“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程思政教學(xué)設(shè)計(jì)
——概率的定義教學(xué)案例

劉明姬，張旭利

(吉林大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130012)

一、引言

習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)指出：“要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道……使各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)?！盵1]教育部在《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》中指出：“要把立德樹(shù)人融入思想道德教育、文化知識(shí)教育、社會(huì)實(shí)踐教育等環(huán)節(jié)，貫穿高等教育各環(huán)節(jié)。理學(xué)、工學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程，要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場(chǎng)觀點(diǎn)方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。理學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感?！盵2]

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)數(shù)學(xué)中一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，不僅具有高度的理論性、嚴(yán)密的邏輯性，還具有工具性。這門(mén)課程有著非常廣泛的應(yīng)用，幾乎遍及自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)，軍事科學(xué)及生活實(shí)際等各方面，在金融、保險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)與企業(yè)管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象與自然災(zāi)害預(yù)報(bào)等各領(lǐng)域都能起到非常重要的作用。尤其是在當(dāng)今大數(shù)據(jù)發(fā)展迅猛的今天，這門(mén)課程的理論內(nèi)容和解題思想更顯得尤為重要。用概率論的思想和觀點(diǎn)觀察、處理隨機(jī)事件，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和總結(jié)，從而處理一些實(shí)際問(wèn)題是這門(mén)課程開(kāi)設(shè)的出發(fā)點(diǎn)。在新形勢(shì)和新時(shí)代的要求下，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程不僅要培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的理性思維和實(shí)踐能力，還要求在課程內(nèi)容方面進(jìn)行課程思政建設(shè)。大學(xué)數(shù)學(xué)課程理論性強(qiáng)，知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)晦澀，傳統(tǒng)課程以知識(shí)的掌握、方法的應(yīng)用為主要教學(xué)目標(biāo)，通常采取“知識(shí)講解—例題計(jì)算—布置習(xí)題”的單一教學(xué)過(guò)程。隨著時(shí)代的發(fā)展，這樣的教學(xué)模式已經(jīng)漸漸出現(xiàn)弊端，因此此門(mén)課程的教學(xué)改革和創(chuàng)新勢(shì)在必行。教師可以在講授概率統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的同時(shí)有效地融入思政元素。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程有著豐富的思政案例，例如隨機(jī)數(shù)學(xué)悠遠(yuǎn)的發(fā)展史、中外數(shù)學(xué)家們孜孜不倦、不畏困難的歷程故事、概率意義下的辯證統(tǒng)一思想、嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)理論的完美推導(dǎo)證明過(guò)程、函數(shù)性質(zhì)圖形帶來(lái)的數(shù)學(xué)之美等等。教師在講授這門(mén)課程的時(shí)候也可以根據(jù)時(shí)政背景下的民生國(guó)情，以及各種實(shí)際應(yīng)用案例帶來(lái)的各領(lǐng)域背景下對(duì)社會(huì)、人生的思考等來(lái)進(jìn)行。這樣的課堂講授過(guò)程，不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，解決了純數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)枯燥無(wú)趣的大問(wèn)題，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理想信念、家國(guó)情懷、科學(xué)思維等都有著潛移默化的影響[3-7]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科，本質(zhì)在于探討偶然現(xiàn)象背后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，對(duì)具體與抽象、現(xiàn)象與本質(zhì)、偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一辯證思想內(nèi)涵的理解貫穿于整門(mén)課程。例如：總體由個(gè)體構(gòu)成，從總體中抽取個(gè)體得到樣本，樣本來(lái)自總體，具有總體的特征，又不能完全代替總體；大概率事件發(fā)生的可能性大，但針對(duì)每一次試驗(yàn)又不是一定發(fā)生；小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生，可是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)又幾乎必然會(huì)發(fā)生；每一次試驗(yàn)的結(jié)果具有隨機(jī)性，但大數(shù)定律告訴我們，將試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)地充分地進(jìn)行多次，試驗(yàn)結(jié)果的平均值將會(huì)接近于數(shù)學(xué)期望值；看似紛亂無(wú)序的隨機(jī)現(xiàn)象，當(dāng)它是由大量獨(dú)立而作用微小的隨機(jī)因素產(chǎn)生的總效果時(shí)，由中心極限定理提供保證，卻都將呈現(xiàn)出正態(tài)分布的趨勢(shì)；等等[8-9]。所以，如何讓同學(xué)們建立隨機(jī)數(shù)學(xué)思維，用隨機(jī)觀點(diǎn)考慮問(wèn)題，研究這種辯證統(tǒng)一的關(guān)系，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政的主要任務(wù)。

