• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    用尺規(guī)三等分一角漸近作法的探索

    2018-05-14 17:42天平黃漢文
    江蘇理工學(xué)院學(xué)報 2018年2期
    關(guān)鍵詞:極限

    天平 黃漢文

    摘 要:尺規(guī)作圖求三等分一角,已經(jīng)被證明是不可解的,但是人們對三等分角的探索從未停止過。用取極限的思想對任意角多次作角平分線,可以找出近似的任意角三等分線。通過逼近速率和誤差分析,作角平分線5~6次,能夠達到1/1 000的精度。

    關(guān)鍵詞:尺規(guī)作圖;三等分角;極限

    中圖分類號:O 123.3 文獻標識碼:A 文章編號:2095-7394(2018)02-0125-04

    三等分角是古希臘幾何尺規(guī)作圖當中的名題,它和化圓為方、倍立方問題被并列為古代數(shù)學(xué)的三大難題。從相關(guān)數(shù)學(xué)論著中談到這個問題的歷史可以追溯到公元前四世紀,幾千年來一代又一代的數(shù)學(xué)家都為它絞盡腦汁[1]。在希臘這個數(shù)學(xué)研究學(xué)術(shù)風氣很盛的國家,曾出過不少著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家,包括阿基米德、歐幾里得等在內(nèi)的眾多偉人,然而現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)證明,用有限次直尺和圓規(guī)來三等分一角是不可能的。

    后來,人們又想到了其他的方法,通過引入其他的曲線和新的思想實現(xiàn)角的三等分或近似三等分。通過借助雙曲線[2]、尼科梅德斯蚌線或希皮亞斯的割圓曲線,或使用阿基米德的滑動傳桿裝置,都能將給定的一角三等分,但這些方法實際上已經(jīng)超出了僅使用直尺和圓規(guī)作圖的限制。[3]

    本文運用極限的思想,通過多次作角平分線來逼近一角的三等分線,用有限次尺規(guī)作圖得到角的近似三等分線。

    1 作法及理論依據(jù)

    本節(jié)先給出對依次平分大、小角的方法,然后證明其合理性。

    (1)對任意角∠AOB∈(0,π],作其平分線OA1,再作∠B0A1的平分線OB1。得到角∠B0B1和∠B1OA。

    (2)作角∠B1OA平分線OA2,再作∠BOA2角平分線OB2,得到角∠B0B2和∠B2OA。

    (3)作角∠B2OA平分線OA3,再作∠BOA3角平分線OB3,得到角∠B0B3和∠B3OA。

    接下來定義一步操作的概念,一步操作包括兩次作角平分線,第一次是作角∠BnOA的平分線OAn+1,第二次是作∠BOAn角平分線。(n≥2)

    (4)依次順序反復(fù)做下去。第n步操作為,作角∠Bn-1OA平分線OAn,再作∠BOAn角平分線OBn,得到角∠B0Bn和∠BnOA。(n≥2)

    在實際操作中,當n充分大后,前后兩次畫出的OBn與OBn+1會幾乎完全重疊。此時可以認為,后一條新小角點OBn+1與實際三等分線OS近似重合,即OBn+1為所求作之任意角∠AOB的角三等分線。

    下面給出此法合理性的證明:

    設(shè)∠AOB=[θ];

    對任意角∠AOB∈(0,π],作其平分線OA1,記∠B0A1=[α1];再作∠B0A1的平分線OB1。得到角∠B0B1和∠B1OA,記∠B0B1=[β1];

    作角∠B1OA平分線OA2,記∠B10A2=[α2];再作∠BOA2角平分線OB2,得到角∠B0B2和∠B2OA,記∠B0B2=β2;

    作角∠B2OA平分線OA3,記∠B20A3=[α3];再作∠BOA3角平分線OB3,得到角∠B0B3和∠B3OA,記∠B0B3=[β3];

    記第[n-1]步后得到∠B0[βn-1]=[βn-1](n≥2);

