運用數(shù)形結(jié)合思想解決初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題

■山東省濟南泉城中學(xué) 牛怡怡

初中生還沒有完成真正意義上的思維和認知發(fā)育，對外界信息的認知和理解尚未形成真正成熟的能力，不善于也不樂于學(xué)習(xí)一些抽象性較強的知識；然而，雖然在整體上并不具有很大的難度，但是由于課程屬性的影響，初中數(shù)學(xué)和同階段的其他課程相比仍具有抽象性成分比重偏大的特點——這一特征在二次函數(shù)這一模塊中體現(xiàn)得尤為明顯，這無疑給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困難。為了有效調(diào)和這一客觀矛盾，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當更多地從學(xué)生的角度出發(fā)，根據(jù)初中生感性化、具象化的認知特點，在二次函數(shù)講解過程中積極踐行數(shù)形結(jié)合法的教學(xué)應(yīng)用，使學(xué)生獲得更好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗，從而實現(xiàn)課程教學(xué)質(zhì)量和效率的雙重提升。

一、彰顯函數(shù)元素對圖像信息的囊括表達

從本質(zhì)上看，“數(shù)字”和“字母”本身就是人為創(chuàng)造出來的符號，它們對一些信息概念具有較強的囊括性表達效力，那么以之為基礎(chǔ)的二次函數(shù)也就可以看作是一種包含一定信息含義的表達載體。由于發(fā)育階段和社會閱歷的限制，絕大多數(shù)初中生都更喜歡也更容易理解一些借助具體形象來表示的信息，但是這種模式對信息的傳遞效率較低，不便于應(yīng)用在講求學(xué)習(xí)速率的課堂教學(xué)環(huán)境中。對此，初中數(shù)學(xué)教師可以將“數(shù)字”和“字母”組合而成的二次函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為概括性的圖形信息，以此為依托引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)信息接收、理解效率的提升，從而在更深層次上幫助學(xué)生完成思維模式的理性化、抽象化過渡，進而為之后的課程教學(xué)打下良好基礎(chǔ)。

例如，對“二次函數(shù)”這一堂二次函數(shù)系列起始課程的講解，教師可以用二次函數(shù)中存在的數(shù)字元素概括與之對應(yīng)的不同的圖像信息的表達特征，讓學(xué)生形成有效記憶。譬如，可根據(jù)函數(shù)圖像中y和x的代入數(shù)值表現(xiàn)圖像中曲線的起始、終結(jié)端點（如果存在）和各自的極值點等。

二、彰顯圖像信息對函數(shù)元素的生動表達

雖然初中生理性化的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)是一項非常關(guān)鍵的工作，不過初中數(shù)學(xué)教師在具體教學(xué)中仍然要時刻以尊重初中生當前的理解層級和習(xí)慣為第一意識。和抽象性的二次函數(shù)表達式相比，二次函數(shù)圖像必然會給初中生帶來更直觀的形象記憶，因此對一些理解難度較大的二次函數(shù)課程知識，初中數(shù)學(xué)教師可以試著用具體的函數(shù)圖像代替函數(shù)表達式發(fā)揮信息展示和技能演示的作用，這樣既能進一步優(yōu)化學(xué)生的二次函數(shù)學(xué)習(xí)體驗，又可以用這種全新的形式激發(fā)學(xué)生濃厚的二次函數(shù)學(xué)習(xí)興趣。

比如，在講解“確定二次函數(shù)的表達式”這一課的內(nèi)容時，不少學(xué)生由于對目標材料中抽象數(shù)據(jù)信息的提煉或整合能力較差而無法準確理解、表述出有關(guān)的二次函數(shù)表達式。這時，教師不妨將抽象的題干數(shù)據(jù)具化為直觀的坐標元素，讓學(xué)生借助自己畫出來的坐標系肉眼直接確定幾個代入數(shù)據(jù)對應(yīng)的x值或y值，同時借助手動描繪等方式在坐標系中構(gòu)建出對應(yīng)的函數(shù)圖像，繼而讓更具形象色彩的坐標和圖像成為學(xué)生在腦海中構(gòu)建二次函數(shù)表達式中逐項要素認知框架的可靠依托。

