面的連續(xù)性[3-4]，并對模糊dcpos上的模糊Scott拓撲進行了系統(tǒng)的研究。此外，從范疇的角度，Hofmann和Waszkiewicz對量化Domain理論也進行了研究[5-6]。基于可換單位Quantale上的Ω-范疇，Lai和Zhang也研究了量化Domain理論[7]?？梢哉f，這些研究都是對經典Domain理論進行了進一步推廣。

在對量化Domain理論研究的過程中，最重要的研究對象無疑是模糊Domain[8]。那么怎樣刻畫這么一個重要概念顯得尤為重要。眾所周知，在經典的Domain理論中，基和Galois聯(lián)絡扮演著重要角色，其結果不僅僅體現在刻畫Domain，對研究Domain的其它一些性質也起了重要作用。那么，在模糊Domain中，是否有類似的概念及性質？為此，本文進行了相應的研究。

1 預備知識

本文選取完備剩余格作為格值，完備剩余格L是一種代數結構，它滿足：

(1)(L，∧，∨，*，→，0，1)是完備格，最小元為0，最大元為1；

(2)(L，*，1)是可交換的monoid，基中1是單位元，即?a∈L，a*1=a；

(3)*，→構成Galois聯(lián)絡，即?a，b，c∈L，a*b≤c?a≤b→c。

有關詳細完備剩余格的知識可參考文獻[9]，若無特別聲明，本文中L表示完備剩余格。下面列出運算*，→的一些基本性質。

引理1[9]設L是完備剩余格，則?a，b，c∈L，下列式子成立：

(I1) 0*a=0且1→a=a；

(I2)a≤b?a→b=1；

(I3) (a→b)*(b→c)≤a→c；

(I6)a→(b→c)=b→(a→c)=a*b→c；

(I7)a*(a→b)≤b.

設X為一非空集合，X上的模糊子集就是從X到L上的映射，X上的所有模糊子集記為LX。?A，B∈LX，A和B之間的相等可以通過一般映射之間的相等來定義，也就是說，A=B??x∈X，A(x)=B(x)。

定義1[9]X上的模糊關系e是X×X上的模糊子集，即e：X×X→L。X上的模糊關系e稱為是模糊偏序。若e還滿足：

(1)?x∈X，e(x，x)=1；

(2)?x，y，z∈X，e(x，y)*e(y，z)≤e(x，z)；

(3)?x，y∈X，e(x，y)=e(y，x)=1?x=y.

稱(X，e)為模糊偏序集。若e是X上的模糊偏序，A∈LX稱為模糊上集。若?x，y∈X，A(x)*e(x，y)≤A(y)，A∈LX稱為模糊下集。若A(x)*e(y，x)≤A(y)。

定義2[2]設(X，e)是模糊偏序集，x0∈X稱為模糊子集A的并，記為x0=凵A。若滿足下列條件：

(1)?x∈X，A(x)≤e(x，x0)；

在引理2中，若A=↓x，則

定義3[3]設(X，e)是模糊偏序集，模糊子集D∈LX為模糊定向的。 若它滿足：

記X上所有的模糊定向子集為DL(X)。稱模糊偏序集(X，e)為模糊dcpo。若?D∈DL(X)，凵D存在。

定義4[3]設(X，e)是模糊dcpo。?x，y∈X，：X×X→L定義如下：

定義5[3]模糊dcpo(X，e)稱為模糊Domain若它滿足：?x∈X，

(2)x=凵x.

此外，?x，y∈X，定義映射k：X→LX如下：k(x)(y)=e(y，x)*y(y)。若?x∈X，k(x)是模糊定向子集且滿足x=凵k(x)，則稱(X，e)為模糊代數Domain。

引理3[3]設(X，e)是模糊dcpo，則?x，y，u，v∈X，下列式子成立：

(2)e(u，x)*y(x)*e(y，v)≤v(u).

引理5[4]設(X，e)為模糊dcpo，?x∈X，若存在模糊定向子集A滿足x=凵A和A≤x，則x是模糊定向子集且x=凵x。

定義7[10]設(X，eX)、(Y，eY)為模糊偏序集，f：(X，eX)→(Y，eY)、g：(Y，eY)→(X，eX)為模糊單調映射。稱有序對(f，g)為(X，eX)和(Y，eY)之間的模糊Galois聯(lián)絡，若?x∈X，y∈Y，eY(y，f(x))=eX(g(y)，x)，其中，稱f為g的上(左)伴隨；對偶地，g為f的下(右)伴隨。

2 連續(xù)擴張

下面要建立基于模糊Galois聯(lián)絡的連續(xù)擴張。為此，首先提出以下的概念。

定義8在模糊dcpo(X，e)中，稱B?X為X的基，若它滿足：

下面用上面介紹的定義來刻畫模糊Domain。

定理1對于一個模糊dcpo來說，它有基當且僅當它是模糊Domain。

證明充分性：易證X?X是X的基，顯然，它是最大的基。

定理2在模糊Domain(X，e)中，B?X，下列命題等價：

(1)B是X的基；

證明(1)?(2)，由定義8可得。

事實上，?x，y∈X，

(3)?(4)，?x，y∈X，有

y(x).

(4)?(1)，若(4)成立，下證B是X的基，?y∈X，

e(凵

首先，?a′，b′∈X，

y(a′)*y(b′)≤

定理3在模糊Domain(X，e)、(Y，e)中，B?X、C?Y分別是(X，e)、(Y，e)的基，(g，d)是從(B，e)到(C，e)之間的模糊Galois聯(lián)絡。則存在唯一的從(X，e)到(Y，e)的模糊Galois聯(lián)絡(G，D)，且G是g的連續(xù)擴張。

同理，?y∈C，D(y)=d(y)，易驗證G是模糊連續(xù)的，下證(G，D)是從(X，e)到(Y，e)之間的模糊Galois聯(lián)絡。 ?x∈X，y∈Y，

e(D(y)，x).

唯一性是顯然的。

3 結束語

本文基于模糊dcpo，給出了基的概念，從而獲得模糊Domain的等價刻畫，同時借助于模糊Galois聯(lián)絡，給出了模糊Domain基的連續(xù)擴張。對于模糊Domain基的連續(xù)擴張的研究，不僅豐富了模糊Domain的理論知識，拓展了模糊Galois聯(lián)絡的應用，還為其它模糊對象的相應擴張?zhí)峁┝艘环N可行的方法。