俗語(yǔ)說(shuō)，萬(wàn)事開(kāi)頭難，對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)也不例外，所以講好第一個(gè)概念——概率的定義尤為重要。本文以如何講授概率的定義為例，具體給出這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，著重強(qiáng)調(diào)和給出如何尋找思政融入點(diǎn)并借助創(chuàng)新教學(xué)手段設(shè)計(jì)思政教學(xué)，從而達(dá)到課程知識(shí)講解和立德樹(shù)人有效結(jié)合的目的。下面，我們給出概率的定義這節(jié)課的具體教學(xué)過(guò)程。

二、教學(xué)目標(biāo)與思政內(nèi)容

這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有二：一是了解事件頻率的概念及隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，理解概率的統(tǒng)計(jì)定義；二是理解概率的公理化定義，掌握概率的性質(zhì)及其計(jì)算。

本案例以大學(xué)數(shù)學(xué)課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中概率的定義相關(guān)知識(shí)為契入點(diǎn)，以歷史數(shù)據(jù)為背景，以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為支撐，研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，發(fā)現(xiàn)偶然性現(xiàn)象背后的必然性，培養(yǎng)本科生的數(shù)學(xué)思維和科研思維。在教學(xué)過(guò)程中以案例啟發(fā)式教學(xué)展開(kāi)，引入擲硬幣試驗(yàn)案例，采取混合式教學(xué)，給學(xué)生布置課前試驗(yàn)任務(wù)和課后線上隨機(jī)模擬任務(wù)。一方面，使學(xué)生直觀體會(huì)到頻率的穩(wěn)定性，理解概率的統(tǒng)計(jì)定義，感悟數(shù)學(xué)家們求真務(wù)實(shí)、鍥而不舍的科學(xué)精神。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生深入探討偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一辯證思想，理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)現(xiàn)偶然背后的必然這一學(xué)科本質(zhì)。進(jìn)而在頻率性質(zhì)基礎(chǔ)上，抽象出概率的公理化結(jié)構(gòu)，介紹學(xué)科發(fā)展歷史，滲透大數(shù)定律的理論思想，展示科學(xué)發(fā)展從實(shí)踐到對(duì)實(shí)踐的理論抽象、再應(yīng)用于實(shí)踐的一般發(fā)展過(guò)程以及公理化方法對(duì)于學(xué)科發(fā)展的意義。整個(gè)教學(xué)以學(xué)生為主體，通過(guò)討論、競(jìng)賽、實(shí)驗(yàn)等方式，幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)理論和知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ龑?dǎo)學(xué)生于日常學(xué)習(xí)和生活中以數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題和解決問(wèn)題，并體會(huì)數(shù)據(jù)之美、隨機(jī)模擬的奇妙、數(shù)學(xué)的高度抽象特征和本學(xué)科的廣泛應(yīng)用價(jià)值。

將豐富的教學(xué)手段運(yùn)用到課程中，使課程思政與教學(xué)創(chuàng)新在課程中融合，得到共同發(fā)展。在課堂教學(xué)中采用多媒體技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)手段相結(jié)合的模式，引入案例教學(xué)方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題能力。建設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在線課程，將線上線下教學(xué)相融合，線上學(xué)習(xí)作為課堂學(xué)習(xí)的補(bǔ)充，將更廣泛復(fù)雜的教學(xué)思政案例在線上呈現(xiàn)。開(kāi)展此門(mén)課程與其他學(xué)科的交叉內(nèi)容教學(xué)，增加線上隨機(jī)模擬等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅擴(kuò)充了教學(xué)空間，也為學(xué)生提供深入探究知識(shí)和潛移默化接受思政教育的途徑[10-11]。課程的教學(xué)改革和教學(xué)創(chuàng)新是課程思政更好呈現(xiàn)的基礎(chǔ)，課程思政也為教學(xué)改革提供了新視野和更廣泛的途徑。

