運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題

■山東省濟(jì)南泉城中學(xué) 牛怡怡

初中生還沒有完成真正意義上的思維和認(rèn)知發(fā)育，對(duì)外界信息的認(rèn)知和理解尚未形成真正成熟的能力，不善于也不樂于學(xué)習(xí)一些抽象性較強(qiáng)的知識(shí)；然而，雖然在整體上并不具有很大的難度，但是由于課程屬性的影響，初中數(shù)學(xué)和同階段的其他課程相比仍具有抽象性成分比重偏大的特點(diǎn)——這一特征在二次函數(shù)這一模塊中體現(xiàn)得尤為明顯，這無疑給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困難。為了有效調(diào)和這一客觀矛盾，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)更多地從學(xué)生的角度出發(fā)，根據(jù)初中生感性化、具象化的認(rèn)知特點(diǎn)，在二次函數(shù)講解過程中積極踐行數(shù)形結(jié)合法的教學(xué)應(yīng)用，使學(xué)生獲得更好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)課程教學(xué)質(zhì)量和效率的雙重提升。

一、彰顯函數(shù)元素對(duì)圖像信息的囊括表達(dá)

從本質(zhì)上看，“數(shù)字”和“字母”本身就是人為創(chuàng)造出來的符號(hào)，它們對(duì)一些信息概念具有較強(qiáng)的囊括性表達(dá)效力，那么以之為基礎(chǔ)的二次函數(shù)也就可以看作是一種包含一定信息含義的表達(dá)載體。由于發(fā)育階段和社會(huì)閱歷的限制，絕大多數(shù)初中生都更喜歡也更容易理解一些借助具體形象來表示的信息，但是這種模式對(duì)信息的傳遞效率較低，不便于應(yīng)用在講求學(xué)習(xí)速率的課堂教學(xué)環(huán)境中。對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師可以將“數(shù)字”和“字母”組合而成的二次函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為概括性的圖形信息，以此為依托引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)信息接收、理解效率的提升，從而在更深層次上幫助學(xué)生完成思維模式的理性化、抽象化過渡，進(jìn)而為之后的課程教學(xué)打下良好基礎(chǔ)。

例如，對(duì)“二次函數(shù)”這一堂二次函數(shù)系列起始課程的講解，教師可以用二次函數(shù)中存在的數(shù)字元素概括與之對(duì)應(yīng)的不同的圖像信息的表達(dá)特征，讓學(xué)生形成有效記憶。譬如，可根據(jù)函數(shù)圖像中y和x的代入數(shù)值表現(xiàn)圖像中曲線的起始、終結(jié)端點(diǎn)（如果存在）和各自的極值點(diǎn)等。

二、彰顯圖像信息對(duì)函數(shù)元素的生動(dòng)表達(dá)

雖然初中生理性化的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)是一項(xiàng)非常關(guān)鍵的工作，不過初中數(shù)學(xué)教師在具體教學(xué)中仍然要時(shí)刻以尊重初中生當(dāng)前的理解層級(jí)和習(xí)慣為第一意識(shí)。和抽象性的二次函數(shù)表達(dá)式相比，二次函數(shù)圖像必然會(huì)給初中生帶來更直觀的形象記憶，因此對(duì)一些理解難度較大的二次函數(shù)課程知識(shí)，初中數(shù)學(xué)教師可以試著用具體的函數(shù)圖像代替函數(shù)表達(dá)式發(fā)揮信息展示和技能演示的作用，這樣既能進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的二次函數(shù)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，又可以用這種全新的形式激發(fā)學(xué)生濃厚的二次函數(shù)學(xué)習(xí)興趣。

比如，在講解“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”這一課的內(nèi)容時(shí)，不少學(xué)生由于對(duì)目標(biāo)材料中抽象數(shù)據(jù)信息的提煉或整合能力較差而無法準(zhǔn)確理解、表述出有關(guān)的二次函數(shù)表達(dá)式。這時(shí)，教師不妨將抽象的題干數(shù)據(jù)具化為直觀的坐標(biāo)元素，讓學(xué)生借助自己畫出來的坐標(biāo)系肉眼直接確定幾個(gè)代入數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x值或y值，同時(shí)借助手動(dòng)描繪等方式在坐標(biāo)系中構(gòu)建出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，繼而讓更具形象色彩的坐標(biāo)和圖像成為學(xué)生在腦海中構(gòu)建二次函數(shù)表達(dá)式中逐項(xiàng)要素認(rèn)知框架的可靠依托。