    則第[n]步(n≥2)中,平分∠[βn-1]0A有:

    ([θ]- [βn-1])/2=[αn] (1)

    平分∠B0An有:(αn + [βn-1])/2=[βn] (2)

    將 (1)式代入 (2)式,消去[αn],整理得:[θ]+ [βn-1]=4[βn],

    故[βn-1]-[θ]/3=4([βn]-[θ]/3);

    ∴{[βn]-[θ]/3}為q=1/4的等比數(shù)列;

    ∴([βn]-[θ]/3)=(β1-[θ]/3)·1/4n-1;

    即[βn]=(b1-[θ]/3)·1/4n-1+[θ]/3;

    ∴[limβn=θ3],代入①得[limαn=θ3]

    因此,[n]→∞時,OAn與OBn均為∠AOB的三等分線。

    由證明過程知,對任意角[θ]按上述方法作三等分,[βn]=([β1]-[θ]/3)·1/4n-1+[θ]/3;無論[β1]取何值,[βn]最終都會趨向[θ]/3。因此,為了減少步數(shù),可以先目測[θ]/3的位置,設(shè)任意∠BOB1∈(0,[θ])為目測三等分點,然后令∠BOB1=[β1],繼續(xù)上述步驟作圖,也能得到近似的三等分角。證明過程同上。如果恰好取到∠BOB1=[β1]=[θ]/3,則α1=[θ]/3,[β2]=[θ]/3,可見OB1與OB2重合,作圖結(jié)束。

    結(jié)論:運用上述作圖步驟,通過上述作圖公式①和②反復(fù)循環(huán)作圖,通過數(shù)次作圖后,可將任意角[θ]近似分出三分之一角。

    2 逼近速率與誤差分析

    由于上述作圖過程是一個逼近的過程,下面對通過依次作∠AOB和∠B0A1的平角[β1]的情況的逼近的速率和存在的誤差進行分析。

    對任意角[θ]按上述步驟反復(fù)作角平分線得到的[βn]與[θ]/3的關(guān)系如表1所示。

    分別以被三等分角分別為60°,90°,180°為例,按上述步驟反復(fù)作角平分線得到的[βn]與理論值的關(guān)系如表2所示。

    由表1和表2分析可知,當[n]增加時,誤差成指數(shù)式下降。[n]=5時誤差不足0.1%,[n]=10時誤差不足百萬分之一。在給出具體角度的情況下,即使是180°的角,進行5步操作以后,得到的b5與標準值的誤差也不足0.06°;進行6步操作以后,得到的[β6]與標準值的誤差小于1'。

    3 結(jié)論

    本文給出了一種新的用尺規(guī)作任意角的近似三等分角的方法。此方法通俗易懂,操作方便。此方法精度較高且可以控制精度,可以只作5~6步得到精度約千分之一的結(jié)果。但是這種方法也存在一定的局限性,在實際操作中,當[n]≥5以后,[βn]與[βn+1]過于接近,較難分辨。

    4 推廣

    運用此法的原理可以類似求得線段的三等分點。方法同樣是對任意線段AB,用尺規(guī)作圖作其中點A1,再作BA1的中點B1(或任取B1);然后依次作線段BnA中點An+1,再作BAn+1中點Bn+1……依次順序反復(fù)做下去,當[n]充分大后,Bn與Bn+1幾乎重合,此時可以認為,Bn+1與實際三等分點S重合,即Bn+1為AB的三等分點。同理可證其合理性。

    參考文獻:

    [1] 錢曾濤.你會不會三等分一角?[M].北京:中國青年出版社,1956.

    [2] 封平華,李向豐.三等分角新探[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2010(1):1-4.

    [3] 孫興波.有關(guān)三等分角的綜述[J].中學(xué)教學(xué)參考(中旬),2010(6):4-5.

