應(yīng)用型本科大學(xué)高等數(shù)學(xué)“高層次”教學(xué)的研究與實踐
——以長春工程學(xué)院教學(xué)實踐為例

鄒廣玉

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院，長春 130012)

數(shù)學(xué)在科學(xué)發(fā)展中起著基礎(chǔ)性作用，在各個領(lǐng)域發(fā)揮著不可代替的作用，是推動現(xiàn)代科技進步的重要力量。北京大學(xué)原校長、著名數(shù)學(xué)家丁石孫先生曾指出，“今天數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，決定了明天科學(xué)人才的水平[1]”。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)生進入大學(xué)后學(xué)的第一門數(shù)學(xué)課程，是應(yīng)用型本科大學(xué)開設(shè)的一門重要公共基礎(chǔ)課，它所提供的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法為專業(yè)課提供了必要的理論基礎(chǔ)、思維方式、重要工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和理性思考的重要課程。

近年來，高等教育呈現(xiàn)出大眾化趨勢，各省教育發(fā)展水平不均衡、使用教材有差異、高考考查內(nèi)容不同，導(dǎo)致大學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有較大不同，部分文理兼招專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平更是參差不齊。在這種情況下，對不同層次、不同專業(yè)的學(xué)生采用統(tǒng)一的教學(xué)計劃、教學(xué)要求和教學(xué)模式進行大班授課，教師很難顧及不同層次學(xué)生的需求，會造成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生“吃不飽”、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生“跟不上”的現(xiàn)象，不利于學(xué)生后續(xù)的發(fā)展。越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者注意到這一問題，意識到數(shù)學(xué)分層教學(xué)的重要意義，并進行了有益的研究與實踐[2-10]。一些學(xué)校按照專業(yè)類別或高考數(shù)學(xué)成績在學(xué)生進入大學(xué)時分成若干不同層次的教學(xué)班，在形式上實現(xiàn)了分層次教學(xué)，但沒有顧及學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)生的差異性，是一種一刀切式的劃分。

我校是吉林省特色高水平應(yīng)用型大學(xué)A類高校，具有深厚的建筑、水利、電力、地質(zhì)等基礎(chǔ)工業(yè)行業(yè)背景，開設(shè)的專業(yè)以工科專業(yè)為主，需要較強的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文以大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽為依托，秉承北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院提出的“加強基礎(chǔ)，重視應(yīng)用，因材施教，分流培養(yǎng)”的人才培養(yǎng)理念，對高等數(shù)學(xué)課程“高層次”教學(xué)進行了有益的探索。

一、理論研究

(一)深刻理解分層教學(xué)的內(nèi)涵

對分層教學(xué)的普遍認識是指教師根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)和能力水平把學(xué)生合理地分成幾個有差異的群體，對各個群體實施有區(qū)別的、不同層次的教學(xué)和輔導(dǎo)，達到不同層次的教學(xué)目標。文獻[11]中作者從心理學(xué)角度按照人的認知過程定義分層教學(xué)，要求教師在進行課堂教學(xué)設(shè)計時必須遵循人的認識規(guī)律和尊重學(xué)生認識水平的差異，把學(xué)生的認識活動劃分為不同的階段，在不同階段完成適應(yīng)認識水平的教學(xué)任務(wù)，循序漸進，使學(xué)生掌握較高層次的知識與技能水平。從教育學(xué)的觀點看，分層次教學(xué)的理論依據(jù)是差異性教學(xué)的理論與策略，可以看成是一種教學(xué)方法，也可以看作是一種教學(xué)組織形式，是“因材施教”在現(xiàn)代教學(xué)中的一種體現(xiàn)。

大多數(shù)學(xué)校都會按照專業(yè)將高等數(shù)學(xué)分為幾個類別，如物理類、計算機類等對數(shù)學(xué)要求較高的專業(yè)開設(shè)內(nèi)容全面的課程；對大多數(shù)工科專業(yè)開設(shè)內(nèi)容較多、難度適中的課程；而對工商管理類等專業(yè)開設(shè)內(nèi)容淺顯的課程。這可以看成是分層教學(xué)的一種模式，具有一定科學(xué)性，但也存在弊端，在同一大類仍然采用統(tǒng)一的教學(xué)內(nèi)容，在大班授課的情況下難以達到對不同層次學(xué)生進行有差別培養(yǎng)。依托大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽可以開拓出一種新的分層模式，以賽促改，以賽促學(xué)，實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的分層、學(xué)生的分層和教學(xué)評價的分層，達到對學(xué)生因材施教的目的。

