數字信號處理課程體系分析與教學實踐

張海劍，余 磊，肖進勝，夏桂松

（1.武漢大學 電子信息學院，武漢 430072；2.武漢大學 計算機學院，武漢 430072）

隨著科學技術的發(fā)展，世界進入了數字化時代，數字信號處理（Digital Signal Processing，DSP）領域發(fā)展迅猛，在研究和應用方面均取得了顯著的進展，目前已被廣泛應用于人工智能、機器人、電子、機械、通信和醫(yī)學等領域。國內外幾乎所有高校的相關專業(yè)都開設了數字信號處理課程[1-2]，該課程主要介紹DSP 領域的理論知識，涵蓋了DSP 領域的基礎分析方法，例如離散時間傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉變換（DFT）和z 變換等[3-4]。

數字信號處理課程具有知識點繁多、概念抽象內容重復交錯等特點。目前，不少高校都建立了各自的DSP課程網站。比較分析各高校的課程網站可以發(fā)現，雖然現階段DSP 課程教學資料比較豐富，但存在著一個普遍的問題：大部分情況下，課堂教學只是按部就班地講解單個知識點。由于DSP 課程的知識點零散，學生難以從整體上系統(tǒng)地了解核心內容及各概念間的相互關系。如果對知識點的理解不夠深刻，課堂授課往往達不到預期的教學效果[5-7]。

如何有效地幫助學生理解與掌握課程中的基本概念及原理、提高學生解決實際問題的能力以適應“雙一流”大學建設中優(yōu)秀人才培養(yǎng)的需要，是當前數字信號處理教學所面對的一個關鍵問題。因此，無論是從學生學習還是教師教學的角度，深入分析并系統(tǒng)整合課程內容對改善教學效果具有至關重要的意義。本文將系統(tǒng)分析該課程的體系結構和知識點之間的內在聯系，設計一種新的課程體系，便于學生從整體上把握本課程的核心內容；另外，設計貼合實際應用的實踐案例，以加深學生對課程體系和知識點的印象。

一、主要課程內容分析

數字信號處理通過對離散時間信號進行處理，以提取信號所攜帶的有效信息。課程主要介紹DSP 領域的基本理論知識，其主要內容包括6 個部分：時域中的離散時間信號、變換域中的離散時間信號、時域中的離散時間系統(tǒng)、變換域中的離散時間系統(tǒng)、連續(xù)時間信號的采樣、數字濾波器的結構及數字濾波器設計[8-9]。

（1）時域中的離散時間信號：數字信號處理課程研究的是數字信號，即在時間上離散的信號。學習數字信號處理首先需要了解離散時間信號在時域的基本特性，包括其表示方法、性質、基本運算（相加、相乘、時移和卷積等）及一些典型信號（單位沖激信號、單位階躍信號、正弦信號和指數信號等）。

（2）變換域中的離散時間信號：在數字信號處理領域，通常采用各種變換方法將信號從時域映射到相應的變換域進行分析。數字信號處理課程中介紹的變換方法主要有DTFT、DFT 和z 變換等。

（3）時域中的離散時間系統(tǒng)：信號處理是對原始信號進行處理得到新信號的過程，任何一個能夠實現這種信號變換功能的整體都可以被稱為系統(tǒng)。如果一個系統(tǒng)的輸入、輸出信號都是離散時間信號，則把這個系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。分析信號是從個體角度進行研究，而分析系統(tǒng)則是從整體、全局的角度進行研究。關于離散時間系統(tǒng)的時域特性，數字信號處理課程主要介紹其性質、沖激響應、輸入—輸出關系，以及線性常系數差分方程（LCCDE）表示等。其中，由于線性時不變（LTI）性質使得LTI 離散時間系統(tǒng)可以由其沖激響應完全描述（即若已知沖激響應，便可得到系統(tǒng)對任意輸入的輸出），因此LTI 離散時間系統(tǒng)是數字信號處理課程研究的主要對象。

（4）變換域中的LTI 離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)既可以在時域中分析，也可以在變換域中分析。對于LTI 離散時間系統(tǒng)，在時域中它可以由沖激響應完全表示；在頻域中，它可以由頻率響應（即沖激響應的離散時間傅立葉變換）完全描述；在z 域中，它由傳輸函數（即沖激響應的z 變換）完全描述。