    A New Exploration on an Asymptotic Method about Trisecting an Angle with Ruler and Compasses

    DING Tian-ping1,HUANG Han-wen2,YUAN De-zheng1

    (School of Mathematics and physics,Jiangsu University of Technology,Changzhou 213001,China;Wuxi New Thought Automation Technology Development Co.,Ltd.Wuxi 214101,China)

    Abstract:Though it has been proved that it is impossible to trisect an angle with ruler and compasses in finitely many times, people have never stopped the exploration on trisecting an angle. Recently.By approximation rate and error analysis, Using the idea of taking the limit, the method constructs an arbitrary angle's angular bisectors repeatedly, and finally gets the approximate trisector of an arbitrary angle. upto one thousandth.

    Key words: construction with ruler and compasses; trisect an angle; the limit

    責任編輯 祁秀春

    猜你喜歡
    極限
    一元分段函數(shù)的使用
    淺談求極限的多種方法
    復(fù)合函數(shù)求極限中的等價量代換研究
    高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接比較研究
    基于MATLABGUI的極限動態(tài)輔助教學(xué)演示系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)
    蔡少芬:“極限”婚姻里,娘娘沒有“做不到”
    淺談高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的教育思想
    數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同及其本質(zhì)原因
    從導(dǎo)數(shù)與定積分部分看高中數(shù)學(xué)教學(xué)
    淺析Taylor公式的應(yīng)用
    国产亚洲精品久久久久5区| 亚洲av片天天在线观看| 一进一出好大好爽视频| 少妇的丰满在线观看| 精品一区二区三区视频在线观看免费| 久久中文字幕一级| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 丝袜人妻中文字幕| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| xxxwww97欧美| 国内揄拍国产精品人妻在线 | 美女免费视频网站| 男人操女人黄网站| 日韩精品中文字幕看吧| 黄频高清免费视频| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 啪啪无遮挡十八禁网站| 12—13女人毛片做爰片一| 免费在线观看黄色视频的| 在线观看舔阴道视频| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 天堂影院成人在线观看| 欧美色欧美亚洲另类二区| 一进一出好大好爽视频| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 在线观看日韩欧美| 午夜福利一区二区在线看| 又黄又粗又硬又大视频| 日日干狠狠操夜夜爽| 美女午夜性视频免费| 99国产精品一区二区三区| 一本一本综合久久| 黄色 视频免费看| 天堂影院成人在线观看| 国产麻豆成人av免费视频| 两个人免费观看高清视频| 国产精品亚洲一级av第二区| 看免费av毛片| 黄片播放在线免费| 久久人妻av系列| 日韩高清综合在线| 久久精品影院6| 亚洲,欧美精品.