三、教學(xué)過(guò)程

(一)事件的概率的引入

我們生活的世界是一個(gè)紛亂的世界，可是這些看似紛亂無(wú)序的隨機(jī)現(xiàn)象始終是受內(nèi)部隱藏的規(guī)律支配的，概率論就是要研究這些偶然性現(xiàn)象背后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，有的發(fā)生、有的不發(fā)生，有的發(fā)生可能性大、有的可能性小，需要一個(gè)數(shù)量指標(biāo)衡量。概率就是衡量隨機(jī)事件發(fā)生可能性的數(shù)量指標(biāo)。概率在數(shù)量上刻畫(huà)了隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小，概率越大的事件發(fā)生的可能性越大，概率越小的事件發(fā)生的可能性越小。

通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生觀看視頻資料引入概念，小視頻《生活中的概率》涉及小行星相撞的概率、交通事故的概率、病毒傳染的概率、人類(lèi)特殊行為習(xí)慣的概率等，概率的廣泛應(yīng)用立刻引起學(xué)生共鳴，激發(fā)起對(duì)知識(shí)的好奇心。這個(gè)刻畫(huà)事件發(fā)生規(guī)律性的概率值究竟是怎樣確定的呢?在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義又是什么呢?

(二)概率的統(tǒng)計(jì)定義

首先給出事件頻率的定義，通過(guò)簡(jiǎn)單的摸球案例理解頻率的3條性質(zhì)：非負(fù)性、規(guī)范性和有限可加性，頻率的這些性質(zhì)是接下來(lái)給出概率公理化定義的基礎(chǔ)。頻率值直觀、可計(jì)算，反映了事件發(fā)生的頻繁程度。然后提出問(wèn)題：是否可以由頻率來(lái)定義一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的可能性大小？它是事件的概率嗎？頻率與概率之間的關(guān)系是什么？

接下來(lái)引入啟發(fā)式試驗(yàn)案例，觀察大量試驗(yàn)時(shí)頻率的穩(wěn)定性質(zhì)，指出其穩(wěn)定值就是概率，給出概率的統(tǒng)計(jì)定義。

例如：擲硬幣實(shí)驗(yàn)——擲一枚均勻硬幣，觀測(cè)正面朝上還是反面朝上，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，觀察正面朝上的次數(shù)，并計(jì)算正面朝上的頻率[12]。

表1 科學(xué)家重復(fù)拋擲一枚硬幣的數(shù)據(jù)

雖然當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，硬幣正面朝上的頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，硬幣正面朝上的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性。歷史上很多科學(xué)家做過(guò)擲硬幣實(shí)驗(yàn)，從表1可以發(fā)現(xiàn)，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，硬幣正、反面朝上的次數(shù)基本上各占一半，正面朝上的頻率穩(wěn)定在0.5附近。這就是頻率的穩(wěn)定性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，頻率不再隨機(jī)波動(dòng)，呈現(xiàn)穩(wěn)定性，穩(wěn)定在某一常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是概率。概率是頻率的穩(wěn)定值，這就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。