三、完善對日常元素的應(yīng)用

初中生對外界的認知大多以自己身邊的生活元素為路徑和對象，因此也就更容易對身邊的人、事、物形成良好的認知效果。初中數(shù)學(xué)教師要有效利用這一點，在二次函數(shù)教學(xué)中有意識地結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)歷和理解能力，這也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，便于引導(dǎo)學(xué)生將身邊的事物和數(shù)學(xué)知識結(jié)合。教師從學(xué)生熟悉的日常元素中提煉出兼具二次函數(shù)應(yīng)用和圖像表現(xiàn)屬性的成分，以之作為講解抽象的二次函數(shù)關(guān)聯(lián)知識的載體。這樣一來，學(xué)生首先能以更簡單的路徑達成理想的認知、吸收效果，其次還能充分感受到二次函數(shù)在生活中的巨大“存在感”，可謂是一舉兩得。

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)“二次函數(shù)的應(yīng)用”這一課時，教師可以首先用多媒體設(shè)備播放一些視頻給學(xué)生觀看，體現(xiàn)諸如橋梁構(gòu)建、股票或匯率信息統(tǒng)計以及體育培訓(xùn)等活動中對二次函數(shù)的應(yīng)用，并可將這些視頻中表現(xiàn)出的“曲線”以可視化的形式標注出來，設(shè)計出對應(yīng)的二次函數(shù)表達式。

四、優(yōu)化對游戲教學(xué)的運用

初中生天生就是熱愛游戲的“游戲家”，據(jù)此，初中數(shù)學(xué)教師不妨結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)學(xué)生的趣味取向和二次函數(shù)課程教學(xué)的具體需要，設(shè)計、組織一些富有參與感和趣味性的游戲活動，讓學(xué)生能“邊玩邊學(xué)”，實現(xiàn)寓教于樂，以樂促學(xué)，在游戲中自然而然地完成對知識內(nèi)容的理解和吸收，并引導(dǎo)學(xué)生切身體會到“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)法的收獲和快樂。

比如，在學(xué)生具備了一定的二次函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和計算能力的情況下，教師可以和學(xué)生玩一場“看圖配式”的游戲：教師準備兩組幻燈片，一組中的每張幻燈片上分別畫著具有一定相似度的二次函數(shù)圖像，同時在另一組中則列出與上一組中表達式一一對應(yīng)的二次函數(shù)表達式；而后教師將學(xué)生按照“強弱結(jié)合”的原則分成幾個小組，每組依次派出一名代表參賽；代表們在看到教師按照隨機順序給出的二次函數(shù)表達式和圖像的幻燈片后，要在最短時間內(nèi)判斷其中是否存在相關(guān)的表達式和圖像并做出正確的“配對”，如果超時或者出現(xiàn)錯配、漏配的情況則要扣除本隊1分的積分，最后看哪一組的積分最高。此外，教師還可以通過提高幻燈片展示速度或者加入干擾信息等方式漸提高游戲的難度。這樣游戲式的教學(xué)大大提高了學(xué)生的主觀能動性，對學(xué)生深度學(xué)習(xí)非常有幫助。

五、擴充學(xué)生思考、解決問題的維度

以例題為載體進行數(shù)學(xué)應(yīng)用訓(xùn)練是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必有環(huán)節(jié)。例題是對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的驗收，也是教師進行有效評價的依據(jù)，有效的例題訓(xùn)練可以提高學(xué)生解決問題的能力，也可以以此為依據(jù)查漏補缺。為了切實強化學(xué)生的問題處理能力，初中數(shù)學(xué)教師要以數(shù)形結(jié)合為主要思路，引導(dǎo)學(xué)生進行二次函數(shù)信息搜集和知識資源整合，使學(xué)生從不同方向拆解題目。這一目標的實現(xiàn)首先需要學(xué)生具備扎實的二次函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，而教師要做的是在學(xué)生具備這一基礎(chǔ)后幫助學(xué)生向“上”擴建二次函數(shù)知識思維框架，讓學(xué)生能快速而準確地做到函數(shù)、函數(shù)表達式與函數(shù)圖像信息表達的有機轉(zhuǎn)換，以此讓學(xué)生逐漸形成審題、解題方面的思維優(yōu)勢。