三、完善對(duì)日常元素的應(yīng)用

初中生對(duì)外界的認(rèn)知大多以自己身邊的生活元素為路徑和對(duì)象，因此也就更容易對(duì)身邊的人、事、物形成良好的認(rèn)知效果。初中數(shù)學(xué)教師要有效利用這一點(diǎn)，在二次函數(shù)教學(xué)中有意識(shí)地結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)歷和理解能力，這也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，便于引導(dǎo)學(xué)生將身邊的事物和數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合。教師從學(xué)生熟悉的日常元素中提煉出兼具二次函數(shù)應(yīng)用和圖像表現(xiàn)屬性的成分，以之作為講解抽象的二次函數(shù)關(guān)聯(lián)知識(shí)的載體。這樣一來，學(xué)生首先能以更簡(jiǎn)單的路徑達(dá)成理想的認(rèn)知、吸收效果，其次還能充分感受到二次函數(shù)在生活中的巨大“存在感”，可謂是一舉兩得。

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)“二次函數(shù)的應(yīng)用”這一課時(shí)，教師可以首先用多媒體設(shè)備播放一些視頻給學(xué)生觀看，體現(xiàn)諸如橋梁構(gòu)建、股票或匯率信息統(tǒng)計(jì)以及體育培訓(xùn)等活動(dòng)中對(duì)二次函數(shù)的應(yīng)用，并可將這些視頻中表現(xiàn)出的“曲線”以可視化的形式標(biāo)注出來，設(shè)計(jì)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式。

四、優(yōu)化對(duì)游戲教學(xué)的運(yùn)用

初中生天生就是熱愛游戲的“游戲家”，據(jù)此，初中數(shù)學(xué)教師不妨結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)學(xué)生的趣味取向和二次函數(shù)課程教學(xué)的具體需要，設(shè)計(jì)、組織一些富有參與感和趣味性的游戲活動(dòng)，讓學(xué)生能“邊玩邊學(xué)”，實(shí)現(xiàn)寓教于樂，以樂促學(xué)，在游戲中自然而然地完成對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解和吸收，并引導(dǎo)學(xué)生切身體會(huì)到“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)法的收獲和快樂。

比如，在學(xué)生具備了一定的二次函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和計(jì)算能力的情況下，教師可以和學(xué)生玩一場(chǎng)“看圖配式”的游戲：教師準(zhǔn)備兩組幻燈片，一組中的每張幻燈片上分別畫著具有一定相似度的二次函數(shù)圖像，同時(shí)在另一組中則列出與上一組中表達(dá)式一一對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；而后教師將學(xué)生按照“強(qiáng)弱結(jié)合”的原則分成幾個(gè)小組，每組依次派出一名代表參賽；代表們?cè)诳吹浇處煱凑针S機(jī)順序給出的二次函數(shù)表達(dá)式和圖像的幻燈片后，要在最短時(shí)間內(nèi)判斷其中是否存在相關(guān)的表達(dá)式和圖像并做出正確的“配對(duì)”，如果超時(shí)或者出現(xiàn)錯(cuò)配、漏配的情況則要扣除本隊(duì)1分的積分，最后看哪一組的積分最高。此外，教師還可以通過提高幻燈片展示速度或者加入干擾信息等方式漸提高游戲的難度。這樣游戲式的教學(xué)大大提高了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，對(duì)學(xué)生深度學(xué)習(xí)非常有幫助。

五、擴(kuò)充學(xué)生思考、解決問題的維度

以例題為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用訓(xùn)練是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必有環(huán)節(jié)。例題是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的驗(yàn)收，也是教師進(jìn)行有效評(píng)價(jià)的依據(jù)，有效的例題訓(xùn)練可以提高學(xué)生解決問題的能力，也可以以此為依據(jù)查漏補(bǔ)缺。為了切實(shí)強(qiáng)化學(xué)生的問題處理能力，初中數(shù)學(xué)教師要以數(shù)形結(jié)合為主要思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行二次函數(shù)信息搜集和知識(shí)資源整合，使學(xué)生從不同方向拆解題目。這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)首先需要學(xué)生具備扎實(shí)的二次函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，而教師要做的是在學(xué)生具備這一基礎(chǔ)后幫助學(xué)生向“上”擴(kuò)建二次函數(shù)知識(shí)思維框架，讓學(xué)生能快速而準(zhǔn)確地做到函數(shù)、函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像信息表達(dá)的有機(jī)轉(zhuǎn)換，以此讓學(xué)生逐漸形成審題、解題方面的思維優(yōu)勢(shì)。