通過(guò)觀察科學(xué)家們重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，科學(xué)家們正是看到了這些看似平凡的隨機(jī)現(xiàn)象背后可能隱藏的規(guī)律，才進(jìn)行了一次又一次不厭其煩的試驗(yàn)，驗(yàn)證了統(tǒng)計(jì)規(guī)律，探索到了科學(xué)的真理。 尤其是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮爾遜，他進(jìn)行了兩次試驗(yàn)，分別擲硬幣1.2萬(wàn)次和2.4萬(wàn)次，給出了頻率具有穩(wěn)定性的有力的試驗(yàn)結(jié)果。雖然只是最簡(jiǎn)單的擲硬幣試驗(yàn)，但是這個(gè)重復(fù)的動(dòng)作以及要將擲硬幣的次數(shù)及正面朝上的次數(shù)統(tǒng)計(jì)清楚，卻是一個(gè)多么枯燥無(wú)趣考驗(yàn)?zāi)托牡倪^(guò)程！堅(jiān)韌而嚴(yán)謹(jǐn)，是最基本的科學(xué)精神。只有具備求真務(wù)實(shí)、鍥而不舍的精神才能在學(xué)習(xí)和工作上取得非凡的成績(jī)，永遠(yuǎn)保持堅(jiān)定的目標(biāo)，并為之努力。

為了更直觀地理解頻率的穩(wěn)定性，一改以往課堂上直接給數(shù)據(jù)的方式，本節(jié)課給學(xué)生布置課前擲硬幣試驗(yàn)，5人一組，每人擲硬幣1次、5次、100次，統(tǒng)計(jì)硬幣正面朝上的次數(shù)，計(jì)算硬幣正面朝上的頻率。一方面，針對(duì)不同次數(shù)擲硬幣的結(jié)果，體會(huì)少量試驗(yàn)中頻率的波動(dòng)性和大量試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果印象直觀深刻，增加了課程參與的積極性。另一方面，同學(xué)們親身體會(huì)擲硬幣這個(gè)單一重復(fù)的試驗(yàn)動(dòng)作，雖然試驗(yàn)過(guò)程非常簡(jiǎn)單，但是當(dāng)投擲硬幣100次的時(shí)候，有的同學(xué)已經(jīng)感到試驗(yàn)乏味難耐，試驗(yàn)結(jié)果記錄不清了。對(duì)比科學(xué)家們?yōu)榱蓑?yàn)證一個(gè)已經(jīng)初步肯定的數(shù)學(xué)結(jié)論，卻一次又一次不斷重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)以獲得最有力的數(shù)據(jù)證明，他們所秉持的執(zhí)著的科學(xué)精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度令同學(xué)們的敬佩之情油然而生，這種親身體會(huì)的震撼比只是從表1中看到的冰冷的數(shù)據(jù)強(qiáng)烈得多。與此同時(shí)，這個(gè)試驗(yàn)也為本科生科研精神的培養(yǎng)點(diǎn)燃火花，如果能透過(guò)生活中普通的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)隱含的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并付出努力去驗(yàn)證總結(jié)，就有可能取得科研成果。

除了課前試驗(yàn)、課上討論，還在課后開(kāi)展線上教學(xué)，作為課堂教學(xué)的有益擴(kuò)充，為學(xué)生打好基礎(chǔ)和擴(kuò)展知識(shí)起到良好作用。本課程在線上教學(xué)平臺(tái)中，除了建設(shè)常規(guī)的線上資源庫(kù)，如教學(xué)視頻庫(kù)、習(xí)題庫(kù)、思政資源庫(kù)等，還增加了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)擴(kuò)展資源庫(kù)。針對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義的學(xué)習(xí)，教師布置課后線上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)：任務(wù)一，利用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言Matlab對(duì)擲硬幣的試驗(yàn)進(jìn)行隨機(jī)模擬，改變?cè)囼?yàn)次數(shù)參數(shù)，直觀感受試驗(yàn)次數(shù)改變時(shí)頻率所呈現(xiàn)的波動(dòng)性和穩(wěn)定性結(jié)論；任務(wù)二，研究英文使用環(huán)境中英文字母出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，借助統(tǒng)計(jì)軟件，導(dǎo)入英文資料，統(tǒng)計(jì)26個(gè)英文字母出現(xiàn)的頻率。同樣可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)導(dǎo)入大量的各領(lǐng)域英文資料后，各個(gè)英文字母出現(xiàn)的頻率將分別穩(wěn)定地在某一數(shù)值附近擺動(dòng)，這些數(shù)值就是各個(gè)英文字母在一般英文使用環(huán)境中出現(xiàn)的概率。經(jīng)過(guò)比較，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)頻率最高的是字母E和T，而出現(xiàn)頻率較低的是字母Z和Q。增加擴(kuò)展思考問(wèn)題：英文字母出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用體現(xiàn)在何處？例如密碼破譯的依據(jù)，或是電腦鍵盤(pán)設(shè)計(jì)的參考。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的應(yīng)用無(wú)處不在。學(xué)生開(kāi)始用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，體會(huì)到數(shù)學(xué)的美妙。嘗試讓大家用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解釋這些現(xiàn)象，并啟發(fā)同學(xué)們思考還有哪些類(lèi)似的頻率穩(wěn)定性案例。