比如，在進行關(guān)于“二次函數(shù)”這一部分內(nèi)容的綜合練習(xí)時，教師可以在黑板上先寫出若干個隨機的二次函數(shù)表達式，而后通過設(shè)立如“頂點式”“一般式”“交點式”等不同類型的二次函數(shù)模塊引導(dǎo)學(xué)生選出符合標準的函數(shù)表達式，并分別將這些表達式寫進不同的模塊中。之后教師可以從上述標準中同時選擇兩個，再引導(dǎo)學(xué)生進行篩選，并用表達式對應(yīng)的函數(shù)圖像中具體的圖像形象表示這些同時符合多項標準的表達式，以這樣的數(shù)形結(jié)合手段讓學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)中表達式的種類以及種類和圖像之間的關(guān)系。

六、完善學(xué)生解答問題的方法角度

正如筆者在前文中提到的，初中數(shù)學(xué)的知識容量相當巨大，其中一部分課程知識的常見考查題型必然要用數(shù)形結(jié)合的模式才能有效解答，其中的一個典型代表就是二次函數(shù)。二次函數(shù)表達式的理解和設(shè)計要依靠函數(shù)圖形的必要輔助，否則學(xué)生只能通過主觀聯(lián)想在腦中“做圖”，這樣不僅耗時長而且非常容易出現(xiàn)錯誤。從這一角度看，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用還可以成為一種具體的解題方法，幫助學(xué)生將抽象的知識內(nèi)容和題干信息具象化為直觀的圖像，以便學(xué)生更迅速、準確地解答問題。所以，初中數(shù)學(xué)教師在講解一些特定題型時應(yīng)當有意識地增強數(shù)形結(jié)合方法的存在感，同時引導(dǎo)學(xué)生形成利用這一方法思考、解答問題的主觀意識，以此讓學(xué)生真正意識到數(shù)形結(jié)合思想對提高個人成績所能發(fā)揮出的巨大作用。

比如，在講解“二次函數(shù)與一元二次方程”這一板塊的知識時，教師首先要完成對課程基本知識的串講，之后可通過一些例題帶領(lǐng)學(xué)生設(shè)計出相應(yīng)的函數(shù)表達式和圖形，并進一步摸索二者之間的信息反映聯(lián)系，條件允許的話還可以借助幻燈片或短視頻表現(xiàn)表達式中各項元素的改變在圖形中的表現(xiàn)結(jié)果，以便學(xué)生在腦海中形成關(guān)于這兩種函數(shù)表達模式之間互相作用和體現(xiàn)形式的印象。

七、優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)成果應(yīng)用方法

任何一門學(xué)科的教學(xué)均以培養(yǎng)學(xué)生的知識與技能應(yīng)用素養(yǎng)為最終理想，數(shù)學(xué)中針對二次函數(shù)的教學(xué)自然也不會例外。初中數(shù)學(xué)教師要培養(yǎng)學(xué)生從題干中迅速捕捉關(guān)鍵信息的能力，并形成鮮明的數(shù)形結(jié)合解題思維。數(shù)形結(jié)合之所以能在初中二次函數(shù)方面具有較大的應(yīng)用優(yōu)勢，主要就在于它兼具信息處理的嚴謹性和直觀性。在實際教學(xué)的過程中，很多學(xué)生常常會接二連三地出現(xiàn)同一類型的問題，這其實就是知識記憶不牢固、技能應(yīng)用不熟練的表現(xiàn)。初中數(shù)學(xué)教師要針對學(xué)生存在的具體知識短板，引入數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)思維，幫助學(xué)生實現(xiàn)二次函數(shù)方面的短板補齊。

八、利用數(shù)形結(jié)合方法完善知識框架構(gòu)建

和數(shù)學(xué)學(xué)科中其他方面的內(nèi)容相比，二次函數(shù)的知識點還是比較多的，而且知識內(nèi)容之間的聯(lián)系也會隨著后續(xù)學(xué)習(xí)和考察要求的提升呈現(xiàn)出復(fù)雜化的趨勢，因此很多初中生的二次函數(shù)考察成績常常會隨著考察容量和層級的提升而下降。若要徹底扭轉(zhuǎn)這一不利局面，初中數(shù)學(xué)教師務(wù)必要專注于對學(xué)生二次函數(shù)知識模塊化體系的能動搭建，引導(dǎo)學(xué)生以知識模塊的多元聯(lián)動、考查思維和應(yīng)用層級等為切入方面，進而形成一條以二次函數(shù)知識遞進成長為總體趨勢的邏輯鏈條。而若要保證這一項工作的順利開展，初中數(shù)學(xué)教師就必須重視起對思維導(dǎo)圖等圖形化知識脈絡(luò)載體的能動利用，從而引導(dǎo)學(xué)生借助二次函數(shù)知識信息之間的可視化關(guān)聯(lián)和共向考查應(yīng)用形成清晰的主觀印象。