| 91字幕亚洲| 国产一区二区三区视频了| 91老司机精品| 日韩视频一区二区在线观看| 亚洲电影在线观看av| 国产免费av片在线观看野外av| 黑丝袜美女国产一区| 人妻久久中文字幕网| 亚洲成a人片在线一区二区| 1024手机看黄色片| 99riav亚洲国产免费| 狠狠狠狠99中文字幕| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 十八禁网站免费在线| 男女下面进入的视频免费午夜 | 婷婷精品国产亚洲av| 窝窝影院91人妻| 亚洲欧美精品综合久久99| 亚洲五月婷婷丁香| 男女床上黄色一级片免费看| 久久国产乱子伦精品免费另类| 熟女电影av网| 色哟哟哟哟哟哟| 午夜两性在线视频| 中文亚洲av片在线观看爽| 欧美乱色亚洲激情| 国产成人av激情在线播放| 欧美久久黑人一区二区| 久久午夜综合久久蜜桃| xxx96com| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 久久午夜综合久久蜜桃| 最新美女视频免费是黄的| 黄色丝袜av网址大全| 在线av久久热| 在线观看午夜福利视频| 一个人免费在线观看的高清视频| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 亚洲七黄色美女视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 日韩高清综合在线| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 久久午夜亚洲精品久久| 日本 欧美在线| 99在线人妻在线中文字幕| 精华霜和精华液先用哪个| 一进一出抽搐gif免费好疼| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 久久 成人 亚洲| 精品久久久久久成人av| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 国产精品乱码一区二三区的特点| 国产熟女xx| 国产激情久久老熟女| 欧美另类亚洲清纯唯美| 高潮久久久久久久久久久不卡| 波多野结衣巨乳人妻| 午夜成年电影在线免费观看| 欧美成人免费av一区二区三区| 99在线视频只有这里精品首页| 18禁美女被吸乳视频| 国产精品日韩av在线免费观看| 十八禁网站免费在线| 淫秽高清视频在线观看| 欧美激情极品国产一区二区三区| 在线免费观看的www视频| av免费在线观看网站| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 国产精华一区二区三区| 亚洲中文av在线| 国产黄色小视频在线观看| 两个人视频免费观看高清| 色播亚洲综合网| 日韩精品免费视频一区二区三区| 国产黄片美女视频| av电影中文网址| 成年女人毛片免费观看观看9| 狠狠狠狠99中文字幕| 哪里可以看免费的av片| 亚洲自拍偷在线| 亚洲中文字幕日韩| 免费无遮挡裸体视频| 国产人伦9x9x在线观看| 国产成人影院久久av| 亚洲九九香蕉| 一级a爱片免费观看的视频| 国产熟女xx| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 成人三级黄色视频| 在线观看免费视频日本深夜| 亚洲av成人一区二区三| 亚洲午夜理论影院| 黄色毛片三级朝国网站| 午夜福利成人在线免费观看| 免费在线观看亚洲国产| 老司机午夜福利在线观看视频| 久9热在线精品视频| 哪里可以看免费的av片| 婷婷六月久久综合丁香| 亚洲精品一区av在线观看| 婷婷亚洲欧美| 久久久久久久久中文| 国产精品久久电影中文字幕| 中文字幕人妻熟女乱码| 中亚洲国语对白在线视频| 久久99热这里只有精品18| 无限看片的www在线观看| bbb黄色大片| a级毛片a级免费在线| 男女下面进入的视频免费午夜 | 国产伦一二天堂av在线观看| 亚洲精品av麻豆狂野| 欧美黄色淫秽网站| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 欧美黑人欧美精品刺激| 日韩精品免费视频一区二区三区| 精品国产亚洲在线| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产成人av激情在线播放| 制服人妻中文乱码| 欧美国产日韩亚洲一区| 亚洲免费av在线视频| 成人亚洲精品一区在线观看| 亚洲电影在线观看av| 亚洲自偷自拍图片 自拍| av电影中文网址| 最新在线观看一区二区三区| 欧美成人性av电影在线观看| 日韩欧美三级三区| 久久国产乱子伦精品免费另类| 午夜两性在线视频| 岛国在线观看网站| 老汉色∧v一级毛片| 国产在线精品亚洲第一网站| 亚洲国产中文字幕在线视频| 日韩欧美国产在线观看| 国产成人啪精品午夜网站| 免费在线观看黄色视频的| 桃红色精品国产亚洲av| 99riav亚洲国产免费| 丝袜人妻中文字幕| 午夜福利视频1000在线观看| 大香蕉久久成人网| 日韩av在线大香蕉| 成在线人永久免费视频| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 亚洲成av片中文字幕在线观看| av有码第一页| 亚洲精品美女久久av网站| 免费看a级黄色片| 国产亚洲av高清不卡| 99国产精品一区二区三区| 久久精品国产综合久久久| 老司机午夜福利在线观看视频| 制服诱惑二区| 夜夜爽天天搞| 老鸭窝网址在线观看| 