借助計(jì)算機(jī)編程軟件對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行模擬，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析是概率統(tǒng)計(jì)的重要應(yīng)用，帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)書(shū)本知識(shí)的同時(shí)接觸相關(guān)數(shù)學(xué)軟件和統(tǒng)計(jì)軟件，用抽象的公式、概念來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，將現(xiàn)實(shí)中難以多次重復(fù)的大量擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果快速直觀地反映出來(lái)，統(tǒng)計(jì)大量的文獻(xiàn)資料中各個(gè)英文字母出現(xiàn)的頻率，極大地增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。同學(xué)們初步掌握了數(shù)學(xué)軟件和統(tǒng)計(jì)軟件的應(yīng)用，理解了數(shù)學(xué)建模的思想，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，探索隨機(jī)現(xiàn)象背后的規(guī)律，體會(huì)到了數(shù)據(jù)之美、隨機(jī)模擬的奇妙和本學(xué)科的廣泛應(yīng)用價(jià)值。

頻率與概率，體現(xiàn)了偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一。頻率是個(gè)試驗(yàn)值，是觀察到的、測(cè)量出的，每次試驗(yàn)結(jié)果可能都不同，其取值具有偶然性。概率是衡量事件發(fā)生可能性的大小的數(shù)量指標(biāo)，反映的是頻率的平均穩(wěn)定性，是事件本身的一種固有的客觀屬性，只能取唯一值，具有必然性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率與概率偏差較大，體現(xiàn)為對(duì)立性；但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在概率附近，此時(shí)反映出的是二者之間的統(tǒng)一性。

恩格斯指出：“在表面偶然性起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部隱藏的規(guī)律支配的，而我們的問(wèn)題只是在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程所研究的正是偶然性背后的必然性。這種對(duì)于偶然現(xiàn)象所反映的必然規(guī)律的研究將一直貫穿于本課程，是課程思政的主題。概率的定義可以說(shuō)是本門(mén)課程的第一個(gè)定義，使學(xué)生在課程初始就對(duì)本課程的本質(zhì)有清晰整體的認(rèn)識(shí)，意義重大。在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生，無(wú)法預(yù)測(cè)，但在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，頻率會(huì)趨向穩(wěn)定于概率這個(gè)數(shù)值，這個(gè)理論值為一次試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小提供了客觀的基礎(chǔ)；而在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)充分多的時(shí)候，我們又可以通過(guò)對(duì)頻率的測(cè)量來(lái)估計(jì)概率，作為概率的近似值。總之，數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，又將指導(dǎo)實(shí)際。這也是科學(xué)發(fā)展的常見(jiàn)形式，任何一個(gè)科學(xué)問(wèn)題都源自現(xiàn)實(shí)具體問(wèn)題，試驗(yàn)和實(shí)踐是我們認(rèn)識(shí)世界、解決問(wèn)題的方法和途徑。通過(guò)觀察、試驗(yàn)探索發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，形成抽象理論，而理論完善豐富后必將用來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐，解決更多的具體問(wèn)題。科學(xué)思維的培養(yǎng)，學(xué)科發(fā)展的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)哲學(xué)的介紹是大學(xué)數(shù)學(xué)思政的重要內(nèi)容。

(三)概率的公理化定義

基于試驗(yàn)得到了概率的統(tǒng)計(jì)定義，它直觀形象，但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)，為了學(xué)科的發(fā)展有必要給出其公理化定義。