(二)準確把握大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽內(nèi)容，以賽促改

在2009年10月舉行了首屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。大賽分為數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽和非數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽，參賽學(xué)生為大學(xué)本科二年級及以上的在校大學(xué)生。初賽(預(yù)賽)和決賽的試題均由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽委員會統(tǒng)一組織專家命制。經(jīng)過十幾年的競賽歷程，參賽人數(shù)不斷壯大，近幾屆大賽初賽人數(shù)已逾11萬，大賽影響力日益增強，現(xiàn)已成為一項重要的國家基礎(chǔ)類賽事。

本項賽事所考查內(nèi)容與本科高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容一致，但在難度和靈活性上具有很大挑戰(zhàn)性，對靈活運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維的鍛煉具有極大促進作用。很多院校非常重視該競賽對大學(xué)數(shù)學(xué)的作用，積極組織培訓(xùn)參賽[12-13]，促進高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革[14-15]，但以此競賽為依托進行分層教學(xué)的改革在各大高校還不多見。

二、教學(xué)實踐

(一)分層教學(xué)設(shè)計

依托大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，將大學(xué)生高等數(shù)學(xué)教育分為“普及性”教學(xué)和“高層次”教學(xué)，按照不同的教學(xué)目標、教學(xué)內(nèi)容和評價方式開展教學(xué)活動。

1.教學(xué)目標分層

“普及性”教學(xué)目標。我校以工科專業(yè)為主，課程體系需要高等數(shù)學(xué)作為支撐，因此需要進行大學(xué)數(shù)學(xué)的“通識教育”。要求所有學(xué)生能“接受”、能“消化”基本數(shù)學(xué)概念，掌握常用數(shù)學(xué)方法，具有基本的計算能力，使所有學(xué)生掌握專業(yè)課所需要的數(shù)學(xué)知識，達到“普及性”教育水平。

“高層次”教學(xué)目標。利用大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽校賽選拔對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生，對他們在“普及性”教學(xué)基礎(chǔ)上進行“高層次”教學(xué)，解決學(xué)生“吃不飽”的問題。堅定學(xué)生認知的主體地位，以學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和能力為基礎(chǔ)，在競賽中鍛煉學(xué)生的意志品質(zhì)，通過有針對性的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)出具有較強分析問題、解決問題能力的高精深數(shù)學(xué)人才。

2.教學(xué)內(nèi)容分層

“普及性”教學(xué)內(nèi)容。按照教學(xué)大綱和專業(yè)需要，在不改變原有教學(xué)班的情況下，講授高等數(shù)學(xué)基本教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)降低教學(xué)難度，淡化理論推導(dǎo)，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用。

“高層次”教學(xué)內(nèi)容。按照大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的考綱確定教學(xué)內(nèi)容，但絕不是“普及性”教學(xué)內(nèi)容的重述，更不是簡單的習(xí)題講解?！案邔哟巍苯虒W(xué)是在“普及性”教學(xué)基礎(chǔ)上開展的縱深性教學(xué)，是對高等數(shù)學(xué)知識體系的宏觀把控，是對數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一梳理，是對知識點的重新整合。教學(xué)內(nèi)容不再拘泥于教材的章節(jié)，而是重新整合知識點，將內(nèi)容模塊化，以不同視角、站在更高層次看待數(shù)學(xué)問題。講授內(nèi)容側(cè)重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練和應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，通過講解技巧性更強、更有挑戰(zhàn)度的題目，提升學(xué)生創(chuàng)新意識。

3.教學(xué)模式分層

“普及性”教學(xué)模式以傳統(tǒng)的教學(xué)班大班授課為主，在部分班級嘗試混合式教學(xué)?！案邔哟巍苯虒W(xué)采用小班授課，以教師講解、翻轉(zhuǎn)課堂、主題討論等多種形式開展。充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，同時鍛煉學(xué)生的表達能力和協(xié)作能力。

4.教學(xué)評價分層

“普及性”教學(xué)評價按照專業(yè)認證的標準進行達成度分析?！案邔哟涡浴苯虒W(xué)以大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲獎作為評價標準。學(xué)生可以通過參加大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽省賽和國賽，獲得創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)學(xué)分。