一个人免费在线观看的高清视频| 香蕉av资源在线| 国产不卡一卡二| 日本免费一区二区三区高清不卡| 亚洲成人免费电影在线观看| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 亚洲国产欧洲综合997久久, | 国产亚洲精品第一综合不卡| 成人永久免费在线观看视频| 日韩国内少妇激情av| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 色老头精品视频在线观看| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 国产1区2区3区精品| 国产激情久久老熟女| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 亚洲精品在线观看二区| 日本黄色视频三级网站网址| 亚洲国产精品久久男人天堂| 中出人妻视频一区二区| 一本久久中文字幕| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲男人天堂网一区| 美女大奶头视频| 少妇粗大呻吟视频| 精品电影一区二区在线| 大型黄色视频在线免费观看| 色哟哟哟哟哟哟| 国产精品1区2区在线观看.| 国产免费男女视频| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 欧美色欧美亚洲另类二区| 午夜福利免费观看在线| 淫秽高清视频在线观看| 日韩高清综合在线| 69av精品久久久久久| 精品国产乱码久久久久久男人| 欧美+亚洲+日韩+国产| 热re99久久国产66热| 伦理电影免费视频| 人成视频在线观看免费观看| 宅男免费午夜| 在线观看免费视频日本深夜| 激情在线观看视频在线高清| 黑人操中国人逼视频| 色综合婷婷激情| 九色国产91popny在线| 色尼玛亚洲综合影院| 亚洲国产中文字幕在线视频| 欧美国产日韩亚洲一区| 色尼玛亚洲综合影院| 亚洲第一电影网av| 十分钟在线观看高清视频www| 制服丝袜大香蕉在线| 精品国产一区二区三区四区第35| 日韩精品青青久久久久久| 脱女人内裤的视频| 男女之事视频高清在线观看| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 欧美黑人欧美精品刺激| 91字幕亚洲| 色综合欧美亚洲国产小说| 两个人视频免费观看高清| 欧美午夜高清在线| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 国产av一区二区精品久久| 日韩精品青青久久久久久| 一级a爱片免费观看的视频| 国产三级在线视频| 一a级毛片在线观看| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 一a级毛片在线观看| 国产高清激情床上av| 成人三级黄色视频| 国产精品久久久人人做人人爽| 亚洲精品一区av在线观看| 久久久久久免费高清国产稀缺| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 精品福利观看| 不卡一级毛片| 一a级毛片在线观看| 国产主播在线观看一区二区| 国产私拍福利视频在线观看| 1024香蕉在线观看| 丰满的人妻完整版| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 美女国产高潮福利片在线看| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 成人精品一区二区免费| 一级毛片精品| 99精品在免费线老司机午夜| 人人澡人人妻人| 在线国产一区二区在线| 看片在线看免费视频| 在线观看舔阴道视频| 日韩中文字幕欧美一区二区| 精品电影一区二区在线| 亚洲国产精品sss在线观看| 国产精品久久久人人做人人爽| av欧美777| 国产不卡一卡二| 欧美激情 高清一区二区三区| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 国产伦人伦偷精品视频| 亚洲七黄色美女视频| 成年人黄色毛片网站| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 免费一级毛片在线播放高清视频| 少妇熟女aⅴ在线视频| 老司机在亚洲福利影院| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 12—13女人毛片做爰片一| 亚洲全国av大片| 成人国产一区最新在线观看| 国产成人系列免费观看| 少妇被粗大的猛进出69影院| 91麻豆精品激情在线观看国产| 久久久久久大精品| 欧美在线一区亚洲| bbb黄色大片| 欧美中文综合在线视频| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 午夜激情av网站| 亚洲 国产 在线| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 波多野结衣高清作品| 