（5）連續(xù)時間信號的采樣：現實生活中遇到的信號絕大多數都是連續(xù)時間信號（如語音、圖像和視頻信號等），我們通常會將連續(xù)時間信號進行周期采樣，得到離散時間信號再進行處理。因此，在實際應用中，采樣往往是數字信號處理的第一步。在掌握了信號各種變換方法的基礎之上，學習信號的采樣過程，可以進一步分析時域采樣在頻域中的影響，深入理解信號采樣前后在時域和頻域的關系。

（6）數字濾波器結構及數字濾波器設計：數字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，也是實際中很常見的應用之一。數字信號處理課程介紹一般數字濾波器的基本結構，以及無限沖激響應（IIR）和有限沖激響應（FIR）數字濾波器設計的一些基本方法。學習這一部分內容，可以初步了解數字信號處理的理論知識在實際中的應用，同時也可以在實際應用中加深對理論知識的理解。

二、新的課程內容體系：對象、方法、應用與案例

基于前一節(jié)對課程內容的分析，數字信號處理課程的研究對象可分為信號與系統(tǒng)，二者雖然概念不同，但本質都是對信號序列的分析和處理過程。其中，系統(tǒng)的序列由其沖擊響應序列來決定。由于在時域中，對信號或者系統(tǒng)的分析相對復雜，DSP 領域采用各種變換方法進行研究，將信號映射到變換域后特征更加明顯，便于分析并進行處理。常見的變換方法包括DTFT、DFT 和z 變換等[10-11]。

因此，DSP 課程的研究對象實質為序列，分為信號和系統(tǒng)兩個方面；而研究方法則是包括DTFT、DFT 和z變換等在內的各種常見變換方法；除此之外，以基本性質和研究方法為基礎，課程將進一步介紹連續(xù)時間信號采樣和數字濾波器設計，我們把這個方面的課程內容稱之為“應用”。為了從整體上把握DSP 課程的主要內容、得到更清晰的結構框架，我們將新的課程體系框架以框圖的形式顯示，如圖1 所示。

圖1 課程體系框架：序列（對象）、方法、應用及實踐案例（以語音定位為例）

（一）實踐案例：混響語音信號定位

我們緊跟科學前沿，致力于將最新的科研成果轉化成課堂教學案例。下面以混響語音信號（序列）為例，解釋如何利用課程所學知識點（方法）來解決工程實踐中的室內混響語音定位問題（應用）。

封閉空間中從信號源發(fā)出的信號，在傳播過程中由于不斷被封閉空間邊界和物體吸收而逐漸衰減，信號在各個反射面來回反射，而又逐漸衰減的現象稱為混響。因此混響效應可以看成來自封閉空間中不同方位的反射波經過延遲和衰減后的疊加，每條反射波到達的時間和強度均不同，該效果可以用鏡像模型方法精確的描述[12]。圖1 中顯示了房間鏡像模型的二維平面示意圖（黑色加粗矩形表示真實室內空間，其他矩形表示室外鏡像空間）：任何一條從實際信源（實源）到陣列的反射信號等價為來自室外鏡像空間的鏡像虛源到陣列的信號，因此混響信號可以看成所有鏡像空間中的虛源到真實陣列的衰減信號疊加。鏡像模型方法的優(yōu)勢在于，對混響進行了更精確的建模描述，這對復雜封閉空間強混響環(huán)境下的信號源定位具有很好的實用價值。

一般來說，真實房間的尺寸和陣列位置信息已知，但其他環(huán)境信息完全未知。假設x（t）表示室內房間中的混響語音信號（采樣之后變?yōu)樾蛄校捎靡韵聰祵W公式描述封閉空間中的語音信號卷積模型

式中：H（k）=[h1（k），h2（k），…，hN（k）]表示房間脈沖響應矩陣（沖激響應序列），K 表示信道階數，即實際環(huán)境中的x（t）可看作沖激響應H（k）和信號源s（t）的卷積混合（序列之間的線性卷積），n（t）表示噪聲?？梢钥闯?，在時域中很難對式（1）中的信號模型進行分析和處理，DSP未來發(fā)展的趨勢就是從時域向變換域轉化，因為在變換域處理信號更為方便和簡練（這是課程學習DTFT、DFT等變換的原因）。接下來，我們使用短時傅里葉變換（STFT）將式（1）中的時域信號模型轉換成如下所示的時頻（Time-Frequency，TF）域信號模型