(二)“高層次”數(shù)學(xué)教學(xué)實踐活動

1.選拔“高層次”教學(xué)的對象

在“普及性”教學(xué)中，發(fā)動全體數(shù)學(xué)教師在授課班級中有意識地發(fā)掘?qū)?shù)學(xué)學(xué)有余力的學(xué)生，通過單獨輔導(dǎo)加深學(xué)習(xí)興趣。在每年6月末大一學(xué)習(xí)完高等數(shù)學(xué)內(nèi)容后開展大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽校賽，選拔出有時間、有精力、愿意繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、真正對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生50人。

2.開展“高層次”教學(xué)

“高層次”教學(xué)以全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽驅(qū)動，成立教學(xué)團隊，研讀大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱，準確把握大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽內(nèi)容，確定適合我校學(xué)生的高層次教學(xué)內(nèi)容，編寫適合我校學(xué)生學(xué)習(xí)的高層次教學(xué)的教學(xué)大綱和授課計劃。每位教師按專長分配教學(xué)任務(wù)，通過定期教研活動討論教學(xué)內(nèi)容，在組會上匯報成果，由大家討論通過。

教學(xué)內(nèi)容模塊化，將知識點橫向串聯(lián)，縱向延伸。如對極限求法的講解，包括極限定義、四則運算法則、變量替換法、單調(diào)有界原理、夾逼準則、重要極限、無窮小替換、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)定義、洛必達法則、泰勒公式、定積分定義、級數(shù)等求極限的方法。所使用的方法橫向貫穿微積分學(xué)和級數(shù)理論，使學(xué)生不再拘泥于某一種解決問題的手段，極大拓寬了學(xué)生的視野。對于某一方法縱向挖掘問題的本質(zhì)，解決一類問題，讓學(xué)生高視角看待問題。

教學(xué)團隊的教師按專業(yè)特長選擇課程內(nèi)容輪流授課，教學(xué)過程充分發(fā)揮教師積極性，教學(xué)方式靈活多樣，保證教學(xué)效果。為學(xué)生配備指導(dǎo)教師，授課方式采用集中授課與單獨輔導(dǎo)相結(jié)合，對選拔出的學(xué)生進行全方位“高層次教育”。通過有針對性的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，提高分析問題和解決問題的能力。

3.參加大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽一般在每年10月末舉行，吉林省也以此競賽作為吉林省數(shù)學(xué)競賽。通過對學(xué)生的高層次教學(xué)，學(xué)生可以更加游刃有余地參加比賽。通過競賽檢驗教學(xué)成果，學(xué)生可以獲得吉林省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲獎證書，成績優(yōu)異者還可獲得全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲獎證書。通過競賽可以激發(fā)學(xué)生的競爭意識和學(xué)習(xí)熱情，促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)，同時可以發(fā)現(xiàn)“高層次”教學(xué)中的不足，積累教學(xué)經(jīng)驗，持續(xù)改進教學(xué)內(nèi)容和培訓(xùn)方式。

三、教學(xué)成效

(一)教賽合一，學(xué)創(chuàng)融合，極大提升應(yīng)用型人才培養(yǎng)質(zhì)量

通過分層次教學(xué)，充分調(diào)動教師和學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生向自己優(yōu)勢方向和既定目標發(fā)展，通過競賽鍛煉學(xué)生的競爭意識和學(xué)習(xí)能力，彌補學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力不足的缺陷，全面提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量。通過學(xué)科競賽，推動了我校雙創(chuàng)教育的開展。競賽的趣味性和榮譽感極大地激發(fā)教師和學(xué)生的參與熱情，為數(shù)學(xué)競賽的成功開展提供良好的氛圍和人才保障，一定程度上提高了學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)整體水平，在與全國高校大學(xué)生同臺競技的過程中提高了學(xué)校的知名度。近兩年我校每年均有3名學(xué)生獲國賽一等獎，5名學(xué)生獲國賽二等獎，8名學(xué)生獲國賽三等獎。

(二)教學(xué)相長，教師業(yè)務(wù)能力獲得顯著提高

高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容少有更新，教師反復(fù)講授內(nèi)容熟練，但卻大多數(shù)停留在課本層次。通過教學(xué)團隊集體討論和學(xué)習(xí)，深刻理解教學(xué)內(nèi)容，掌握解題技巧，提高知識的整體把控能力，提高了教師的業(yè)務(wù)水平。在教學(xué)中學(xué)生與教師形成良好的教學(xué)共同體，達到教學(xué)相長的目的。近兩年有兩位指導(dǎo)教師獲大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師稱號，獲批省級教研教改課題兩項。