比如，在進(jìn)行關(guān)于“二次函數(shù)”這一部分內(nèi)容的綜合練習(xí)時(shí)，教師可以在黑板上先寫出若干個(gè)隨機(jī)的二次函數(shù)表達(dá)式，而后通過設(shè)立如“頂點(diǎn)式”“一般式”“交點(diǎn)式”等不同類型的二次函數(shù)模塊引導(dǎo)學(xué)生選出符合標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)表達(dá)式，并分別將這些表達(dá)式寫進(jìn)不同的模塊中。之后教師可以從上述標(biāo)準(zhǔn)中同時(shí)選擇兩個(gè)，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行篩選，并用表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像中具體的圖像形象表示這些同時(shí)符合多項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)式，以這樣的數(shù)形結(jié)合手段讓學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)中表達(dá)式的種類以及種類和圖像之間的關(guān)系。

六、完善學(xué)生解答問題的方法角度

正如筆者在前文中提到的，初中數(shù)學(xué)的知識(shí)容量相當(dāng)巨大，其中一部分課程知識(shí)的常見考查題型必然要用數(shù)形結(jié)合的模式才能有效解答，其中的一個(gè)典型代表就是二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的理解和設(shè)計(jì)要依靠函數(shù)圖形的必要輔助，否則學(xué)生只能通過主觀聯(lián)想在腦中“做圖”，這樣不僅耗時(shí)長(zhǎng)而且非常容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。從這一角度看，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用還可以成為一種具體的解題方法，幫助學(xué)生將抽象的知識(shí)內(nèi)容和題干信息具象化為直觀的圖像，以便學(xué)生更迅速、準(zhǔn)確地解答問題。所以，初中數(shù)學(xué)教師在講解一些特定題型時(shí)應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合方法的存在感，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生形成利用這一方法思考、解答問題的主觀意識(shí)，以此讓學(xué)生真正意識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想對(duì)提高個(gè)人成績(jī)所能發(fā)揮出的巨大作用。

比如，在講解“二次函數(shù)與一元二次方程”這一板塊的知識(shí)時(shí)，教師首先要完成對(duì)課程基本知識(shí)的串講，之后可通過一些例題帶領(lǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式和圖形，并進(jìn)一步摸索二者之間的信息反映聯(lián)系，條件允許的話還可以借助幻燈片或短視頻表現(xiàn)表達(dá)式中各項(xiàng)元素的改變?cè)趫D形中的表現(xiàn)結(jié)果，以便學(xué)生在腦海中形成關(guān)于這兩種函數(shù)表達(dá)模式之間互相作用和體現(xiàn)形式的印象。

七、優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)成果應(yīng)用方法

任何一門學(xué)科的教學(xué)均以培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)與技能應(yīng)用素養(yǎng)為最終理想，數(shù)學(xué)中針對(duì)二次函數(shù)的教學(xué)自然也不會(huì)例外。初中數(shù)學(xué)教師要培養(yǎng)學(xué)生從題干中迅速捕捉關(guān)鍵信息的能力，并形成鮮明的數(shù)形結(jié)合解題思維。數(shù)形結(jié)合之所以能在初中二次函數(shù)方面具有較大的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，主要就在于它兼具信息處理的嚴(yán)謹(jǐn)性和直觀性。在實(shí)際教學(xué)的過程中，很多學(xué)生常常會(huì)接二連三地出現(xiàn)同一類型的問題，這其實(shí)就是知識(shí)記憶不牢固、技能應(yīng)用不熟練的表現(xiàn)。初中數(shù)學(xué)教師要針對(duì)學(xué)生存在的具體知識(shí)短板，引入數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)思維，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)方面的短板補(bǔ)齊。

八、利用數(shù)形結(jié)合方法完善知識(shí)框架構(gòu)建

和數(shù)學(xué)學(xué)科中其他方面的內(nèi)容相比，二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)還是比較多的，而且知識(shí)內(nèi)容之間的聯(lián)系也會(huì)隨著后續(xù)學(xué)習(xí)和考察要求的提升呈現(xiàn)出復(fù)雜化的趨勢(shì)，因此很多初中生的二次函數(shù)考察成績(jī)常常會(huì)隨著考察容量和層級(jí)的提升而下降。若要徹底扭轉(zhuǎn)這一不利局面，初中數(shù)學(xué)教師務(wù)必要專注于對(duì)學(xué)生二次函數(shù)知識(shí)模塊化體系的能動(dòng)搭建，引導(dǎo)學(xué)生以知識(shí)模塊的多元聯(lián)動(dòng)、考查思維和應(yīng)用層級(jí)等為切入方面，進(jìn)而形成一條以二次函數(shù)知識(shí)遞進(jìn)成長(zhǎng)為總體趨勢(shì)的邏輯鏈條。而若要保證這一項(xiàng)工作的順利開展，初中數(shù)學(xué)教師就必須重視起對(duì)思維導(dǎo)圖等圖形化知識(shí)脈絡(luò)載體的能動(dòng)利用，從而引導(dǎo)學(xué)生借助二次函數(shù)知識(shí)信息之間的可視化關(guān)聯(lián)和共向考查應(yīng)用形成清晰的主觀印象。