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生進行“二次函數(shù)”這一章的綜合復(fù)習(xí)時，教師要打破以課時為基本單位的授課教學(xué)思路，而將本單元乃至整個初中所有數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“二次函數(shù)”的直接、間接關(guān)聯(lián)知識點全部整理、提煉出來，并在每個知識點外畫一個圓作為區(qū)框，在區(qū)框和區(qū)框之間以線條連接，而這段線條就是每兩個區(qū)框間所存在的知識變量，如在“確定二次函數(shù)的表達式”和“二次函數(shù)的應(yīng)用”之間，教師應(yīng)當在線條上標注“建橋問題”，以此提示學(xué)生在進行二次函數(shù)應(yīng)用題解答時應(yīng)當借助“建橋”這一經(jīng)典例題實現(xiàn)函數(shù)表達式的設(shè)計和目標數(shù)值的求取。

九、利用數(shù)形結(jié)合方法形成逆向思維素養(yǎng)

逆向思維是一種頗有實用效果的學(xué)習(xí)思維模式，它是指與常規(guī)思維路徑相反的思維模式。逆向思維的有效運用可以幫助學(xué)生獲得更多的解題渠道，也可讓學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用思路變得更多樣。逆向思維素養(yǎng)也是現(xiàn)代初中生亟需提升的一個方面，具體到數(shù)形結(jié)合的二次函數(shù)教學(xué)過程中，盡管初中生對圖形信息的感知更直接，然而某些二次函數(shù)中特定題型的解析思路卻更具備數(shù)字適配性。因此，初中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合方法的能力時，也要有意識地引導(dǎo)學(xué)生嘗試“由形而數(shù)”的思維轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生能通過這種“反其道而行之”的方式接觸新穎的解題思路，從而為學(xué)生二次函數(shù)解題能力以及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的優(yōu)化注入更多的靈感。

比如，同樣是對“二次函數(shù)的應(yīng)用”這一部分的教學(xué)講解，教師可以在完成傳統(tǒng)的“以數(shù)思形”的教學(xué)后，引導(dǎo)一些尚未取得理想解題效果的學(xué)生嘗試“以形推數(shù)”的新思路，如在“通過觀察排球在空中的運動曲線，利用題目中給出的數(shù)據(jù)信息計算出排球的預(yù)期落點”這類題目中，教師可以讓學(xué)生試著將自己在圖示中看到的排球運動軌跡以及題干中對應(yīng)的數(shù)據(jù)分別標注出來，而后根據(jù)二次函數(shù)的基本表達原則進行數(shù)值代入和表達式的推導(dǎo)，通過這種方式逆推出當y值為“0”時x的數(shù)值——即排球的落點。

除了以上幾方面主要的策略以外，初中數(shù)學(xué)教師還可將環(huán)境教育的思維引入二次函數(shù)模塊的數(shù)形結(jié)合教學(xué)工作中，在教室等學(xué)生經(jīng)常活動的場合環(huán)境中加入一些二次函數(shù)“圖形結(jié)合”元素，如一些經(jīng)典例題中的二次函數(shù)表達式和對應(yīng)的圖形，或者將這些內(nèi)容以擬人化的卡通角色貼畫粘貼在教室墻壁上，從而讓學(xué)生在主觀意識上不斷增強熟悉感，進一步促進學(xué)生以“數(shù)形結(jié)合”思維理解、運用二次函數(shù)的學(xué)習(xí)發(fā)展。

十、結(jié)語

數(shù)學(xué)絕不是一門枯燥、深奧的學(xué)科，它的學(xué)習(xí)是具有多種形式和方法的，教師理應(yīng)讓學(xué)生體會到輕松和快樂。初中數(shù)學(xué)教師要真正認識并努力踐行這一點，在二次函數(shù)教學(xué)中加大對數(shù)形結(jié)合法的研究和應(yīng)用力度，圍繞多元主題和復(fù)合型思路制定、應(yīng)用具體的教學(xué)策略，讓學(xué)生以更簡便、直觀、有效的方式學(xué)會二次函數(shù)、用好二次函數(shù)，從而為他們將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和課程核心素養(yǎng)的穩(wěn)步成長打下堅實的基礎(chǔ)。