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛟陬l率的3條基本性質(zhì)基礎(chǔ)上，綜合了當(dāng)時(shí)已有的大量成果，提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，明確了概率的基本概念，用為數(shù)很少的幾個(gè)簡(jiǎn)單公理，實(shí)現(xiàn)了概率的公理化。

概率的公理化定義。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，如果對(duì)于E的每一個(gè)事件A，有唯一的實(shí)數(shù)P(A)和它對(duì)應(yīng)，且這個(gè)事件的函數(shù)P(A)滿(mǎn)足下面的3條公理：

(1)非負(fù)性：對(duì)于任意事件A，P(A)≥0;

(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事件Ω，P(Ω)=1;

(3)可列可加性：對(duì)于兩兩互不相容的事件A1,A2,…(即當(dāng)i≠j時(shí)，AiAj=φ,i,j=1,2,…)，有

則稱(chēng)P(A)為事件A的概率[13]。

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)發(fā)展需要公理化結(jié)構(gòu)。公理化方法是從少數(shù)的原始概念和不證自明的公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理和演繹手段來(lái)建立理論體系的方法。實(shí)際上就是用最少的基礎(chǔ)建立龐大的體系，揭示學(xué)科本質(zhì)或原理。數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛑赋觯骸案怕收撟鳛閿?shù)學(xué)學(xué)科，可以而且應(yīng)該從公理開(kāi)始建設(shè)，和幾何、代數(shù)的路一樣?！笨?tīng)柲缏宸蚴乾F(xiàn)代概率論的開(kāi)拓者之一，他把實(shí)變函數(shù)的方法應(yīng)用于概率論,在其專(zhuān)著《概率論的基礎(chǔ)》中第一次在測(cè)度論基礎(chǔ)上建立并證明了概率論的嚴(yán)密公理體系。概率的公理化定義的提出為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)化概率理論奠定了基礎(chǔ)，標(biāo)志著概率論成為一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，推動(dòng)了概率論的發(fā)展。

在授課過(guò)程中組織學(xué)生研究小組，深入分析頻率和概率在數(shù)學(xué)理論中的關(guān)系，討論公理化方法在數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科發(fā)展中的體現(xiàn)和作用，幫助學(xué)生建立學(xué)科結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)科研思維。事實(shí)上，概率的公理化定義是建立在統(tǒng)計(jì)定義的基礎(chǔ)上的，是對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的理論概括和高度抽象。概率的非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性3條公理化性質(zhì)實(shí)際上是對(duì)于頻率的非負(fù)性、規(guī)范性、有限可加性3條性質(zhì)的公理化抽象，是在與頻率的共性中歸結(jié)出的定義。數(shù)學(xué)具有高度抽象性，這是由學(xué)科特點(diǎn)決定的，也利于使得高度抽象的數(shù)學(xué)理論廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科，成為最基礎(chǔ)的科學(xué)。對(duì)于概率公理化定義的介紹普及了數(shù)學(xué)哲學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象思想，滲透了概率學(xué)科的發(fā)展歷史。概率也是大部分科學(xué)研究源自現(xiàn)實(shí)具體問(wèn)題，由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律到建立嚴(yán)格理論體系的一般過(guò)程。

在討論頻率和概率之間理論關(guān)系的時(shí)候 ，不得不提到大數(shù)定律。伯努利大數(shù)定律指出概率是相對(duì)頻率的數(shù)學(xué)抽象，是概率的統(tǒng)計(jì)定義的理論依據(jù)。它告訴我們，一個(gè)隨機(jī)事件在單次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中往往呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，即該隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)向某個(gè)常數(shù)值收斂，該常數(shù)值即為該事件發(fā)生的概率。伯努利大數(shù)定律是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利在其于17世紀(jì)完成的巨著《猜度術(shù)》中提出的，是概率論中的第一個(gè)極限定理，在理論研究中有很重要的意義，為后續(xù)大數(shù)定律等重要概率理論的深入學(xué)習(xí)設(shè)下鋪墊，串聯(lián)課程知識(shí)脈絡(luò)，增加學(xué)習(xí)延續(xù)性。在學(xué)科知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，介紹具有重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家和學(xué)科發(fā)展史，豐富課程內(nèi)容，滲透學(xué)科理論體系，使學(xué)生對(duì)課程建立整體認(rèn)識(shí)，提升學(xué)科視野和學(xué)習(xí)高度。