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“二次函數(shù)”這一章的綜合復(fù)習(xí)時(shí)，教師要打破以課時(shí)為基本單位的授課教學(xué)思路，而將本單元乃至整個(gè)初中所有數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“二次函數(shù)”的直接、間接關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)全部整理、提煉出來，并在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)外畫一個(gè)圓作為區(qū)框，在區(qū)框和區(qū)框之間以線條連接，而這段線條就是每?jī)蓚€(gè)區(qū)框間所存在的知識(shí)變量，如在“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”和“二次函數(shù)的應(yīng)用”之間，教師應(yīng)當(dāng)在線條上標(biāo)注“建橋問題”，以此提示學(xué)生在進(jìn)行二次函數(shù)應(yīng)用題解答時(shí)應(yīng)當(dāng)借助“建橋”這一經(jīng)典例題實(shí)現(xiàn)函數(shù)表達(dá)式的設(shè)計(jì)和目標(biāo)數(shù)值的求取。

九、利用數(shù)形結(jié)合方法形成逆向思維素養(yǎng)

逆向思維是一種頗有實(shí)用效果的學(xué)習(xí)思維模式，它是指與常規(guī)思維路徑相反的思維模式。逆向思維的有效運(yùn)用可以幫助學(xué)生獲得更多的解題渠道，也可讓學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用思路變得更多樣。逆向思維素養(yǎng)也是現(xiàn)代初中生亟需提升的一個(gè)方面，具體到數(shù)形結(jié)合的二次函數(shù)教學(xué)過程中，盡管初中生對(duì)圖形信息的感知更直接，然而某些二次函數(shù)中特定題型的解析思路卻更具備數(shù)字適配性。因此，初中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的能力時(shí)，也要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試“由形而數(shù)”的思維轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生能通過這種“反其道而行之”的方式接觸新穎的解題思路，從而為學(xué)生二次函數(shù)解題能力以及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的優(yōu)化注入更多的靈感。

比如，同樣是對(duì)“二次函數(shù)的應(yīng)用”這一部分的教學(xué)講解，教師可以在完成傳統(tǒng)的“以數(shù)思形”的教學(xué)后，引導(dǎo)一些尚未取得理想解題效果的學(xué)生嘗試“以形推數(shù)”的新思路，如在“通過觀察排球在空中的運(yùn)動(dòng)曲線，利用題目中給出的數(shù)據(jù)信息計(jì)算出排球的預(yù)期落點(diǎn)”這類題目中，教師可以讓學(xué)生試著將自己在圖示中看到的排球運(yùn)動(dòng)軌跡以及題干中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別標(biāo)注出來，而后根據(jù)二次函數(shù)的基本表達(dá)原則進(jìn)行數(shù)值代入和表達(dá)式的推導(dǎo)，通過這種方式逆推出當(dāng)y值為“0”時(shí)x的數(shù)值——即排球的落點(diǎn)。

除了以上幾方面主要的策略以外，初中數(shù)學(xué)教師還可將環(huán)境教育的思維引入二次函數(shù)模塊的數(shù)形結(jié)合教學(xué)工作中，在教室等學(xué)生經(jīng)?；顒?dòng)的場(chǎng)合環(huán)境中加入一些二次函數(shù)“圖形結(jié)合”元素，如一些經(jīng)典例題中的二次函數(shù)表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的圖形，或者將這些內(nèi)容以擬人化的卡通角色貼畫粘貼在教室墻壁上，從而讓學(xué)生在主觀意識(shí)上不斷增強(qiáng)熟悉感，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生以“數(shù)形結(jié)合”思維理解、運(yùn)用二次函數(shù)的學(xué)習(xí)發(fā)展。

十、結(jié)語

數(shù)學(xué)絕不是一門枯燥、深?yuàn)W的學(xué)科，它的學(xué)習(xí)是具有多種形式和方法的，教師理應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)到輕松和快樂。初中數(shù)學(xué)教師要真正認(rèn)識(shí)并努力踐行這一點(diǎn)，在二次函數(shù)教學(xué)中加大對(duì)數(shù)形結(jié)合法的研究和應(yīng)用力度，圍繞多元主題和復(fù)合型思路制定、應(yīng)用具體的教學(xué)策略，讓學(xué)生以更簡(jiǎn)便、直觀、有效的方式學(xué)會(huì)二次函數(shù)、用好二次函數(shù)，從而為他們將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和課程核心素養(yǎng)的穩(wěn)步成長(zhǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。