式中：H（f）表示信道傅里葉轉換矩陣。根據傅里葉變換的卷積定理（傅里葉變換的性質），式（1）中時域的卷積混合模型在時頻域轉換成了更容易處理的瞬時混合模型，這樣卷積模型語音定位問題可以利用瞬時模型的方法來解決。

根據鏡像模型原理，第n 個信號源（共N 個信源）和接收陣列第m 個陣元（共M 個陣元）之間的能量傳播關系如下

由于陣列的位置dm已知，所以接下來只需要獲得信源的空間位置，便能實現混響語音信號定位。對圖1 中室內空間及室外鏡像空間進行網格劃分，從而將位置信息離散化為分布在平面空間的有限個網格點。假設真實室內矩形空間被劃分為G 個網格點，那么室內空間和室外鏡像空間共有G·（R+1）個網格點（R=0 表示無混響環(huán)境）。在所有的G·（R+1）個網格點中，只有其中N·（R+1）個位置存在信號源（包括室內空間的實源和R個室外鏡像空間的虛源），因此利用空間稀疏性可以將語音定位問題構建成如下的壓縮感知（采樣定理的實際拓展）問題

式中：x（t，f）表示維度為M 的觀測向量，s（t，f）表示維度為G·（R+1）的待恢復稀疏向量，其非零元素位置即為語音信號源的空間位置。

在此案例中，我們分別應用課程內容中的序列、沖激響應、卷積、短時傅里葉變換、傅里葉變化及其性質、采樣定理和濾波器設計，將課程體系中的核心知識點很好地貫穿起來。另外，布置了此教學案例的課外作業(yè)：“實際室內混響和噪聲影響下的定位問題非常復雜，不同房間的幾何結構及墻面、天花板、地板、房間物體的聲學特性均不同，故對室內環(huán)境的混響建模應該更貼合實際應用環(huán)境，請同學們課后考慮非矩形結構和不同的物體吸聲系數，從而增強定位算法的普適性”。這種思考作業(yè)是為了讓學生知道，課程內容只是科學研究的基礎，要真正解決實際工程問題，還有待進一步的深入研究。

（二）新的“3+1”式模塊及其教學實踐

基于圖1 所示的課程體系框架，我們將課程體系分為“3+1”式共四大模塊（表1），分別為對象、方法、應用和實踐案例。前2 個模塊（定義、基本性質、分析方法）為理論基礎，為學生講解信號處理的基本概念、研究對象和基本方法；第3 個模塊為應用模塊，通過分析信號采樣和濾波器設計的本質問題，為學生講解數字信號處理在解決實際問題中的基本思路；第4 個模塊為教學案例實踐模塊。

表1 “3+1”式課程模塊

近幾年的課堂教學效果表明，本文所提的“3+1”式課程體系和授課方法得到了學生的普遍認可。這種新的體系不僅加深了學生對DSP 課程體系的整體印象，更重要的是，緊跟科學前沿的實踐案例將課程內容很好地貫穿起來，進一步鞏固了學生對課程核心知識點的掌握，并提升了學生的學習和科研興趣。

三、結束語

數字信號處理課程具有理論性強、概念抽象的特點，無論是從教學角度還是學習角度都有著較大的難度。本文通過對數字信號處理課程主要內容的具體分析，找出了各知識點之間的內在聯系，并將課程的核心內容分為四大類來進行課堂實踐教學，分別是研究對象、研究方法、應用及實踐案例。其中，研究對象可以看成“序列”，分為信號和系統(tǒng)兩類，本文分別在時域、頻域和z 域對二者進行了分析；研究方法即各種信號變換方法，包括DTFT、DFT、z 變換等，本文對這些方法進行了討論并分析了它們之間的相互關系；應用部分主要涉及信號采樣和數字濾波器設計，分別介紹了采樣及濾波器設計的方法，以及應用中對DSP 理論知識的運用；最后，我們以混響語音信號定位為例，闡釋如何通過設計教學案例更深刻地理解課程體系和知識點。