男女之事视频高清在线观看| 这个男人来自地球电影免费观看| 日韩高清综合在线| 午夜精品久久久久久毛片777| 99久久国产精品久久久| 高清在线国产一区| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲五月色婷婷综合| 国内揄拍国产精品人妻在线 | 欧美av亚洲av综合av国产av| 村上凉子中文字幕在线| 两个人免费观看高清视频| avwww免费| 香蕉丝袜av| av有码第一页| 日韩免费av在线播放| 亚洲电影在线观看av| 国产野战对白在线观看| 叶爱在线成人免费视频播放| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 99热只有精品国产| 人人妻人人澡人人看| 国产免费男女视频| 悠悠久久av| 国产av一区二区精品久久| 免费观看人在逋| 欧美黄色淫秽网站| 亚洲在线自拍视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 最好的美女福利视频网| videosex国产| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 久久久久国产一级毛片高清牌| av电影中文网址| 亚洲真实伦在线观看| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 国产男靠女视频免费网站| 淫秽高清视频在线观看| 人人澡人人妻人| 精品一区二区三区av网在线观看| 免费一级毛片在线播放高清视频| 麻豆成人av在线观看| av中文乱码字幕在线| 国产三级黄色录像| 国产色视频综合| 国产成人啪精品午夜网站| 精品福利观看| 免费av毛片视频| 后天国语完整版免费观看| 国产亚洲欧美精品永久| 曰老女人黄片| 色在线成人网| 狠狠狠狠99中文字幕| 日韩欧美国产在线观看| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 久久久久国内视频| 首页视频小说图片口味搜索| 色播在线永久视频| 大型黄色视频在线免费观看| 久久香蕉国产精品| 可以在线观看的亚洲视频| 成人精品一区二区免费| 精品人妻1区二区| 国产黄a三级三级三级人| 可以在线观看的亚洲视频| 精品国内亚洲2022精品成人| 在线观看免费视频日本深夜| 国产亚洲精品第一综合不卡| 国产av不卡久久| 国产成人av教育| 国产伦在线观看视频一区| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲国产精品999在线| 国产一区二区激情短视频| 俄罗斯特黄特色一大片| 午夜福利在线观看吧| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 欧美激情久久久久久爽电影| 91成人精品电影| 久久久精品欧美日韩精品| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 免费观看精品视频网站| 国产亚洲精品一区二区www| 欧美又色又爽又黄视频| 变态另类丝袜制服| 午夜免费激情av| e午夜精品久久久久久久| 久久国产亚洲av麻豆专区| 日韩欧美国产一区二区入口| 母亲3免费完整高清在线观看| 精品久久久久久久久久免费视频| 一区二区三区高清视频在线| 免费高清视频大片| 日韩高清综合在线| 日本一本二区三区精品| 久久精品人妻少妇| 一二三四社区在线视频社区8| 欧美国产日韩亚洲一区| 欧美成狂野欧美在线观看| 国产片内射在线| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 黄片小视频在线播放| 一本久久中文字幕| 国产人伦9x9x在线观看| 国产精品免费视频内射| 国产又色又爽无遮挡免费看| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 91大片在线观看| 一区二区三区激情视频| 欧美午夜高清在线| 一级作爱视频免费观看| 又黄又爽又免费观看的视频| 久热这里只有精品99| a在线观看视频网站| 正在播放国产对白刺激| 看片在线看免费视频| av中文乱码字幕在线| 黑丝袜美女国产一区| 成熟少妇高潮喷水视频| 成人国产综合亚洲| 国产av在哪里看| 男女视频在线观看网站免费 | 男女之事视频高清在线观看| 九色国产91popny在线| 亚洲自拍偷在线| 男人操女人黄网站| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 午夜福利免费观看在线| 色尼玛亚洲综合影院| 国产男靠女视频免费网站| 99riav亚洲国产免费| 亚洲专区字幕在线| 亚洲久久久国产精品| 免费看日本二区| 色哟哟哟哟哟哟| 国产成人精品久久二区二区91| 真人做人爱边吃奶动态| 久久99热这里只有精品18| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 美女国产高潮福利片在线看| 国产成年人精品一区二区| 老司机午夜福利在线观看视频| 