近Hermite流形上聯(lián)絡(luò)的關(guān)系

楊松林

(1.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006；2.蘇州大學(xué)文正學(xué)院，江蘇 蘇州 215006)

實(shí)2n維近Hermite流形是具有Hermite度量的近復(fù)流形,其上同時具有U(n)結(jié)構(gòu)和SpinC(2n)結(jié)構(gòu),因此近Hermite流形上有Levi-Civita聯(lián)絡(luò)、Hermite聯(lián)絡(luò)和SpinC聯(lián)絡(luò).筆者將討論這3個聯(lián)絡(luò)的關(guān)系.

1 近Hermite流形與SpinC流形的關(guān)系

設(shè)M是實(shí)2n維近Hermite流形，·,·是流形M的Riemann度量，·,·C是流形M的Hermite度量，J:TM→TM是流形M的近復(fù)結(jié)構(gòu),C2n(-1)[1]是Clifford代數(shù)，其生成元為{e1,e2,…,e2n}.

引理1[2]設(shè)U(n)是n維酉群,SpinC(2n)是SpinC群,則存在嵌入λ:U(n)→SpinC(2n).

根據(jù)引理1，復(fù)流形、近Hermite流形與SpinC流形有如下關(guān)系:

引理2[3]每一個實(shí)2n維復(fù)流形和實(shí)2n維近復(fù)流形都是SpinC(2n)流形.

由引理2可知,實(shí)2n維近Hermite流形同時具有U(n)結(jié)構(gòu)和SpinC(2n)結(jié)構(gòu).

2 近復(fù)聯(lián)絡(luò)、Hermite聯(lián)絡(luò)與SpinC聯(lián)絡(luò)

設(shè)U(M)是M上的U(n)切主叢，U(M)×μSO(2n)=TM,其中映射

定義1[4]一個聯(lián)絡(luò)C稱為近復(fù)聯(lián)絡(luò),若聯(lián)絡(luò)C滿足：(1)C保Hermite度量

(1)

(2)

其中:

ρ1:SpinC(2n)→SO(2n):eiθg0ρ(g0)[4].

ρ:Spin(2n)→SO(2n)[5]是二重覆蓋.流形M上SpinC(2n)聯(lián)絡(luò)S的聯(lián)絡(luò)形式為

(3)

由以上討論可知,近Hermite流形M上有4個聯(lián)絡(luò)，即Levi-Civita聯(lián)絡(luò)L、近復(fù)聯(lián)絡(luò)C、Hermite聯(lián)絡(luò)HS和SpinC(2n)聯(lián)絡(luò)S.

3 Hermite聯(lián)絡(luò)與SpinC(2n)聯(lián)絡(luò)的關(guān)系

在近Hermite流形M上,有

TM=U(M)×μSO(2n),SpinC(M)=U(M)×λSpinC(2n).

引理1中的嵌入λ:U(n)→SpinC(2n)誘導(dǎo)一個李代數(shù)映射

適當(dāng)選取主叢SpinC(M)的U(1)叢上U(1)聯(lián)絡(luò)U，使之滿足φ=tr(ω(3)+ω(3)T),這樣得到2個聯(lián)絡(luò)在局部截面下的差異，

推論1若流形M是K?hler流形，則Hermite聯(lián)絡(luò)與SpinC(2n)聯(lián)絡(luò)的差異A=O.