在概率的3條公理化性質(zhì)基礎(chǔ)上可以推廣其一般性質(zhì)，如有限可加性、減法公式等，熟練掌握這些性質(zhì)并借助它們計(jì)算概率是研究事件概率的最基本最基礎(chǔ)的內(nèi)容。通常課堂授課中，教師會(huì)直接將概率的性質(zhì)講授給學(xué)生。為了更好的課堂效果，我們不再逐條性質(zhì)講授，而是布置課上分組競(jìng)賽任務(wù)，請(qǐng)同學(xué)們借助3條公理化性質(zhì)自己來(lái)推導(dǎo)概率的一般性質(zhì)。在小組競(jìng)賽過(guò)程中，學(xué)生不再固化于教師的思維模式，而是提出多種不同角度的證明思路得出結(jié)論。這種以學(xué)生為主體的課堂，學(xué)生參與度高，學(xué)習(xí)狀態(tài)好，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)基本功訓(xùn)練，熟練掌握了概率的性質(zhì)及其計(jì)算公式，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

四、教學(xué)總結(jié)與展望

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)過(guò)程具有很強(qiáng)的探索性，它不僅要傳授知識(shí)，還負(fù)擔(dān)著發(fā)現(xiàn)未知和培養(yǎng)學(xué)生探求新知能力的任務(wù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政建設(shè)，可以培養(yǎng)學(xué)生辯證思想、數(shù)學(xué)思維和能力，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)理論知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想和求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神。學(xué)生透過(guò)隨機(jī)現(xiàn)象深入探究統(tǒng)計(jì)規(guī)律，理解學(xué)科本質(zhì)，這樣可以站在更高的角度去學(xué)習(xí)課程，使概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程更具深度和內(nèi)涵。

將課程思政有效融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，不僅對(duì)學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)、價(jià)值觀培養(yǎng)意義重大，對(duì)教師授課也具有啟發(fā)性。課程思政創(chuàng)新了教學(xué)內(nèi)容，學(xué)科發(fā)展史、科學(xué)家故事以及具有豐富實(shí)際背景的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用案例的引入，交叉學(xué)科、民生國(guó)情、哲學(xué)唯物的探討，也激勵(lì)著教師們不斷學(xué)習(xí)，豐富自己的教學(xué)手段。老師的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段不斷豐富和提高，使得學(xué)生本覺(jué)得枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)更接地氣，課堂氣氛更加活躍。引入多種創(chuàng)新的教學(xué)方式和手段，采用線上線下混合式教學(xué)、問(wèn)題導(dǎo)向式教學(xué)、啟發(fā)式案例教學(xué)，都極大地激發(fā)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，課堂教學(xué)質(zhì)量得到了顯著提高。

課程思政的重要性不言而喻，但概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政切忌生搬硬套。這要求教師們?cè)谠O(shè)計(jì)課程思政案例時(shí)，要根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，挖掘?qū)I(yè)知識(shí)與思政育人的融合點(diǎn)，結(jié)合馬克思主義立場(chǎng)觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí)論和方法論，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，從而提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

課程思政，任重而道遠(yuǎn)。本文僅以概率的定義這節(jié)課為例，討論思政案例和理論知識(shí)如何有效結(jié)合。在以后的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教育中，要堅(jiān)持以課程為載體、內(nèi)容為導(dǎo)體，不斷提升師德素養(yǎng)，創(chuàng)新教學(xué)方法和教學(xué)模式，把“知識(shí)傳授”與“價(jià)值引領(lǐng)”有機(jī)統(tǒng)一起來(lái)，真正做到立德樹(shù)人，培養(yǎng)具有社會(huì)主義核心價(jià)值觀的有用人才。