午夜福利在线在线| 国产熟女午夜一区二区三区| 欧美精品啪啪一区二区三区| 国产亚洲欧美在线一区二区| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 美女扒开内裤让男人捅视频| 日韩欧美国产一区二区入口| 午夜精品久久久久久毛片777| 12—13女人毛片做爰片一| 亚洲人成电影免费在线| 亚洲 国产 在线| 在线看三级毛片| 91成人精品电影| 久久久久国产一级毛片高清牌| 精品久久久久久,| 最新在线观看一区二区三区| 人人妻人人澡欧美一区二区| 美女 人体艺术 gogo| 日韩精品青青久久久久久| 国产视频内射| 村上凉子中文字幕在线| 久久久久国产一级毛片高清牌| 国产一区在线观看成人免费| 91麻豆av在线| 亚洲片人在线观看| 美女扒开内裤让男人捅视频| 美女午夜性视频免费| 成人国语在线视频| 亚洲国产精品999在线| 99久久综合精品五月天人人| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 久久久久国产一级毛片高清牌| 欧美av亚洲av综合av国产av| 久久这里只有精品19| 一区二区三区激情视频| 黑丝袜美女国产一区| 看免费av毛片| 在线免费观看的www视频| 午夜久久久久精精品| 日韩成人在线观看一区二区三区| 日韩有码中文字幕| 悠悠久久av| 1024手机看黄色片| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 一夜夜www| 中文字幕精品免费在线观看视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| 午夜成年电影在线免费观看| 亚洲真实伦在线观看| 欧美乱妇无乱码| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 精品久久久久久久毛片微露脸| 亚洲精品av麻豆狂野| 婷婷六月久久综合丁香| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| www日本黄色视频网| 女人被狂操c到高潮| www.自偷自拍.com| 可以在线观看的亚洲视频| 男人舔女人的私密视频| 久久精品91无色码中文字幕| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 99在线人妻在线中文字幕| 色尼玛亚洲综合影院| 亚洲第一av免费看| 成人国语在线视频| 无遮挡黄片免费观看| 免费在线观看亚洲国产| 亚洲五月色婷婷综合| 听说在线观看完整版免费高清| 99精品在免费线老司机午夜| av欧美777| 成年免费大片在线观看| 亚洲 国产 在线| 成年人黄色毛片网站| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 国产午夜精品久久久久久| 亚洲男人的天堂狠狠| 色在线成人网| aaaaa片日本免费| 午夜影院日韩av| 亚洲成国产人片在线观看| 日本五十路高清| 久久这里只有精品19| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站 | 国产99久久九九免费精品| 国产精品九九99| 男男h啪啪无遮挡| 天天添夜夜摸| 国产成+人综合+亚洲专区| 99国产精品一区二区蜜桃av| 国产精品99久久99久久久不卡| 亚洲五月天丁香| 一级黄色大片毛片| 青草久久国产| 久久香蕉精品热| 男人的好看免费观看在线视频 | 99国产精品一区二区三区| 性色av乱码一区二区三区2| 不卡av一区二区三区| 久久精品成人免费网站| 久久精品91蜜桃| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 麻豆久久精品国产亚洲av| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 国产精品影院久久| 免费在线观看成人毛片| 国产成人系列免费观看| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 一区二区日韩欧美中文字幕| 正在播放国产对白刺激| 亚洲精品色激情综合| 国产1区2区3区精品| 性色av乱码一区二区三区2| 在线观看66精品国产| 在线观看日韩欧美| 亚洲 国产 在线| 老司机福利观看| 国产成年人精品一区二区| 男男h啪啪无遮挡| 狠狠狠狠99中文字幕| 久热爱精品视频在线9| 午夜精品在线福利| 欧美+亚洲+日韩+国产| 色综合欧美亚洲国产小说| 午夜福利一区二区在线看| 脱女人内裤的视频| 国产亚洲精品久久久久5区| 亚洲五月色婷婷综合| 青草久久国产| 妹子高潮喷水视频| 国产亚洲av嫩草精品影院| 婷婷精品国产亚洲av在线| 午夜福利成人在线免费观看| 免费电影在线观看免费观看| 黄色毛片三级朝国网站| 国产高清有码在线观看视频 | 两个人看的免费小视频| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 欧美日韩精品网址|