四、分層教學(xué)的優(yōu)勢和特點

(一)統(tǒng)籌兼顧，大眾和精英教育并行

按照原有教學(xué)班進行高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)，保證教學(xué)運行順暢，完成大學(xué)生應(yīng)具備數(shù)學(xué)知識的通識性教學(xué)。以大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽為依托的高層次教學(xué)豐富了教學(xué)內(nèi)容，增加了高等數(shù)學(xué)的趣味性與挑戰(zhàn)性?？朔藗鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)學(xué)時有限、學(xué)生層次差異較大、“不敢”講解深層次教學(xué)內(nèi)容等束縛，保證數(shù)學(xué)知識的全面性和延伸性。

(二)以學(xué)生為中心，以興趣為前提，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位

部分大學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更高訴求，在主觀上希望能夠得到更廣泛、更深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機會。這些學(xué)生有興趣，愿意投入更多精力開展數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)，有很強的主觀能動性，是真正愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生，而不只是處于某個分數(shù)線上的學(xué)生。以數(shù)學(xué)競賽驅(qū)動的“高層次”教學(xué)滿足了學(xué)生渴求知識的愿望，提供了更高層次的平臺。

(三)學(xué)賽融合，以賽促教，知識傳授與能力培養(yǎng)并舉

數(shù)學(xué)競賽試題難度較大，綜合性、靈活性很強，普及性教學(xué)無法滿足競賽要求，“高層次”教學(xué)內(nèi)容可以實現(xiàn)內(nèi)容的縱深補充。“高層次”教學(xué)在“普及性”教學(xué)基礎(chǔ)上開展，教師可以有針對性地、有的放矢地教學(xué)，滿足學(xué)生深入學(xué)習(xí)的需求。在增強數(shù)學(xué)知識的同時，對大學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)、研究能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)能力等產(chǎn)生積極促進作用，對大學(xué)生優(yōu)秀意志品質(zhì)培養(yǎng)產(chǎn)生重要影響。

五、結(jié)論和建議

依托大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽進行高等數(shù)學(xué)“高層次”教學(xué)，以全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量為宗旨，以因材施教、分層培養(yǎng)為指導(dǎo)思想，以競賽促進教學(xué)為思路，以學(xué)習(xí)興趣為選拔標準，旨在建立高等數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式。通過幾年的實踐取得了一些成績，也有進一步可以完善之處。

但是僅通過大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽校賽選拔高水平學(xué)生方法單一，選拔人數(shù)較少，部分沒有參加比賽的學(xué)生仍有接受高層次數(shù)學(xué)教學(xué)的需求?？梢圆捎酶屿`活的選拔機制遴選更多“高水平”學(xué)生，如增加教師推薦等方式。同時高層次教學(xué)過程中通過測試，實行淘汰制度，實現(xiàn)靈活進出制度，確保高層次教學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容層次高、學(xué)生數(shù)學(xué)水平高。

“高層次”教學(xué)時間較短，進度過快，沒有過多練習(xí)時間，部分內(nèi)容講解不夠深入。從選拔出高水平學(xué)生到參加國賽只有幾個月時間，授課需要在周末進行，學(xué)時有限?？梢钥紤]提早教學(xué)時間，發(fā)揮任課教師作用，在校賽前以單獨輔導(dǎo)形式對有潛力的學(xué)生進行培訓(xùn)，在校賽選拔中使高水平學(xué)生能夠脫穎而出，為后續(xù)學(xué)習(xí)打牢基礎(chǔ)。

增加教學(xué)內(nèi)容，持續(xù)高層次教學(xué)?，F(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容只針對高等數(shù)學(xué)進行，只在一個學(xué)期集中教學(xué)，持續(xù)性不強?？煽紤]對線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的全部大學(xué)數(shù)學(xué)課程開展教學(xué)，實現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的全方位、高層次教學(xué)。

大學(xué)數(shù)學(xué)課程的改革任重道遠，分層教學(xué)的模式必將成為一種趨勢，而依托數(shù)學(xué)競賽進行分層教學(xué)的改革與實踐方興未艾，相信該教學(xué)改革對學(xué)生自主學(xué)習(xí)、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力、提升教學(xué)質(zhì)量會起到積極促進作用。